2019-2020学年高中数学 第二章 数列 第2节 等差数列 第1课时 等差数列的概念及通项公式课

第1课时等差数列的概念及通项公式[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P36～P38，回答下列问题：观察教材P36～P37中给出的4个数列：①0，5，10，15，20，…；②48，53，58，63；③18，15.5，13，10.5，8，5.5；④10072，10144，10216，10288，10360.可以看到：对于数列①，从第2项起，每一项与前一项的差都等于；对于数列②，从第2项起，每一项与前一项的差都等于；对于数列③，从第2项起，每一项与前一项的差都等于；对于数列④，从第2项起，每一项与前一项的差都等于．也就是说，这些数列有一个共同特点：从第2项起，每一项与前一项的差都等于．55－2.572同一个常数2．归纳总结，核心必记(1)等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的，通常用字母d表示．(2)等差中项由三个数a，A，b组成的等差数列中，A叫做的等差中项．(3)等差数列的通项公式如果等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则它的通项公式为an＝．同一个常数公差a与ba1＋(n－1)d[问题思考](1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于常数，该数列还是等差数列吗？提示：3＋5＝2a，即a＝4.提示：不一定，必须是同一个常数，才能保证该数列为等差数列．(2)若a是3与5的等差中项，则a为何值？(3)一般地，如果等差数列{an}的首项是a1，公差是d，我们根据等差数列的定义，可以得到：a2－a1＝d，a3－a2＝d，a4－a3＝d，….即a2＝a1＋d，a3＝a2＋d＝(a1＋d)＋d＝a1＋2d，a4＝a3＋d＝(a1＋2d)＋d＝a1＋3d，…根据以上推导过程，你认为“an＝a1＋()d”中的()应是什么？提示：n－1．(4)若数列{an}是等差数列，且首项a1＝2，公差d＝3，则：①a5等于何值？②104是该数列的项吗？如果是，是第几项？提示：①a5＝a1＋4d＝2＋4×3＝14.②an＝a1＋(n－1)d＝2＋3(n－1)＝3n－1.令3n－1＝104，则n＝35.故104是该数列的第35项．[课前反思](1)等差数列的定义是：；(2)等差中项的定义是：；(3)等差数列的通项公式是：．[思考]由等差数列的通项公式可以看出，要求an，需要哪几个条件？名师指津：只要求出等差数列的首项和公差d，代入公式an＝a1＋(n－1)d即可．讲一讲1．(1)在等差数列{an}中，已知数列a4＝7，a10＝25，求通项公式an.(2)已知数列{an}为等差数列，a3＝54，a7＝－74，求a15的值．[尝试解答](1)∵a4＝7，a10＝25，则a1＋3d＝7，a1＋9d＝25，⇒a1＝－2，d＝3.∴an＝－2＋(n－1)×3＝3n－5，∴通项公式为an＝3n－5(n∈N*)．(2)法一：由a3＝54，a7＝－74，得a1＋2d＝54，a1＋6d＝－74.解得a1＝114，d＝－34.∴a15＝a1＋(15－1)d＝114＋14×－34＝－314.法二：由a7＝a3＋(7－3)d，即－74＝54＋4d，解得d＝－34.∴a15＝a3＋(15－3)d＝54＋12×－34＝－314.应用等差数列的通项公式求a1和d，运用了方程的思想．一般地，可由am＝a，an＝b，得a1＋（m－1）d＝a，a1＋（n－1）d＝b，求出a1和d，从而确定通项公式．解：设等差数列{an}的公差为d，由题意得a1＋2d＝7，a1＋4d＝a1＋d＋6，解得a1＝3，d＝2.所以an＝a1＋(n－1)d＝3＋2(n－1)＝2n＋1.所以a6＝2×6＋1＝13.练一练1．在等差数列{an}中，a3＝7，a5＝a2＋6，求a6的值．[思考1]以下两个数之间，插入一个什么数后三个数就会成为一个等差数列．(1)2，4；(2)－1，5；(3)0，0.名师指津：插入的数分别为3，2，0．名师指津：A＝a＋b2．[思考2]如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A应满足什么条件？[思考3]若A＝a＋b2，则a，A，b成等差数列吗？名师指津：a，A，b成等差数列．讲一讲2．(1)在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c，使这五个数成等差数列，求此数列；(2)已知数列{xn}的首项x1＝3，通项xn＝2np＋nq(n∈N*，p，q为常数)，且x1，x4，x5成等差数列．求p，q的值．[尝试解答](1)∵－1，a，b，c，7成等差数列，∴b是－1与7的等差中项．∴b＝－1＋72＝3.又a是－1与3的等差中项，∴a＝－1＋32＝1.又c是3与7的等差中项，∴c＝3＋72＝5.∴该数列为－1，1，3，5，7.(2)由x1＝3，得2p＋q＝3，①又x4＝24p＋4q，x5＝25p＋5q，且x1＋x5＝2x4，得3＋25p＋5q＝25p＋8q，即q＝1，②将②代入①得，p＝1.故p＝1，q＝1.三数a，b，c成等差数列的条件是b＝a＋c2(或2b＝a＋c)，可用来进行等差数列的判定或有关等差中项的计算问题．如若证{an}为等差数列，可证2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)．练一练2．若m和2n的等差中项为4，2m和n的等差中项为5，求m和n的等差中项．解：由m和2n的等差中项为4，得m＋2n＝8.又由2m和n的等差中项为5，得2m＋n＝10.两式相加，得m＋n＝6.∴m和n的等差中项为m＋n2＝3.[思考](1)在数列{an}中，若an－an－1＝d(常数)(n≥2且n∈N*)，则{an}是等差数列吗？为什么？(2)在数列{an}中，若有2an＝an－1＋an＋1(n≥2，n∈N*)成立，则{an}是等差数列吗？为什么？名师指津：(1)是，由等差数列的意义可知；(2)是，由等差中项的定义可知．讲一讲3．判断下列数列是否为等差数列．(1)在数列{an}中，an＝3n＋2；(链接教材P38－例3)(2)在数列{an}中，an＝n2＋n.[尝试解答](1)an＋1－an＝3(n＋1)＋2－(3n＋2)＝3(n∈N*)，所以这个数列为等差数列．(2)an＋1－an＝(n＋1)2＋(n＋1)－(n2＋n)＝2n＋2，不是常数，所以这个数列不是等差数列．定义法是判定(或证明)数列{an}是等差数列的基本方法，其步骤为：(1)作差an＋1－an;(2)对差式进行变形；(3)当an＋1－an是一个与n无关的常数时，数列{an}是等差数列；当an＋1－an不是常数，是与n有关的代数式时，数列{an}不是等差数列．练一练3．已知数列{an}满足a1＝4，an＝4－4an－1(n1)，记bn＝1an－2.(1)求证：数列{bn}是等差数列；(2)求数列{an}的通项公式．解：(1)证明：因为bn＋1－bn＝1an＋1－2－1an－2＝14－4an－2－1an－2＝an2（an－2）－1an－2＝an－22（an－2）＝12.∴数列{bn}是等差数列．(2)由(1)可知，数列{bn}是以b1＝1a1－2＝14－2＝12为首项，以12为公差的等差数列．∴bn＝12＋(n－1)×12＝12n.∵bn＝1an－2，∴an＝1bn＋2＝2n＋2.———————[课堂归纳·感悟提升]————————1．本节课的重点是等差数列的定义、等差中项以及等差数列的通项公式，难点是等差数列的证明．2．掌握判断一个数列是等差数列的常用方法：(1)an＋1－an＝d(d为常数，n∈N*)⇔{an}是等差数列；(见讲3)(2)2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}是等差数列；(3)an＝kn＋b(k，b为常数，n∈N*)⇔{an}是等差数列．但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可．3．会灵活运用等差数列的通项公式解决问题．由等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d可以看出，只要知道首项a1和公差d，就可以求出通项公式．反过来，在a1、d、n、an四个量中，只要知道其中任意三个量，就可以求出另外一个量，见讲1.