2019-2020学年高中数学 第二章 数列 第1节 数列的概念与简单表示法 第1课时 数列的概念与

第1课时数列的概念与通项公式[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P28～P29，回答下列问题：(1)阅读课本28页的例子，三角形数：1，3，6，10，…，正方形数：1，4，9，16，25，….你能否再列举一些这样的例子？提示：①全体自然数：0，1，2，3，4，…；②2精确到1，0.1，0.01，0.001，…，的不足近似值为1，1.4，1.41，1.414，…；过剩近似值为2，1.5，1.42，1.415，…．(2)在(1)中的各个例子中，它们有何共同特点？提示：都是按一定顺序排列的．2．归纳总结，核心必记(1)数列的概念①数列：按照排列的一列数称为数列．②项：数列中的每一个数叫做这个数列的项．第1项通常叫做，排在第n位的数称为这个数列的．一定顺序首项第n项(2)数列的表示数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，简记为，这里n是序号．{an}(3)数列的分类①按项的个数分类：类别含义有穷数列的数列无穷数列的数列项数有限项数无限②按项的变化趋势分类：类别含义递增数列从第2项起，每一项都它的前一项的数列递减数列从第2项起，每一项都它的前一项的数列常数列各项的数列小于大于都相等(4)数列的通项公式如果数列{an}的与之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．第n项序号n[问题思考](1)1，3，6，10和10，6，3，1是相同的数列吗？(2)2，2，2，2是一个数列吗？(3){an}和an是两个相同的概念吗？(4)an＝0，n为奇数，1，n为偶数和an＝1＋（－1）n2(n∈N*)都是数列0，1，0，1，…的通项公式吗？提示：(1)不是；(2)是；(3)不相同，{an}表示数列a1，a2，a3，…，an，…，而an只是{an}的第n项；(4)是．[课前反思]1．数列的定义是：________，数列的项是：：2．数列的通项公式是：；3．按数列项数的有限和无限分类，可分为：；4．按项的增减分类，可分为：．[思考1]课本P28－观察栏目中的数列，递增数列、递减数列、常数列、摆动数列各有哪些？名师指津：递增数列有(1)、(2)、(6)中的1，1.4，1.41，1.414，…；递减数列有(4)、(6)中的2，1.5，1.42，1.415，…；常数列为(3)；摆动数列为(5)．[思考2]如果按项数分类，上述数列各是什么数列？名师指津：(1)(3)(5)(6)是无穷数列；(2)(4)是有穷数列．讲一讲1．已知下列数列：(1)0，0，0，0，0，0；(2)0，－1，2，－3，4，－5，…；(3)0，12，23，…，n－1n，…；(4)1，0.2，0.22，0.23，…；(5)0，－1，0，…，cosn2π，….其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________，递减数列是________，常数列是________，摆动数列是________(填序号)．[尝试解答](1)是常数列且是有穷数列；(2)是无穷摆动数列；(3)是无穷递增数列因为n－1n＝1－1n；(4)是无穷递减数列；(5)是无穷摆动数列．[答案](1)(2)(3)(4)(5)(3)(4)(1)(2)(5)判断给出的数列是有穷数列还是无穷数列，只需考察数列是有限项还是无限项．若数列含有限项，则是有穷数列，否则为无穷数列．而判断数列的单调性，则需要从第2项起，观察每一项与它的前一项的大小关系，若满足anan＋1，则是递增数列；若满足anan＋1，则是递减数列；若满足an＝an＋1，则是常数列；若an与an＋1的大小不确定，则是摆动数列．练一练1．下列数列哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？哪些是递增数列？哪些是递减数列？哪些是摆动数列？哪些是常数列？(1)1，12，13，…，1n，…；(2)10,20,40，…，1280；(3)1,3－1,3－2，…，3－63;(4)－1,2，－1,2，…；(5)6,6,6，…；(6)1，－0.1,0.12，…，(－0.1)n－1，….解：(2)、(3)是有穷数列，(1)、(4)、(5)、(6)是无穷数列，(2)是递增数列，(1)、(3)是递减数列，(4)、(6)是摆动数列，(5)是常数列.[思考1]函数f(x)＝7x＋9，当x依次取1，2，3，…时，其函数值构成的数列是什么？有什么特点？名师指津：构成的数列为：16，23，30，37，…，从第2项起，每一项与前一项的差都是7．名师指津：该数列的每一项都是这一项的序号的7倍与9的和．能用公式an＝7n＋9表示．[思考2]参考[思考1]，你认为数列16，23，30，37，…的每一项与该项的序号之间有什么关系？能用一个公式来表示吗？[思考3]观察数列1，12，13，14，15，…，数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系？这一关系能否用一个公式来表示？名师指津：该数列的对应关系为：数列的每一项等于这一项序号的倒数，可用公式an＝1n表示这个数列．[思考4]通过以上思考，你认为：由数列的若干项写出数列的一个通项公式的方法是什么？名师指津：要由数列的若干项写出数列的一个通项公式，只需观察分析数列中的项的构成规律，将项表示为项数的函数即可．讲一讲2．已知数列的前几项，写出下面数列的一个通项公式．(1)1,3,7,15,31，…；(2)4,44,444,4444，…；(3)－114，329，－5316，7425，－9536，…；(4)2，－45，12，－411，27，－417，…；(5)1,2,1,2,1,2，….[尝试解答](1)观察发现各项分别加上1后，数列变为2,4,8,16,32，…，新数列的通项为2n，故原数列的通项公式为an＝2n－1.(2)各项乘94，变为9,99,999，…，各项加上1后，数列变为10,100,1000，…，新数列的通项为10n，故原数列的通项公式为an＝49(10n－1)．(3)所给数列有这样几个特点：①符号正、负相间；②整数部分构成奇数列；③分数部分的分母为从2开始的自然数的平方；④分数部分的分子为从1开始的自然数．综合这些特点写出表达式，再化简即可．由所给的几项可得数列的通项公式为an＝(－1)n2n－1＋nn＋12，所以an＝(－1)n2n3＋3n2＋n－1n＋12.(4)数列的符号规律是正、负相间，使各项分子为4，数列变为42，－45，48，－411，…，再把各分母分别加上1，数列又变为43，－46，49，－412，…，所以an＝4×－1n＋13n－1.(5)可写成分段函数形式：an＝1，n为奇数，n∈N*，2，n为偶数，n∈N*.(1)根据数列的前几项写通项公式的方法：①统一项的结构，如都化成分数、根式等．②分析这一结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的变化规律与对应序号间的函数关系式．③对于符号交替出现的情况，可观察其绝对值，再以(－1)n或(－1)n＋1(n∈N*)调节符号．④对于周期出现的数列，可考虑拆成几个简单数列和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等求通项．(2)熟练掌握一些基本数列的通项公式①数列－1，1，－1，1，…的通项公式是an＝(－1)n.②数列1，2，3，4，…的通项公式是an＝n.③数列1，3，5，7，…的通项公式是an＝2n－1.④数列2，4，6，8，…的通项公式是an＝2n.⑤数列1，2，4，8，…的通项公式是an＝2n－1.⑥数列1，4，9，16，…的通项公式是an＝n2.⑦数列1，12，13，14，…通项公式是an＝1n.练一练2．根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式．(1)－1，7，－13，19，…；(2)0.8，0.88，0.888，…；(3)12，14，－58，1316，－2932，6164，…；(4)32，1，710，917，….解：(1)第一项为负且所有项正负相间隔，因此符号可用(－1)n调节，其各项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总比前面的数的绝对值大6，故它的一个通项公式为an＝(－1)n(6n－5)．(2)将数列变形为89(1－0.1)，89(1－0.01)，89(1－0.001)，…，所以它的一个通项公式为an＝891－110n.(3)各项的分母分别为21，22，33，24，…，易看出第2，3，4项的分子分别比分母少3.因此把第1项变为－2－32，因此原数列化为－21－321，22－322，－23－323，24－324，…，所以它的一个通项公式为an＝(－1)n·2n－32n.(4)将数列统一为32，55，710，917，…对于分子3，5，7，9，…是序号的2倍加1，可得分子的一个通项公式为bn＝2n＋1，对于分母2，5，10，17，…联想到数列1，4，9，16，…，即数列{n2}，可得分母的一个通项公式为cn＝n2＋1，所以可得原数列的一个通项公式为an＝2n＋1n2＋1.讲一讲3．已知数列{an}的通项公式是an＝n2n2＋1.(1)写出该数列的第4项和第7项；(2)试判断910和110是否是该数列中的项？若是，求出它是第几项；若不是，说明理由．[思路点拨]由通项公式an与n的关系求解判断．[尝试解答](1)由通项公式an＝n2n2＋1可得a4＝4242＋1＝1617，a7＝7272＋1＝4950.(2)令n2n2＋1＝910，得n2＝9，所以n＝3(n＝－3舍去)，故910是该数列中的项，并且是第3项；令n2n2＋1＝110，得n2＝19，所以n＝±13，由于±13都不是正整数，因此110不是数列中的项．(1)数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n，就可以求出数列的相应项．(2)判断某数是否为数列中的项，只需将它代入通项公式中求出n的值，若存在正整数n，则说明该数是数列中的项，否则就不是该数列中的项．练一练3．已知数列9n2－9n＋29n2－1，(1)求这个数列的第10项；(2)98101是不是该数列中的项，为什么？(3)求证：数列中的各项都在区间(0，1)内．解：设f(n)＝9n2－9n＋29n2－1＝（3n－1）（3n－2）（3n－1）（3n＋1）＝3n－23n＋1.(1)令n＝10，得第10项a10＝f(10)＝2831.(2)令3n－23n＋1＝98101，得9n＝300.此方程无正整数解，所以98101不是该数列中的项．(3)证明：∵an＝3n－23n＋1＝3n＋1－33n＋1＝1－33n＋1，又n∈N*，∴033n＋11，∴0an1.即数列中的各项都在区间(0，1)内．——[课堂归纳·感悟提升]——1．本节课的重点是数列的概念、通项公式以及数列通项公式的求法．难点是根据数列的若干项写出数列的一个通项公式．2．要掌握由数列的前几项写出数列的一个通项公式的方法以及由数列的通项公式求项或判断一个数是否为数列中的某一项的方法．见讲2和讲3.3．要注意以下两个易错点：(1)并非所有的数列都能写出它的通项公式．例如，π的不同近似值，依据精确的程度可形成一个数列3，3.1，3.14，3.141，…，它没有通项公式．(2)如果一个数列有通项公式，则它的通项公式可以有多种形式.