2019-2020学年高中数学 第二章 数列 2.4 等比数列 第一课时 等比数列的概念与通项公式课

2.4等比数列第一课时等比数列的概念与通项公式[目标导航]课标要求1.通过实例,理解等比数列和等比中项的概念.2.探索并掌握等比数列的通项公式,能运用通项公式解决简单的问题.3.会判断和证明一个数列是等比数列.素养达成通过对等比数列的概念与通项公式的学习,培养学生数学抽象与数学建模的能力.新知导学课堂探究1.等比数列的定义一般地,如果一个数列从第项起,每一项与它的前一项的比等于,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的,通常用字母q表示(q≠0).新知导学·素养养成2同一常数公比思考1:等比数列中的项能否等于零?公比能否等于零?答案:不能,不能.思考2:等比数列的定义怎样用数学符号及式子表示?答案:在数列{an}中,若=q(q是常数,n≥2,n∈N*),则{an}是等比数列.1nnaa2.等比中项如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的,这三个数满足关系式G2=ab.等比中项思考3:若三个数a,G,b成等比数列,则a,b两数的符号有什么关系?答案:若三个数a,G,b成等比数列,则G2=ab,因此要求a,b符号相同.3.等比数列的递推公式与通项公式已知等比数列{an}的首项为a1,公比为q(q≠0),填表:a1qn-11nnaa递推公式通项公式=q(n≥2)an=.思考4:在数列{an}中,若an+1=anq(n∈N*,q为常数),则数列{an}为等比数列吗?答案:不一定,当an=0或q=0时都不是等比数列.名师点津等比数列的两个关注点:(1)由于等比数列每一项都可能作分母,故每一项均不为0,因此q也不能是0,若存在为0的项时,必不是等比数列.(2)常数列都是等差数列,但却不一定是等比数列.如常数列是各项都为0的数列,它就不是等比数列;当常数列各项不为0时,是等比数列,对于含字母的数列应注意讨论.课堂探究·素养提升题型一等比数列的通项公式及其应用解:(1)法一设等比数列{an}的公比为q,由已知得5111,327,aqaq解得1193qa或11,93,qa所以{an}的通项公式是an=-19·3n-1或an=19·(-3)n-1,即an=-3n-3或an=(-1)n-1·3n-3.[例1]在等比数列{an}中,(1)a2=-,a6=-27,求an;13法二因为a6=a2·q4,所以-27=-13·q4,所以q4=81,所以q=±3,根据an=a2·qn-2,有an=-13·3n-2或an=-13·(-3)n-2,即an=-3n-3或an=(-1)n-1·3n-3.(2)a2+a5=18,a3+a6=9,an=1,求n.解:(2)法一因为4251125361118,9.aaaqaqaaaqaq①②由②①得q=12,从而a1=32,又an=1,所以32×(12)n-1=1,即26-n=20,所以n=6.法二因为a3+a6=q(a2+a5),所以q=12.由a1q+a1q4=18,知a1=32.由an=a1qn-1=1,知n=6.方法技巧a1和q是等比数列的基本量,只要求出这两个基本量,其他量便可求出来.(2)由已知,得311188,,aqaq解得12327,qa或127,2.3qa即时训练1-1:在等比数列{an}中,(1)若a4=27,q=-3,求a7;(2)若a2=18,a4=8,求a1和q;解:(1)法一由a4=a1·q3,得27=a1·(-3)3,得a1=-1,所以a7=a1·q6=(-1)×(-3)6=-729.法二a7=a4·q3=27×(-3)3=-729.解:(3)由已知,得4113116.15,aqaqaaq①②由①÷②,得21qq=52,所以q=12或q=2.当q=12时,a1=-16,a3=a1q2=-4,当q=2时,a1=1,a3=a1q2=4.(3)若a5-a1=15,a4-a2=6,求a3.[备用例1](1)已知等比数列{an}为递增数列,且25a=a10,2(an+an+2)=5an+1,则数列{an}的通项公式an=.(1)解析:由2(an+an+2)=5an+1⇒2q2-5q+2=0⇒q=2或12,由25a=a10=a1q90⇒a10,又数列{an}递增,所以q=2.25a=a100⇒(a1q4)2=a1q9⇒a1=q=2,所以数列{an}的通项公式为an=2n.答案:2n②设等比数列{bn}的公比为q,则b2=8,b3=16,所以q=32bb=2,b1=4,bn=2n+1,b6=26+1=128.由2(n+1)=128,得n=63,所以b6与数列{an}的第63项相等.(2)已知等差数列{an}满足a1+a2=10,a4-a3=2.①求数列{an}的通项公式;②设等比数列{bn}满足b2=a3,b3=a7.问b6与数列{an}的第几项相等?(2)解:①设等差数列{an}的公差为d,则d=a4-a3=2,a1+a2=2a1+2=10,所以a1=4,因此an=4+(n-1)×2=2(n+1).题型二等比数列的判定与证明[例2](2019·山东日照模拟)已知数列{an}满足a1=,an+1=3an-4n+2(n∈N*).(1)求a2,a3的值;73规范解答:(1)由已知得a2=3a1-4+2=3×73-4+2=5,……………………2分a3=3a2-4×2+2=3×5-8+2=9.………………4分(2)证明数列{an-2n}是等比数列,并求出数列{an}的通项公式.规范解答:(2)因为an+1=3an-4n+2,所以an+1-2n-2=3an-6n,即an+1-2(n+1)=3(an-2n).…………………………………………………………6分由(1)知a1-2=73-2=13,所以an-2n≠0,n∈N*,……………………………………8分所以1212nnanan=3,所以数列{an-2n}是首项为13,公比为3的等比数列.…10分所以an-2n=13·3n-1,………………………………………………………………11分所以an=3n-2+2n.……………………………………………………………………12分方法技巧判定数列是等比数列常用的方法(1)定义法:1nnaa=q(常数)或1nnaa=q(常数)(n∈N*,n≥2)⇔{an}为等比数列.(2)等比中项法=an·an+2(an≠0,n∈N*)⇔{an}为等比数列.(3)通项法:an=a1qn-1(其中a1,q为非零常数,n∈N*)⇔{an}为等比数列.即时训练2-1:(2019·南阳高二期末)已知数列{an}中,a1=2,an+1=2an-1.判断数列{an-1}是否为等比数列?并说明理由.解:数列{an-1}是等比数列.证明如下:因为a1=2,an+1=2an-1,所以an+1-1=2(an-1),即111nnaa=2,所以数列{an-1}是以1为首项,公比为2的等比数列.[备用例2](1)已知数列{an}的前n项和Sn=2-an,求证:数列{an}是等比数列;(1)证明:因为Sn=2-an,所以Sn+1=2-an+1,所以an+1=Sn+1-Sn=(2-an+1)-(2-an)=an-an+1,所以an+1=12an,又因为S1=2-a1,所以a1=1≠0.又由an+1=12an知an≠0,所以1nnaa=12,所以{an}是等比数列.(2)解:令an+1+λ=3(an+λ),可化为an+1=3an+2λ,所以λ=1.又a1+1=2,所以{an+1}是等比数列,其中首项为2,公比为3,所以an+1=2·3n-1,所以an=2·3n-1-1.(2)已知数列{an}满足an+1=3an+2(n∈N*),a1=1,求通项公式an.题型三等比中项的应用[例3](2019·邯郸高二检测)已知等比数列的前三项和为168,a2-a5=42,求a5,a7的等比中项.解:设该等比数列的公比为q,首项为a1,因为211141148,2,16aaaqqqaaq所以3121,1421168.aqaqqq因为1-q3=(1-q)(1+q+q2),上述两式相除,得q(1-q)=14⇒q=12,所以a1=442qq=44211()22=96.若G是a5,a7的等比中项,则应有G2=a5·a7=a1q4·a1q6=21aq10=962·(12)10=9,所以a5,a7的等比中项是±3.方法技巧(1)首项a1和q是构成等比数列的基本量,从基本量入手解决相关问题是研究等比数列的基本方法.(2)本题要注意同号的两个数的等比中项有两个,它们互为相反数,而异号的两个数没有等比中项.即时训练3-1:若a,b,c成等差数列,且a+1,b,c与a,b,c+2都成等比数列,求b的值.解:由题意设a,b,c分别为b-d,b,b+d,由已知可得b-d+1,b,b+d与b-d,b,b+d+2都成等比数列,则22(1)(),()(2),bbdbdbbdbd①②整理,得222222,22.bbdbdbbdbd所以b+d=2b-2d,即b=3d.代入①,得9d2=(3d-d+1)(3d+d),即d2-4d=0,解得d=0或d=4.当d=0时,代入①,得b=0,不合题意,所以d=4,从而b=12.[备用例3](1)已知一等比数列的前三项依次为x,2x+2,3x+3,那么-13是此数列的第项()(A)2(B)4(C)6(D)812(1)解析:由x,2x+2,3x+3成等比数列,可知(2x+2)2=x(3x+3),解得x=-1或-4,又当x=-1时,2x+2=0,这与等比数列的定义相矛盾,所以x=-4,所以该数列是首项为-4,公比为32的等比数列,其通项an=-4(32)n-1,由-4(32)n-1=-1312,得n=4.故选B.(2)(2019·日照高二检测)已知b是a与c的等比中项.求证:a2+b2,ab+bc,b2+c2成等比数列.(2)证明:因为b是a和c的等比中项,所以b2=ac,且a,b,c均不为零,所以(ab+bc)2=a2b2+2ab2c+b2c2=a3c+2a2c2+ac3,又因为(a2+b2)·(b2+c2)=a2b2+a2c2+b4+b2c2=a3c+a2c2+a2c2+ac3=a3c+2a2c2+ac3,所以(ab+bc)2=(a2+b2)(b2+c2),又因为a2+b2≠0,b2+c2≠0,所以a2+b2,ab+bc,b2+c2成等比数列.学霸经验分享区(1)要注意利用等比数列的定义解题,在很多时候紧扣定义是解决问题的关键.(2)注意基本量法:在用等比数列通项公式时,以首项a1,公比q为基本量,其他量用这两个量表示出来,再寻求条件与结论的联系,往往使很多问题更容易解决.(3)等比中项在题目中会经常出现,因此要掌握好.1.已知{an}是等比数列,a2=2,a5=14,则公比q为()(A)-12(B)-2(C)2(D)12课堂达标D解析:因为a2=a1q=2,①a5=a1q4=14,②所以②÷①得q3=18,所以q=12.故选D.2.在等比数列{an}中,已知a1=3,a3=27,则数列的通项公式是()(A)an=3n(B)an=3n-1(C)an=3n或an=(-1)n-13n(D)an=2n-1C解析:由a3=a1q2,得q2=9,即q=±3,所以an=a1qn-1=3×3n-1=3n或an=a1qn-1=3×(-3)n-1=(-1)n-13n,则数列的通项公式是an=3n或an=(-1)n-13n,故选C.3.已知等比数列{an}中,2312aaaa=2,a4=8,则a6等于()(A)31(B)32(C)63(D)64B解析:由2312aaaa=1212()aaqaa=2,得q=2,所以a6=a4q2=32.故选B.4.在等比数列{an}中,a1=2,a4