2019-2020学年高中数学 第二章 数列 2.4 等比数列 第二课时 等比数列的性质及应用课件

第二课时等比数列的性质及应用[目标导航]课标要求1.掌握等比数列的几个基本性质,能够运用这些性质解决等比数列中的有关问题.2.熟练掌握等比数列与等差数列的综合应用.3.能够运用已学的等比数列知识解决一些实际应用问题.素养达成通过对等比数列的性质及应用的学习,培养学生观察归纳能力以及培养学生直观想象和数学运算能力.新知导学课堂探究等比数列的常用性质新知导学·素养养成性质1通项公式的推广:an=am·(n,m∈N*)性质2若{an}为等比数列,且k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则ak·al=性质3若{an},{bn}(项数相同)是等比数列,则{λan},{1na},{2na},{an·bn},{nnab}仍是等比数列性质4在等比数列{an}中距首末两端等距离的两项的积相等,即a1an=a2an-1=a3an-2=…=aman-m+1(nm)性质5若m,p,n(m,n,p∈N*)成等差数列,则am,ap,an成等比数列qn-mam·an思考:你能证明等比数列下面的性质吗?若等比数列{an}中,m,n,s,t∈N*且m+n=s+t,则aman=asat.答案:设等比数列{an}的公比为q,aman=a1qm-1·a1qn-1=21aqm+n-2,asat=a1qs-1·a1qt-1=21aqs+t-2,因为m+n=s+t,所以aman=asat.利用等比数列的性质解题(1)基本思路:充分发挥项的“下标”的指导作用,分析等比数列项与项之间的关系,选择恰当的性质解题;名师点津(2)优缺点:简便快捷,但是适用面窄,有一定的思维含量.课堂探究·素养提升题型一等比数列性质的应用解:(1)等比数列{an}中,因为a2a4=12,所以23a=a1a5=a2a4=12,所以a123aa5=14.[例1]已知{an}为等比数列.(1)等比数列{an}满足a2a4=12,求a123aa5;解:(2)由等比中项,化简条件得23a+2a3a5+25a=25,即(a3+a5)2=25,因为an0,所以a3+a5=5.(2)若an0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,求a3+a5;(3)若an0,a5a6=9,求log3a1+log3a2+…+log3a10的值.(3)由等比数列的性质知a5a6=a1a10=a2a9=a3a8=a4a7=9,所以log3a1+log3a2+…+log3a10=log3(a1a2…a10)=log3[(a1a10)(a2a9)(a3a8)(a4a7)(a5a6)]=log395=10.方法技巧有关等比数列的计算问题,基本方法是运用方程思想列出基本量a1和q的方程组,先解出a1和q,然后利用通项公式求解,但有时运算稍繁,而利用等比数列的性质解题,却简便快捷,为了发现性质,要充分发挥项的“下标”的指导作用.解析:由a6a10=28a,a3a5=24a,所以(a4+a8)2=41+2a4a8=49,所以a4+a8=7或a4+a8=-7(舍去).即时训练1-1:在等比数列{an}中,各项都是正数,a6a10+a3a5=41,a4a8=4,则a4+a8=.答案:7解:(1)因为a3·a5=24a,所以a3·a4·a5=34a=8,所以a4=2.因为a2·a6=24a,a3·a5=24a,所以a2·a3·a4·a5·a6=54a=25=32.[备用例1](2019·宿州检测)在等比数列{an}中.(1)已知a3·a4·a5=8,求a2·a3·a4·a5·a6的值;(2)已知a1+a2=324,a3+a4=36,求a5+a6的值.(2)a3+a4=q2(a1+a2),a5+a6=q4(a1+a2),所以a1+a2,a3+a4,a5+a6成等比数列且公比为19,所以a5+a6=4.题型二巧设“对称项”解等比数列问题[例2]有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个与第四个数的和是16,第二个数与第三个数的和是12.求这四个数.解:法一设这四个数依次为a-d,a,a+d,2()ada(a≠0),由条件得2()16,()12,adadaaad解得4,4ad或9,6.ad所以当a=4,d=4时,所求四个数分别为0,4,8,16;当a=9,d=-6时,所求四个数分别为15,9,3,1.故所求四个数分别为0,4,8,16或15,9,3,1.法二设这四个数依次为2aq-a,aq,a,aq(a≠0),由条件得216,12,aaaqqaaq解得2,8qa或1,33.qa所以当q=2,a=8时,所求四个数分别为0,4,8,16;当q=13,a=3时,所求四个数分别为15,9,3,1.故所求四个数分别为0,4,8,16或15,9,3,1.法三设这四个数依次为x,y,12-y,16-x,由已知得22(12),(12)(16).yxyyyx解得0,4xy或15,9.xy故所求四个数分别为0,4,8,16或15,9,3,1.方法技巧等比数列的“对称设项”方法:(1)当项数n为奇数时,先设中间一个数为a,再以公比为q向两边对称地依次设项即可,如三个数成等比数列,可设为aq,a,aq;(2)当项数n为偶数且公比大于0时,可以先设中间两个数为aq和aq,再以公比为q2向两边对称地依次设项即可,如四个数成等比数列,可设为3aq,aq,aq,aq3,六个数成等比数列可设为5aq,3aq,aq,aq,aq3,aq5.即时训练2-1:已知三个数成等比数列,它们的积为27,它们的平方和为91,求这三个数.解:设这三个数分别为aq,a,aq.2222227,91aaaqqaaaqq⇒2223,1(1)91,aaqq得9q4-82q2+9=0,即得q2=19或q2=9,所以q=±3或q=±13,故这三个数为1,3,9或-1,3,-9或9,3,1或-9,3,-1.[备用例2](1)三个数成等比数列,若第二个数加4就成等差数列,再把这个等差数列的第三项加32又成等比数列,求这三个数;解:(1)按等比数列设三个数,设原数列为a,aq,aq2.由已知条件知2(aq+4)=a+aq2.①又a,aq+4,aq2+32成等比数列,则(aq+4)2=a(aq2+32)⇒aq+2=4a.②①②两式联立,解得2,3aq或2,95,aq所以这三个数分别为2,6,18或29,-109,509.(2)有四个数成等比数列,将这四个数分别减去1,1,4,13,则成等差数列,求这四个数.解:(2)设这四个数分别为a,aq,aq2,aq3,则a-1,aq-1,aq2-4,aq3-13成等差数列,据题意得2232114,24113,aqaaqaqaqaq整理得2213,16,aqaqq解得2,3,qa因此这四个数分别为3,6,12,24.题型三等差、等比数列的综合应用[例3]在公差d不为零的等差数列{an}和等比数列{bn}中,已知a1=1,且a1=b1,a2=b2,a8=b3.(1)求数列{an}的公差d和数列{bn}的公比q;规范解答:(1)由已知a1=b1=1,a2=b2,a8=b3,可得21,17,dqdq……………………………………2分解得6,5qd或1,0.qd(舍去)所以d=5,q=6.………………………………4分规范解答:(2)假设存在a,b使得an=logabn+b(n∈N*)成立,即1+5(n-1)=loga6n-1+b,………………………………………………6分所以5n-4=(n-1)loga6+b,所以(5-loga6)n-(4+b-loga6)=0.………8分因为an=logabn+b对一切正整数n恒成立,所以5log60,4log60,aab…………………………………………………10分得a=56,b=1.故存在常数a=56,b=1使得an=logabn+b(n∈N*)成立.……………12分(2)是否存在常数a,b使得对于一切正整数n,都有an=logabn+b成立,若存在,求出a和b;若不存在,说明理由.方法技巧求解等差、等比数列的综合问题的技巧(1)理清各数列的基本特征量,明确两个数列间各量的关系.(2)发挥两个数列的基本量a1,d或b1,q的作用,并用好方程这一工具.(3)结合题设条件对求出的量进行必要的检验.即时训练3-1:是否存在一个等比数列{an}使其满足下列三个条件:(1)a1+a6=11且a3a4=329;(2)an+1an(n∈N*);(3)至少存在一个m(m∈N*,m4),使得23am-1,2ma,am+1+49依次成等差数列.若存在,请写出数列的通项公式;若不存在,请说明理由.解:假设存在这样的数列{an},因为a1+a6=11,a3a4=a1a6=329,所以a1,a6是方程t2-11t+329=0的两根,解得t1=13,t2=323.因为an+1an(n∈N*),所以a1=13,a6=323.设公比为q,则a6=323=13q5,于是q=2,所以an=13·2n-1,由23am-1,2ma,am+1+49成等差数列,得22ma=23am-1+am+1+49,即2(13·2m-1)2=23·13·2m-2+13·2m+49,解得m=3.又因为m4,所以不存在这样的等比数列.[备用例3](1)在公差为d的等差数列{an}中,已知a1=10,且a1,2a2+2,5a3成等比数列.①求d,an;解:(1)①由题意得,a1·5a3=(2a2+2)2,由a1=10,{an}为公差为d的等差数列得,d2-3d-4=0,解得d=-1或d=4,所以an=-n+11(n∈N*)或an=4n+6(n∈N*).②若d0,求|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|.解:②设数列{an}的前n项和为Sn.因为d0,由①得d=-1,an=-n+11,所以当n≤11时,|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=Sn=-12n2+212n;当n≥12时,|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=-Sn+2S11=12n2-212n+110.综上所述,|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=22121,11,22121110,12.22nnnnnn(2)(2019·宝鸡中学月考)设{an}是公比为q的等比数列,且a1,a3,a2成等差数列.①求q的值;解:(2)①由题意有2a3=a1+a2,即2a1q2=a1+a1q.因为a1≠0,所以2q2-q-1=0,解得q=1或q=-12.②设{bn}是以2为首项,q为公差的等差数列,其前n项和为Sn,当n≥2时,比较Sn与bn的大小,并说明理由.解:②若q=1,则Sn=2n+12nn=232nn.当n≥2时,Sn-bn=Sn-1=122nn0,故Snbn.若q=-12,则Sn=2n+12nn(-12)=294nn.当n≥2时,Sn-bn=Sn-1=1104nn.故对于n∈N*,当2≤n≤9时,Snbn;当n=10时,Sn=bn;当n≥11时,Snbn.[例4]已知四个实数-9,a1,a2,-1成等差数列,五个实数-9,b1,b2,b3,-1成等比数列,则b2(a2-a1)的值为.错解:因为-9,a1,a2,-1成等差数列,所以a2-a1=1(9)41=83.又-9,b1,b2,b3,-1成等比数列,所以-9,b2,-1也成等比数列,所以22b=-9×(-1)=9,所以b2=±3,所以b2(a2-a1)=±(3×83)=±8.题型四易错辨析——忽视题目的隐含条件致误纠错:由-9,b1,b2,b3,-1成等比数列,设公比为q,则b2=-9×q20,再由22b=-9×