2019-2020学年高中数学 第二章 数列 2.4 等比数列 第2课时 等比数列的性质课后课时精练

课后课时精练A级：基础巩固练一、选择题1．在等比数列{an}中，首项a10，要使数列{an}对任意正整数n都有an＋1an，则公比q应满足()A．q1B．0q1C.12q1D．－1q0解析an＋1－an＝a1qn－1(q－1)0对任意正整数n都成立，而a10，只能0q1.2．在正项等比数列{an}中，a1和a19为方程x2－10x＋16＝0的两根，则a8·a10·a12等于()A．16B．32C．64D．256解析由已知，得a1a19＝16，又∵a1·a19＝a8·a12＝a210，∴a8·a12＝a210＝16，又an0，∴a10＝4，∴a8·a10·a12＝a310＝64.3．在等比数列{an}中，a1＝1，a10＝3，则a2a3a4a5a6a7a8a9等于()A．81B．27327C．3D．243解析因为数列{an}是等比数列，且a1＝1，a10＝3，所以a2a3a4a5a6a7a8a9＝(a2a9)(a3a8)(a4a7)(a5a6)＝(a1a10)4＝34＝81.故选A.4．设数列{an}为公比不为－1的等比数列，则下面四个数列：①{a3n}；②{pan}(p为非零常数)；③{an·an＋1}；④{an＋an＋1}．其中是等比数列的有()A．1个B．2个C．3个D．4个解析对于①，因为a3n＋1a3n＝an＋1an3＝q3(常数)，所以{a3n}是等比数列；对于②，因为pan＋1pan＝an＋1an＝q(常数)，所以{pan}是等比数列；对于③，因为an＋1·an＋2an·an＋1＝an＋2an＝q2(常数)，所以{an·an＋1}是等比数列；对于④，因为an＋1＋an＋2an＋an＋1＝anq＋an＋1qan＋an＋1＝qan＋an＋1an＋an＋1＝q(常数)．所以{an＋an＋1}是等比数列．二、填空题5．在3和一个未知数间填上一个数，使三数成等差数列，若中间项减去6则成等比数列，则此未知数是________．3或27解析设此三数为3，a，b，则2a＝3＋b，a－62＝3b，解得a＝3，b＝3或a＝15，b＝27.∴这个未知数为3或27.6．在等比数列{an}中，各项均为正值，且a2a14＋a2a6＝48，a3a9＝6，则a4＋a8＝________.215解析∵a2a14＋a2a6＝48，a3a9＝6，∴a28＋a24＝48，a4a8＝6，因此(a4＋a8)2＝a28＋a24＋2a4a8＝60.又∵{an}的各项均为正数，∴a4＋a8＝215.7．公差不为零的等差数列{an}中，2a3－a27＋2a11＝0，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，则b6b8＝________.16解析∵2a3－a27＋2a11＝2(a3＋a11)－a27＝4a7－a27＝0，∵b7＝a7≠0，∴b7＝a7＝4.∴b6b8＝b27＝16.三、解答题8．等差数列{an}中，公差d≠0，且a1，a3，a9成等比数列，则a1＋a3＋a9a2＋a4＋a10等于多少？解由题意知a3是a1和a9的等比中项，∴a23＝a1a9，∴(a1＋2d)2＝a1(a1＋8d)，解得a1＝d.∴a1＋a3＋a9a2＋a4＋a10＝13d16d＝1316.9．三个互不相等的数成等差数列，如果适当排列这三个数，又可成为等比数列，这三个数的和为6，求这三个数．解由已知，可设这三个数分别为a－d，a，a＋d，则a－d＋a＋a＋d＝6，∴a＝2，这三个数可表示为2－d,2,2＋d，①若2－d为等比中项，则有(2－d)2＝2(2＋d)，解得d＝6，或d＝0(舍去)．此时三个数为－4,2,8.②若2＋d是等比中项，则有(2＋d)2＝2(2－d)，解之得d＝－6，或d＝0(舍去)．此时三个数为8,2，－4.③若2为等比中项，则22＝(2＋d)·(2－d)，∴d＝0(舍去)．综上可求得这三个数为－4,2,8.10．已知数列{an}的前n项和是Sn，且Sn＋12an＝1.(1)证明数列{an}是等比数列，并求其通项公式；(2)设bn＝log3(1－Sn＋1)，求满足方程1b1b2＋1b2b3＋…＋1bnbn＋1＝2551的n的值．解(1)证明：当n＝1时，a1＝S1，由S1＋12a1＝1，得a1＝23.当n≥2时，∵Sn＝1－12an，∴Sn－1＝1－12an－1，∴Sn－Sn－1＝12(an－1－an)，即an＝12(an－1－an)，∴an＝13an－1.故{an}是以23为首项，13为公比的等比数列，故an＝23×13n－1＝2×13n.(2)∵1－Sn＝12an＝13n，∴bn＝log3(1－Sn＋1)＝log313n＋1＝－n－1，∴1bnbn＋1＝1n＋1n＋2＝1n＋1－1n＋2，∴1b1b2＋1b2b3＋…＋1bnbn＋1＝12－1n＋2，解方程12－1n＋2＝2551，得n＝100.B级：能力提升练1．若方程x2－5x＋m＝0与x2－10x＋n＝0的四个根适当排列后，恰好组成一个首项为1的等比数列，则mn的值是()A．4B．2C.12D.14解析由题意可知1是方程之一根，若1是方程x2－5x＋m＝0的根则m＝4，另一根为4，设x3，x4是方程x2－10x＋n＝0的根，则x3＋x4＝10，这四个数的排列顺序只能为1、x3、4、x4，公比为2、x3＝2、x4＝8、n＝16、mn＝14；若1是方程x2－10x＋n＝0的根，则n＝9，另一根为9，设x2－5x＋m＝0之两根为x1，x2则x1＋x2＝5，无论什么顺序均不符合题意．2．设数列{an}是公比小于1的正项等比数列，已知a1＝8，且a1＋13,4a2，a3＋9成等差数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若bn＝an(n＋2－λ)，且数列{bn}是单调递减数列，求实数λ的取值范围．解(1)设数列{an}的公比为q.由题意，可得an＝8qn－1，且0q1.由a1＋13,4a2，a3＋9成等差数列，知8a2＝30＋a3，所以64q＝30＋8q2，解得q＝12或152(舍去)，所以an＝8×12n－1＝24－n.(2)bn＝an(n＋2－λ)＝(n＋2－λ)·24－n，由bnbn＋1，得(n＋2－λ)·24－n(n＋3－λ)·23－n，即λn＋1，所以λ(n＋1)min＝2，故实数λ的取值范围为(－∞，2)．