2019-2020学年高中数学 第二章 数列 2.3 等比数列 第二课时 等比数列的性质课件 苏教版

第二课时等比数列的性质预习课本P54习题T10～T12，思考并完成以下问题(1)等比中项的定义是什么？(2)等比数列项的运算性质是什么？[新知初探]1．等比中项若a，G，b成等比数列，则称G为a和b的．等比中项[点睛](1)在一个等比数列中，从第二项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等比中项．(2)当a，b同号时，a，b的等比中项有两个，异号时，没有等比中项．所以“a，G，b成等比数列”与“G＝ab”是不等价的．(3)“a，G，b成等比数列”等价于“G2＝ab(a，b均不为0)”，可以用它来判断或证明三数成等比数列．(4)利用等比中项法：a2n＋1＝an·an＋2(n∈N*，且an≠0)可证明{an}是等比数列．2．等比数列的性质(1)若数列{an}，{bn}是项数相同的等比数列，则{an·bn}也是等比数列．特别地，若{an}是等比数列，c是不等于0的常数，则{c·an}也是等比数列．(2)在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q，则aman＝.特别地，若m＋n＝2t(t∈N*)，则am·an＝a2t.apaq(3)数列{an}是有穷数列，则与首末两项的两项的积相等，且等于首末两项的积．(4)在等比数列{an}中，每隔k项取出一项，按原来的顺序排列，所得新数列仍为等比数列，公比为.(5)当m，n，p(m，n，p∈N*)成等差数列时，am，an，ap成数列．等距离qk＋1等比[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积()(2)当q1时，{an}为递增数列()(3)当q＝1时，{an}为常数列()解析：(1)正确，根据等比数列的定义可以判定该说法正确．(2)错误，当q1，a10时，{an}才为递增数列．(3)正确，当q＝1时，数列中的每一项都相等，所以为常数列．√×√2．2＋3和2－3的等比中项是()A．1B．－1C．±1D．2解析：设2＋3和2－3的等比中项为G，则G2＝(2＋3)(2－3)＝1，∴G＝±1.答案：C3．已知等比数列{an}中，a4＝7，a6＝21，则a8的值为()A．35B．63C．213D．±213解析：∵{an}成等比数列．∴a4，a6，a8成等比数列∴a26＝a4·a8，即a8＝2127＝63.答案：B4．在等比数列{an}中，各项都是正数，a6a10＋a3a5＝41，a4a8＝4，则a4＋a8＝________.解析：∵a6a10＝a28，a3a5＝a24，∴a24＋a28＝41，又a4a8＝4，∴(a4＋a8)2＝a24＋a28＋2a4a8＝41＋8＝49，∵数列各项都是正数，∴a4＋a8＝7.答案：7等比中项及应用[典例]等比数列{an}的前三项的和为168，a2－a5＝42，求a5，a7的等比中项．[解]设该等比数列的公比为q，首项为a1，因为a2－a5＝42，所以q≠1，由已知，得a1＋a1q＋a1q2＝168，a1q－a1q4＝42，所以a11＋q＋q2＝168，a1q1－q3＝42.①②因为1－q3＝(1－q)(1＋q＋q2)，所以由②除以①，得q(1－q)＝14.所以q＝12.所以a1＝4212－124＝96.若G是a5，a7的等比中项，则应有G2＝a5a7＝a1q4·a1q6＝a21q10＝962×1210＝9.所以a5，a7的等比中项是±3.由等比中项的定义可知：Ga＝bG⇒G2＝ab⇒G＝±ab.这表明：只有同号的两项才有等比中项，并且这两项的等比中项有两个，它们互为相反数．异号的两数没有等比中项．反之，若G2＝ab，则Ga＝bG，即a，G，b成等比数列．所以a，G，b成等比数列⇔G2＝ab(ab≠0)．[活学活用]1．如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么()A．b＝3，ac＝9B．b＝－3，ac＝9C．b＝3，ac＝－9D．b＝－3，ac＝－9解析：因为b2＝(－1)×(－9)＝9，且b与首项－1同号，所以b＝－3，且a，c必同号．所以ac＝b2＝9.答案：B2．已知实数a，b，c成等差数列，a＋1，b＋1，c＋4成等比数列，且a＋b＋c＝15，求a，b，c.解：由题意，得a＋b＋c＝15，①a＋c＝2b，②a＋1c＋4＝b＋12，③由①②两式，解得b＝5.将c＝10－a代入③，整理得a2－13a＋22＝0，解得a＝2，或a＝11，故a＝2，b＝5，c＝8或a＝11，b＝5，c＝－1,经验证，上述两组数都符合题意.等比数列性质的应用[典例]在等比数列{an}中，(1)若已知a3a4a5＝8，求a2a3a4a5a6的值；(2)若a2＝2，a6＝16，求a10；(3)若a3＝－2，a7＝－16，求a5.[解](1)∵a3a4a5＝8，∴a34＝8，a4＝2.∴a2a3a4a5a6＝(a2·a6)·(a3·a5)·a4＝a24·a24·a4＝32.(2)∵a2·a10＝a26，∴a10＝a26a2＝1622＝128.(3)∵a3·a7＝a25，∴a5＝±a3a7＝±42.又∵a5＝a3q20，∴a5＝－42.有关等比数列的计算问题，基本方法是运用方程思想列出基本量a1和q的方程组，先解出a1和q，然后利用通项公式求解．但有时运算稍繁，而利用等比数列的性质解题，却简便快捷，为了发现性质，要充分发挥项的“下标”的指导作用．[活学活用]1．已知数列{an}是等比数列，且a2a6＝2a4，则a3a5＝()A．2B．－4C．－2D．4解析：∵a2a6＝2a4，由等比数列的性质可知，a2a6＝a3a5＝a24，∴a24＝2a4，∴a4＝2，∴a3a5＝4.答案：D2．在等比数列{an}中，若a3a5a7a9a11＝243，则a29a11的值为________．解析：由a3a5a7a9a11＝243，得a57＝243，∴a7＝3.∴a29a11＝a7·a11a11＝a7＝3.答案：3等比数列的实际应用[典例]某人买了一辆价值13.5万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度贬值．(1)用一个式子表示第n(n∈N*)年这辆车的价值．(2)如果他打算用满4年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？[解](1)从第一年起，每年车的价值(万元)依次设为：a1，a2，a3，…，an，由题意，得a1＝13.5，a2＝13.5(1－10%)，a3＝13.5(1－10%)2，….由等比数列定义，知数列{an}是等比数列，首项a1＝13.5，公比q＝(1－10%)＝0.9，∴an＝a1·qn－1＝13.5×(0.9)n－1.∴第n年车的价值为an＝13.5×(0.9)n－1万元．(2)当他用满4年时，车的价值为a5＝13.5×(0.9)5－1≈8.857.∴用满4年时卖掉时，他大概能得到8.857万元．解等比数列应用题的步骤(1)审题：解决数列应用题的关键是读懂题意；(2)建模：建立数学模型，将实际问题转化为等比数列的问题；(3)解模：解数学模型，注意隐含条件，数列中n的值是正整数；(4)还原：最后转化为实际问题作出回答．[活学活用]某工厂2019年1月的生产总值为a万元，计划从2019年2月起，每月生产总值比上一个月增长m%，那么到2020年8月底该厂的生产总值为多少万元？解：设从2019年开始，第n个月该厂的生产总值是an万元，则an＋1＝an＋anm%，∴an＋1an＝1＋m%.∴数列{an}是首项a1＝a，公比q＝1＋m%的等比数列．∴an＝a(1＋m%)n－1.∴2020年8月底该厂的生产总值为a20＝a(1＋m%)20－1＝a(1＋m%)19万元．