2019-2020学年高中数学 第二章 数列 2.2 等差数列 第二课时 等差数列的性质课件 苏教版

第二课时等差数列的性质预习课本P41习题T11～T15，思考并完成以下问题(1)等差数列通项公式的推广形式是什么？该公式有哪些作用？(2)等差中项的定义是什么？(3)等差数列的运算性质是什么？应用此性质可以解决哪些问题？[新知初探]1．等差数列通项公式的推广通项公式通项公式的推广an＝a1＋(n－1)d(揭示首末两项的关系)an＝am＋()d(揭示任意两项之间的关系)n－m2.等差中项如果a，A，b这三个数成等差数列，那么A＝，把A叫做a与b的等差中项．a＋b23．等差数列的性质若{an}是公差为d的等差数列，正整数m，n，p，q满足m＋n＝p＋q，则：am＋an＝.(1)特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，am＋an＝.(2)对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝….ap＋aq2ak(3)若{an}是公差为d的等差数列，则①{c＋an}(c为任一常数)是公差为的等差数列；②{can}(c为任一常数)是公差为cd的等差数列；③{an＋an＋k}(k为常数，k∈N*)是公差为的等差数列．(4)若{an}，{bn}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pan＋qbn}(p，q是常数)是公差为的等差数列．d2dpd1＋qd2[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若{an}是等差数列，则{|an|}也是等差数列()(2)若{|an|}是等差数列，则{an}也是等差数列()(3)若{an}是等差数列，则对任意n∈N*都有2an＋1＝an＋an＋2()(4)数列{an}的通项公式为an＝3n＋5，则数列{an}的公差与函数y＝3x＋5的图象的斜率相等()××√√解析：(1)错误．如－2，－1,0,1,2是等差数列，但其绝对值就不是等差数列．(2)错误．如数列－1,2，－3,4，－5其绝对值为等差数列，但其本身不是等差数列．(3)正确．根据等差数列的通项可判定对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2成立．(4)正确．因为an＝3n＋5的公差d＝3，而直线y＝3x＋5的斜率也是3.2．在等差数列{an}中，若a5＝6，a8＝15，则a14等于()A．32B．33C．－33D．29解析：∵数列{an}是等差数列，∴a5，a8，a11，a14也成等差数列且公差为9，∴a14＝6＋9×3＝33.答案：B3．在等差数列{an}中，已知a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8＝()A．90B．270C．180D．360解析：因为a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450，所以a5＝90，所以a2＋a8＝2a5＝2×90＝180.答案：C4．已知数列{an}是等差数列，若a1－a5＋a9－a13＋a17＝117，则a3＋a15＝________.解析：a3＋a15＝a1＋a17＝a5＋a13，所以a9＝117，所以a3＋a15＝a9＋a9＝234.答案：234等差中项公式的应用[典例](1)已知数列{xn}的首项x1＝3，通项xn＝2np＋nq(n∈N*，p，q为常数)，且x1，x4，x5成等差数列．求p，q的值．(2)已知1a，1b，1c成等差数列，并且a＋c，a－c，a＋c－2b均为正数，求证：lg(a＋c)，lg(a－c)，lg(a＋c－2b)也成等差数列．[解](1)由x1＝3，得2p＋q＝3，①又x4＝24p＋4q，x5＝25p＋5q，且x1＋x5＝2x4得，3＋25p＋5q＝25p＋8q，②由①②得，q＝1，p＝1.(2)证明：∵1a，1b，1c成等差数列，∴2b＝1a＋1c，∴2b＝a＋cac，即2ac＝b(a＋c)．(a＋c)(a＋c－2b)＝(a＋c)2－2b(a＋c)＝(a＋c)2－2×2ac＝a2＋c2＋2ac－4ac＝(a－c)2.∵a＋c，a＋c－2b，a－c均为正数，上式左右两边同时取对数得，lg[(a＋c)(a＋c－2b)]＝lg(a－c)2，即lg(a＋c)＋lg(a＋c－2b)＝2lg(a－c)，∴lg(a＋c)，lg(a－c)，lg(a＋c－2b)成等差数列．(1)若三数a，b，c成等差数列，则a＋c＝2b，即b为a，c的等差中项，反之，也成立，这个结论在已知等差数列的题中经常用到．(2)证明一个数列是等差数列，除利用定义证明an＋1－an＝d外，利用等差中项公式也是一种常用到的方法，即证：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)．[活学活用]1．若一个等差数列的前4项分别是a，x，b,2x，则ab等于()A.14B.12C.13D.23解析：由等差中项公式，得2x＝a＋b，2b＝x＋2x，∴a＝x2，b＝32x，∴ab＝13.故选C.答案：C2．若m和2n的等差中项为4,2m和n的等差中项为5，则m与n的等差中项是________．解析：由m和2n的等差中项为4，则m＋2n＝8.又由2m和n的等差中项为5，则2m＋n＝10.两式相加，得m＋n＝6.所以m与n的等差中项为m＋n2＝62＝3.答案：33．已知正数a，b，c成等差数列，且公差d≠0，求证：1a，1b，1c不可能成等差数列．证明：假设1a，1b，1c成等差数列，则2b＝1a＋1c.∴2ac＝b(a＋c)．∵a，b，c成等差数列．∴2b＝a＋c.∴2ac＝a＋c22，∴(a－c)2＝0.∴a＝c.又2b＝a＋c，∴a＝b＝c.这与a，b，c成等差数列且公差d≠0矛盾．故1a，1b，1c不可能成等差数列.等差数列性质的应用[典例](1)等差数列{an}中，已知a2＋a3＋a10＋a11＝36，求a5＋a8.(2)数列{an}中，a3，a10是方程x2－3x－5＝0的两根，若{an}是等差数列，求a5＋a8.[解](1)[法一通项公式法]根据题意，有(a1＋d)＋(a1＋2d)＋(a1＋9d)＋(a1＋10d)＝36，∴4a1＋22d＝36，即2a1＋11d＝18.而a5＋a8＝(a1＋4d)＋(a1＋7d)＝2a1＋11d，因此a5＋a8＝18.[法二性质法]根据等差数列性质，可得a5＋a8＝a3＋a10＝a2＋a11＝36÷2＝18.(2)由根与系数的关系知a3＋a10＝3，故a5＋a8＝a3＋a10＝3.本例求解主要用到了等差数列的性质：若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq.对于此性质，应注意必须是两项相加等于两项相加，否则不一定成立．例如，a15≠a7＋a8，但a6＋a9＝a7＋a8；a1＋a21≠a22，但a1＋a21＝2a11.[活学活用]已知等差数列{an}，(1)若a2＋a3＋a25＋a26＝48，求a14；(2)若a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2a5＝52，求公差d.解：(1)∵a2＋a26＝a3＋a25＝2a14，∴a2＋a3＋a25＋a26＝4a14＝48.解得a14＝12.(2)∵a2＋a5＝a3＋a4，∴a2＋a3＋a4＋a5＝2(a2＋a5)＝34.解得a2＋a5＝17.①又已知a2a5＝52，②联立①②解得a2＝4，a5＝13，或a2＝13，a5＝4.当a2＝4，a5＝13时，d＝a5－a25－2＝3；当a2＝13，a5＝4时，d＝a5－a25－2＝－3.灵活设元求解等差数列[典例](1)三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，求这三个数．(2)四个数成递增等差数列，中间两项的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数．[解](1)设这三个数依次为a－d，a，a＋d，则a－d＋a＋a＋d＝9，a－da＝6a＋d，解得a＝3，d＝－1.∴这三个数为4,3,2.(2)法一：设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)，依题意，2a＝2，且(a－3d)(a＋3d)＝－8，即a＝1，a2－9d2＝－8，∴d2＝1，∴d＝1或d＝－1.又四个数成递增等差数列，所以d＞0，∴d＝1，故所求的四个数为－2,0,2,4.法二：若设这四个数为a，a＋d，a＋2d，a＋3d(公差为d)，依题意，2a＋3d＝2，且a(a＋3d)＝－8，把a＝1－32d代入a(a＋3d)＝－8，得1－32d1＋32d＝－8，即1－94d2＝－8，化简得d2＝4，所以d＝2或－2.又四个数成递增等差数列，所以d＞0，所以d＝2，a＝－2.故所求的四个数为－2,0,2,4.常见设元技巧(1)某两个数是等差数列中的连续两个数且知其和，可设这两个数为：a－d，a＋d，公差为2d；(2)三个数成等差数列且知其和，常设此三数为：a－d，a，a＋d，公差为d；(3)四个数成等差数列且知其和，常设成a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，公差为2d.[活学活用]已知成等差数列的四个数，四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这个等差数列．解：设这四个数依次为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)．由题设知a－3d＋a－d＋a＋d＋a＋3d＝26，a－da＋d＝40，解得a＝132，d＝32或a＝132，d＝－32.∴这个数列为2,5,8,11或11,8,5,2.