2019-2020学年高中数学 第二章 数列 2.1 数列的概念与简单表示法课件 新人教A版必修5

2.1数列的概念与简单表示法目标定位重点难点1.通过实例，了解数列的概念．2．理解数列的顺序性，感受数列是刻画自然规律的数学模型，了解数列的几种分类．3．了解数列的表示方法，理解递推公式的含义，能够根据递推公式写出数列前几项.重点：数列的表示方法．难点：递推公式的含义.1．数列的概念(1)定义：按照一定______排列着的一列数称为数列．(2)项：数列中的____________叫做这个数列的项．a1称为数列{an}的第1项(或称为______)，a2称为第2项，…，an称为第n项．(3)数列的表示：数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，简记为______．顺序每一个数首项{an}2．数列的分类分类标准名称含义按项的个数有穷数列项数________的数列无穷数列项数________的数列按项的变化趋势递增数列从第____项起，每一项都______它的前一项的数列递减数列从第____项起，每一项都______它的前一项的数列常数列________的数列摆动数列从第____项起，有些项______它的前一项，有些项______它的前一项的数列有限无限2大于2小于各项相等2大于小于3．数列的通项公式如果数列{an}的第n项与________之间的关系可以用__________来表示，那么就把这个式子叫做这个数列的通项公式．4．数列的递推关系式如果已知数列{an}的________(或前几项)且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的______________(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．序号n一个式子第一项前一项an－11．下列有关数列的说法正确的是()①同一数列的任意两项均不可能相同；②数列－1,0,1与数列1,0，－1是同一个数列；③数列中的每一项都与它的序号有关．A．①②B．①③C．②③D．③【答案】D2．下面四个结论：①数列可以看作是一个定义在正整数集(或它的有限子集{1,2,3…，n})上的函数．②数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点．③数列的项数是无限的．④数列通项的表示式是唯一的．其中正确的是()A．①②B．①②③C．②③D．①②③④【答案】A3．已知an＝n(n＋1)，以下四个数中，哪个是数列{an}中的一项()A．18B．21C．25D．30【答案】D4．23，415，635，863，1099，…的一个通项公式是________．【答案】an＝2n2n－12n＋1探求数列的通项公式【例1】分别写出下列数列的一个通项公式，数列的前4项已给出．(1)22－12，32－13，42－14，52－15，…；(2)－12，16，－112，120，…；(3)0.9,0.99,0.999,0.9999，…；(4)5,4,5,4，….【解题探究】这样的问题需要由特殊到一般进行归纳，认真观察，深入分析内在规律，如：什么在变，什么不变，尤其是变化的量与相应的项数n有何关系，有时也可以以一些简单的数列为依据．【解析】(1)该数列第1,2,3,4项的分母分别为2,3,4,5，恰比项数多1.分子中的22,32,42,52恰是分母的平方，－1不变，故它的一个通项公式为an＝n＋12－1n＋1.(2)该数列各项符号是正负交替变化的，需设计一个符号因子(－1)n，分子均为1不变，分母2,6,12,20可分解为1×2,2×3,3×4,4×5，则它的一个通项公式为an＝(－1)n1nn＋1.(3)0.9＝1－0.1,0.99＝1－0.01,0.999＝1－0.001,0.9999＝1－0.0001，而0.1＝10－1,0.01＝10－2,0.001＝10－3,0.0001＝10－4，∴它的一个通项公式为an＝1－10－n.(4)这个数列前4项构成一个摆动数列，奇数项是5，偶数项是4.所以它的一个通项公式为an＝4＋1＋－1n－12＝9＋－1n－12或an＝5，n为奇数，4，n为偶数.【方法规律】已知数列的前几项求通项公式，主要从以下几个方面来考虑：(1)负号用(－1)n与(－1)n＋1或(－1)n－1来调节，这是因为n和n＋1奇偶交错；(2)分式形式的数列，分子找通项，分母找通项，要充分借助分子、分母的关系；(3)对于比较复杂的通项公式，要借助于等差数列、等比数列(后面专门学习)和其他方法解决；(4)此类问题虽无固定模式，但也有其规律可循，主要靠观察(观察规律)、比较(比较已知的数列)、归纳、转化(转化为等差或等比数列)等方法．(1)数列14，12，34，1，54，32，…的一个通项公式为________；(2)数列1,22，33，8,55，66，77，…的一个通项公式为__________；(3)数列1，－12，14，－18，116，…的一个通项公式为__________．【答案】(1)an＝n4(2)an＝nn(3)an＝－12n－1【解析】(1)先把各项都写成分数形式，注意到4＝2×2，可以把分母不是4的项改写成分母为4的情形，即14，24，34，44，54，64，…，∴an＝n4.(2)先将数列中的部分项作调整，使之都含有根号和系数，即11，22，33，44，55，66，77，…，∴an＝nn.(3)奇数项为正，偶数项为负，可由(－1)n－1来实现，分子全为1，分母依次为20,21,22,23，…，∴an＝－1n－12n－1，即an＝－12n－1.【例2】已知数列{an}的通项公式为an＝3n2－28n.(1)写出数列的第4项和第6项；(2)－49和68是该数列的项吗？若是，是第几项？若不是，请说明理由．【解析】(1)∵an＝3n2－28n，∴a4＝3×42－28×4＝－64，a6＝3×62－28×6＝－60.数列通项公式的应用(2)令3n2－28n＝－49，即3n2－28n＋49＝0，∴n＝7或n＝73(舍去)．∴－49是该数列的第7项，即a7＝－49.令3n2－28n＝68，即3n2－28n－68＝0，∴n＝－2或n＝343.∵－2∉N*，343∉N*，∴68不是该数列的项．【方法规律】通项公式的简单应用主要包括的两个方面：(1)由通项公式写出数列的前几项．主要是对n进行取值，然后代入通项公式，相当于函数中，已知函数解析式和自变量的值求函数值；(2)判断一个数是否为该数列中的项．可由通项公式等于这个数解出n，根据n是否有正整数解便可确定这个数是否为数列中的项．已知有限数列45，910，1617，2526，…，m2m2＋1(m≥2，且m∈N*)．(1)指出这个数列的一个通项公式；(2)判定0.98是不是这个数列中的项？若是，是第几项？【解析】(1)由观察知尽管数列的通项公式不是m2m2＋1，但是与这种形式应较接近．又因为前n项分子依次为4,9,16,25，…可看成与项数n的关系式为(n＋1)2，而每一项的分母恰好比分子大1，所以分母可看成与项数n的关系式为(n＋1)2＋1.所以数列的通项公式为an＝n＋12n＋12＋1(n＝1,2，…，m－1)．(2)由(1)知数列的通项公式an＝n＋12n＋12＋1，不妨设0.98是这个数列的第n项，即n＋12n＋12＋1＝0.98，解得n＝6∈N*.所以0.98是数列中的第6项．【解题探究】将已知等式左边分解因式，以便找出前后项的明显关系．数列的递推公式【例3】设{an}是首项为1的正项数列且(n＋1)a2n＋1－na2n＋an＋1an＝0(n∈N*)，求通项公式an.【解析】方法一：(累乘法)由(n＋1)a2n＋1－na2n＋an＋1an＝0，得[(n＋1)an＋1－nan](an＋1＋an)＝0.∵an＞0，∴an＋an＋1＞0，∴(n＋1)an＋1－nan＝0.∴an＋1an＝nn＋1.∴a2a1·a3a2·a4a3·a5a4·…·anan－1＝12×23×34×45×…×n－1n，即ana1＝1n.又a1＝1，∴an＝1na1＝1n.方法二：(构造特殊数列法)同方法一，得(n＋1)an＋1＝nan，∴数列{nan}是常数列．∴nan＝1·a1＝1，∴an＝1n.【规律总结】由递推关系式an＝f(n)an－1求数列的通项公式时一般采用累乘法．除此外，还应注意原递推公式变形后的数列是否为某个特殊数列．周期数列问题是数列中的一种重要题型，其周期性往往隐藏于数列的递推关系中，解决的关键在于利用递推公式算出若干项或由递推公式发现规律，得出周期而得解．(1)已知数列{an}中，a1＝3，an＋1＝2an＋1，则a3＝()A．3B．7C．15D．18(2)(2019年黑龙江哈尔滨模拟)数列{an}满足an＋1＝2an，0≤an≤12，2an－1，12an1，a1＝35，则数列的第2019项为________．【答案】(1)C(2)25【解析】(1)∵a1＝3，an＋1＝2an＋1，∴a2＝2a1＋1＝2×3＋1＝7，a3＝2a2＋1＝2×7＋1＝15.故选C．(2)由已知可得a2＝2×35－1＝15，a3＝2×15＝25，a4＝2×25＝45，a5＝2×45－1＝35，∴{an}为周期数列且T＝4.∴a2019＝a504×4＋3＝a3＝25.【示例】已知数列{an}的通项公式为an＝－2n2＋21n，求该数列中数值最大的项．忽视了数列中自变量n只能是正整数而致错【错解】an＝－2n2＋21n＝－2n－2142＋4418，∴an的最大值为4418，∴该数列中数值最大的项为214.【错因】数列是函数，可用二次函数求最值的方法求数列中的最大(小)项，但忽视了数列中自变量n只能是正整数，n取不到214.【正解】an＝－2n－2142＋4418，∵n∈N*，∴当n＝5或6时，an最大．∵a5＝55，a6＝54，∴数值最大的项为第5项，最大值为55.【警示】应熟记有关概念，看清、理解各命题，逐一进行判断，对错误命题的判断只需举一反例即可．1．判断两个数列是否为相同的数列，主要看顺序和项是否相同．2．通项公式如果已知一个数列的通项公式，只要用序号代替公式中的n就可以求出数列中的指定项，如果给出数列中的前几项，也可发现序号、项之间的一种关系，一个数列依据前几项归纳出的通项公式只适合前几项，对后面省略的项是否成立，并不知道．注意：一个数列的通项公式并不一定唯一，甚至有些数列不存在通项公式．3．递推公式递推公式是表示数列的一种重要方法，是指已知数列{an}的第一项(或前几项)及相邻两项(或几项)间关系可以用一个公式来表示，这个公式也就是递推公式，其关键是先求出a1或a2，然后用递推关系逐一写出数列中的各项．注意：并不是所有数列都有递推公式，即使有些数列存在递推公式，递推公式也不一定唯一．特别是依据数列前几项寻求递推关系，递推公式可能不止一个．1．数列1，－3,5，－7,9，…的一个通项公式an为()A．an＝2n－1B．an＝(－1)n(1－2n)C．an＝(－1)n(2n－1)D．an＝(－1)n(2n＋1)【答案】B【解析】当n＝1时，a1＝1，排除C，D；当n＝2时，a2＝－3，排除A．故选B．2．数列－12，14，－18，116，…的一个通项公式是()A．－12nB．－1n2nC．－1n＋12nD．－1n2n＋1【答案】B【解析】所给的数列每一项的分子都是1，分母等于2n，每一项的符号为(－1)n，故此数列的一个通项公式是－1n2n.故选B．3．已知an＝n－7n－52(n∈N*)，设am为数列{an}的最大项，则m＝______.【答案】8【解析】an＝n－7n－52＝1＋52－7n－52.根据函数的单调性可判断数列{an}在[1,7]，[8，＋∞)单调递减，∵在[1,7]上an＜1，在[8，＋∞)上an＞1，∴a8为最大项．4．中，若a1＝12，an＝11－an－1(n≥2，n∈N*)，则a2016等于________．【答案】－1【解析】∵a1＝12，an＝11－an－1，