2019-2020学年高中数学 第二章 平面向量章末总结课件 新人教A版必修4

章末总结网络建构知识辨析判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里打“√”,错误的打“×”.1.向量与有向线段是一样的,因此可以用有向线段来表示向量.()2.当两个非零向量a,b共线时,一定有b=λa,反之成立.()3.平面向量的基底不唯一,只要基底确定后,平面内的任何一个向量都可用这组基底唯一表示.()4.平面向量不论经过怎样的平移变换,其坐标不变.()5.若a·b0,则a和b的夹角为锐角;若a·b0,则a和b的夹角为钝角.()×√√√×6.两个向量的数量积是一个实数,向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.()√7.在△ABC中,若AB·BC0,则△ABC为钝角三角形.()8.已知平面直角坐标系内有三个定点A(-2,-1),B(0,10),C(8,0),若动点P满足:OP=OA+t(AB+AC),t∈R,则点P的轨迹方程是x-y+1=0.()×√题型归纳真题赏析题型归纳·素养提升题型一平面向量的线性运算[典例1](1)如图,正六边形ABCDEF中,BA+CD+EF等于()(A)0(B)BE(C)AD(D)CF(1)解析:如题图,在正六边形ABCDEF中,CD=AF,BF=CE,所以BA+CD+EF=BA+AF+EF=BF+EF=CE+EF=CF.故选D.(2)如图,在△ABC中,点M是AB边的中点,E是中线CM的中点,AE的延长线交BC于F.MH∥AF交BC于H.求证:HF=BH=FC.(2)证明:设BM=a,MH=b,则BH=a+b,HF=HB+BA+AF=-BH+2BM+2MH=-a-b+2a+2b=a+b,FC=FE+EC=12HM+ME=-12MH+MA+AE=-12b+BM+AF-EF=-12b+a+2MH-12MH=-12b+a+2b-12b=a+b.综上,得HF=BH=FC.规律方法平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略(1)向量加法或减法的几何意义.向量加法和减法均适合三角形法则;(2)求已知向量的和.一般共起点的向量求和用平行四边形法则;求差用三角形法则;求首尾相连向量的和用三角形法则;(3)求参数问题可以通过研究向量间的关系,通过向量的运算将向量表示出来,进行比较,求参数的值.题型二平面向量的数量积[典例2](1)(2018·广州海珠区综合测试)已知向量a,b的夹角为60°,|a|=2,|a-2b|=2,则|b|等于()(A)4(B)2(C)2(D)1解析:(1)由|a-2b|=2,得(a-2b)2=|a|2-4a·b+4|b|2=4,即|a|2-4|a||b|cos60°+4|b|2=4,则|b|2-|b|=0,解得|b|=0(舍去)或|b|=1,故选D.答案:(1)D(2)(2018·吉林百校联盟联考)已知单位向量e1与e2的夹角为π3,向量e1+2e2与2e1+λe2的夹角为2π3,则λ等于()(A)-23(B)-3(C)-23或-3(D)-1解析:(2)依题意可得|e1+2e2|=22112242eeee=7,同理,|2e1+λe2|=242,而(e1+2e2)·(2e1+λe2)=4+52λ,又向量e1+2e2与2e1+λe2的夹角为2π3,可知12121212(2)(2)22eeeeeeee=2542742=-12,由此解得λ=-23或-3,又4+52λ0,所以λ=-3.故选B.答案:(2)B(3)如图所示,在平行四边形ABCD中,AP⊥BD,垂足为P,且AP=3,则AP·AC=.解析:(3)因为AP·AC=AP·(AB+BC)=AP·AB+AP·BC=AP·AB+AP·(BD+DC)=AP·BD+2AP·AB,AP⊥BD,所以AP·BD=0.因为AP·AB=|AP||AB|cos∠BAP=|AP|2,所以AP·AC=2|AP|2=2×9=18.答案:(3)18规律方法平面向量数量积的三种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时,可利用定义法求解,即a·b=|a||b|cosa,b.(2)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2.(3)利用数量积的几何意义求解.题型三向量的坐标运算[典例3]已知向量AB=(4,3),AD=(-3,-1),点A(-1,-2).(1)求线段BD的中点M的坐标;解:(1)设点B的坐标为(x1,y1).因为AB=(4,3),A(-1,-2),所以(x1+1,y1+2)=(4,3).所以11+14,+23xy，所以113,1.xy所以B(3,1).同理可得D(-4,-3).设线段BD的中点M的坐标为(x2,y2),则x2=342=-12,y2=132=-1,所以M(-12,-1).(2)若点P(2,y)满足PB=λBD(λ∈R),求y与λ的值.解:(2)由已知得PB=(3,1)-(2,y)=(1,1-y),BD=(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4).又PB=λBD,所以(1,1-y)=λ(-7,-4),则17,14,y所以1,73.7y规律方法向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行计算.若已知有向线段两端点的坐标,则应先求出向量的坐标,解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则,它是将几何问题代数化的有力工具,它是转化思想、函数与方程、分类讨论、数形结合等思想方法的具体体现.题型四平面向量在解析几何中的应用[典例4]四边形ABCD中,AB=(6,1),BC=(x,y),CD=(-2,-3).(1)若BC∥DA,求x与y之间的关系式;解:(1)因为AD=AB+BC+CD=(6,1)+(x,y)+(-2,-3)=(x+4,y-2),所以DA=-AD=(-x-4,2-y).又因为BC∥DA,BC=(x,y),所以x(2-y)-(-x-4)y=0,即x+2y=0.解:(2)由AC=AB+BC=(6,1)+(x,y)=(x+6,y+1),BD=BC+CD=(x,y)+(-2,-3)=(x-2,y-3).又因为AC⊥BD,所以AC·BD=0,即(x+6)(x-2)+(y+1)(y-3)=0,又x+2y=0,所以20,62130.xyxxyy解得6,3xy或2,1,xy(2)满足(1)的条件,同时又有AC⊥BD,求x,y的值以及四边形ABCD的面积.当x=-6,y=3时,AC=(0,4),BD=(-8,0),所以S四边形ABCD=12|AC|·|BD|=16,当x=2,y=-1时,AC=(8,0),BD=(0,-4),所以S四边形ABCD=12|AC|·|BD|=16.规律方法向量在解析几何中的“两个”作用(1)载体作用:向量在解析几何问题中出现,多用于“包装”,解决此类问题的关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”,导出曲线上点的坐标之间的关系,从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题;(2)工具作用:利用a⊥b⇔a·b=0(a,b为非零向量),a∥b⇔a=λb(b≠0),可解决垂直、平行问题,特别地,向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题也是一种比较简捷的方法.题型五平面向量在平面几何中的应用[典例5]如图所示,以△ABC的两边AB,AC为边向外作正方形ABGF,ACDE,M为BC的中点,求证:AM⊥EF.证明:因为M是BC的中点,所以AM=12(AB+AC),又EF=AF-AE,所以AM·EF=12(AB+AC)·(AF-AE)=12(AB·AF+AC·AF-AB·AE-AC·AE)=12(0+AC·AF-AB·AE-0)=12(AC·AF-AB·AE)=12[|AC||AB|cos(90°+∠BAC)-|AB||AC|cos(90°+∠BAC)]=0.所以AM⊥EF,即AM⊥EF.规律方法向量与平面几何综合问题的解法(1)坐标法把几何图形放在适当的坐标系中,则有关点与向量就可以用坐标表示,这样就能进行相应的代数运算和向量运算,从而使问题得到解决.(2)基向量法适当选取一组基底,沟通向量之间的联系,利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解.题型六易错辨析[典例6]下列叙述错误的是.(填序号)①若非零向量a与b方向相同或相反,则a+b与a,b之一的方向相同;②|a|+|b|=|a+b|⇔a与b方向相同;③向量b与向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ,使得b=λa;④AB+BA=0;⑤若λa=λb,则a=b.错解:④中两个向量的和仍是一个向量,所以AB+BA=0.纠错:在考虑向量共线问题时,要注意考虑零向量.正解:对于①,当a+b=0时,其方向任意,它与a,b的方向都不相同.对于②,当a,b之一为零向量时结论不成立.对于③,当a=0且b=0时,λ有无数个值;当a=0但b≠0或a≠0但b=0时,λ不存在.对于④,由于两个向量之和仍是一个向量,所以AB+BA=0.对于⑤,当λ=0时,不管a与b的大小与方向如何,都有λa=λb,此时不一定有a=b.故①②③④⑤均错.答案:①②③④⑤真题赏析·素养升级1.(2014·全国Ⅰ卷)设D,E,F分别为△ABC的三边BC,CA,AB的中点,则EB+FC等于()(A)AD(B)12AD(C)BC(D)12BC解析:因为D,E,F分别为BC,AC,AB的中点,设AD,BE,CF交点为O,则EB+FC=32OB+32OC=32×2OD=3OD=AD.故选A.A2.(2018·全国Ⅰ卷)在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则EB等于()(A)34AB-14AC(B)14AB-34AC(C)34AB+14AC(D)14AB+34AC解析:EB=ED+DB=12AD+12CB=12×12(AB+AC)+12(AB-AC)=34AB-14AC.故选A.A3.(2018·全国Ⅱ卷)已知向量a,b满足|a|=1,a·b=-1,则a·(2a-b)等于()(A)4(B)3(C)2(D)0B解析:a·(2a-b)=2a2-a·b=2|a|2-a·b.因为|a|=1,a·b=-1,所以原式=2×12+1=3.故选B.4.(2017·全国Ⅰ卷)已知向量a,b的夹角为60°,|a|=2,|b|=1,则|a+2b|=.解析:因为|a+2b|2=a2+4a·b+4b2=4+4|a||b|cos60°+4=8+4×2×1×12=12.所以|a+2b|=23.答案:23解析:由a⊥b得a·b=0,即-2×3+3m=0,解得m=2.答案:25.(2017·全国Ⅲ卷)已知向量a=(-2,3),b=(3,m),且a⊥b,则m=.6.(2016·全国Ⅰ卷)设向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则m=.解析:|a|2=m2+1,|b|2=1+4=5,a+b=(m+1,3),|a+b|2=(m+1)2+32,因为|a+b|2=|a|2+|b|2,所以(m+1)2+9=m2+1+5,解得m=-2.答案:-2解析:a=(-1,2),b=(m,1),a+b=(m-1,3).(a+b)⊥a,所以(a+b)·a=0,所以(m-1)(-1)+6=0,m=7.答案:77.(2017·全国Ⅰ卷)已知向量a=(-1,2),b=(m,1).若向量a+b与a垂直,则m=.8.(2018·全国Ⅲ卷)已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,λ).若c∥(2a+b),则λ=.解析:由题易得2a+b=(4,2),因为c∥(2a+b),所以4λ=2,得λ=12.答案:12