2019-2020学年高中数学 第二章 平面向量 第3节 平面向量的基本定理及坐标表示 第2课时 平

第2课时平面向量的正交分解及坐标表示平面向量的坐标表示平面向量共线的坐标表示一、预习教材·问题导入根据以下提纲，预习教材P94～P100的内容，回答下列问题．(1)在平面内，规定e1，e2为基底，那么一个向量关于e1，e2的分解是唯一的吗？提示：唯一．(2)在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，任作一向量.根据平面向量基本定理，＝xi＋yj，那么(x，y)与A点的坐标相同吗？提示：相同．(3)如果向量也用(x，y)表示，那么这种向量与实数对(x，y)之间是否一一对应？提示：一一对应．(4)已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，如何求a＋b，a－b，λa的坐标？提示：a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)．(5)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，你能求出的坐标吗？提示：能．＝(x2－x1，y2－y1)．二、归纳总结·核心必记1.平面向量的正交分解把一个向量分解为两个的向量，叫做把向量正交分解．2.平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个i、j作为基底．对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x、y，使得，则叫做向量a的坐标，记作，此式叫做向量的坐标表示．3.向量i，j，0的坐标表示i＝，j＝，0＝．互相垂直单位向量a＝xi＋yj(x，y)a＝(x，y)(1，0)(0，1)(0，0)4.平面向量的坐标运算续表5.平面向量共线的坐标表示前提条件a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0结论当且仅当时，向量a、b(b≠0)共线x1y2－x2y1＝0三、综合迁移·深化思维(1)在平面直角坐标系中，若a＝b，那么a与b的坐标具有什么特点？为什么？提示：若a＝b，那么它们的坐标相同，根据平面向量基本定理，相等向量在平面直角坐标系中的分解是唯一的，所以相等向量的坐标相同．(2)与坐标轴平行的向量的坐标有什么特点？提示：与x轴平行的向量的纵坐标为0，即a＝(x，0)，与y轴平行的向量的横坐标为0，即b＝(0，y)．(3)点的坐标与向量坐标有什么区别和联系？提示：区别：①表示形式不同，向量a＝(x，y)中间用等号连接，而点的坐标A(x，y)中间没有等号．②意义不同，点A(x，y)的坐标表示点A在平面直角坐标系中的位置，向量a＝(x，y)的坐标既表示大小，又表示方向；另外(x，y)既可以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点(x，y)或向量(x，y)．联系：当平面向量的起点在原点时，平面向量的坐标与向量终点坐标相同．(4)两向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)共线的坐标条件能表示为x1x2＝y1y2吗？提示：不一定，为使分式有意义，需分母不为0，可知只有当x2y2≠0时才能这样表示．(5)如果两个非零向量共线，你能通过其坐标判断它们是同向还是反向吗？提示：将b写成λa的形式，根据λ的符号判断，如a＝(－1，2)，b＝16，－13＝－16(－1，2)＝－16a，故a，b反向．探究点一向量的坐标表示[典例精析]1．如图所示，在边长为1的正方形ABCD中，AB与x轴正半轴成30°角．求点B和点D的坐标和的坐标．[解]由题知B、D分别是30°，120°角的终边与单位圆的交点．设B(x1，y1)，D(x2，y2)．由三角函数的定义，得x1＝cos30°＝32，y1＝sin30°＝12，∴B32，12.x2＝cos120°＝－12，y2＝sin120°＝32，∴D－12，32.∴＝32，12，＝－12，32.[类题通法]求点和向量坐标的常用方法(1)在求一个向量时，可以先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．(2)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标．[针对训练]1．已知O是坐标原点，点A在第一象限，||＝43，∠xOA＝60°，(1)求向量的坐标；(2)若B(3，－1)，求的坐标．解：(1)设点A(x，y)，则x＝43cos60°＝23，y＝43sin60°＝6，即A(23，6)，＝(23，6)．(2)＝(23，6)－(3，－1)＝(3，7).探究点二平面向量的坐标运算[典例精析]2．(1)已知向量a，b的坐标分别是(－1，2)，(3，－5)，求a＋b，a－b，3a，2a＋3b的坐标；(2)已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，且，，求M，N及的坐标．[解](1)a＋b＝(－1，2)＋(3，－5)＝(2，－3)，a－b＝(－1，2)－(3，－5)＝(－4，7)，3a＝3(－1，2)＝(－3，6)，2a＋3b＝2(－1，2)＋3(3，－5)＝(－2，4)＋(9，－15)＝(7，－11)．[类题通法]1.平面向量坐标运算的方法(1)若已知向量的坐标，则直接利用向量和、差及向量数乘运算的坐标运算法则求解．(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，再利用向量的坐标运算法则求解．2.坐标形式下向量相等的条件及其应用(1)条件：相等向量的对应坐标相等；对应坐标相等的向量是相等向量．(2)应用：利用坐标形式下向量相等的条件，可以建立相等关系，由此可求某些参数的值．[针对训练]2．已知a＝，B点坐标为(1，0)，b＝(－3，4)，c＝(－1，1)，且a＝3b－2c，求点A的坐标．解：∵b＝(－3，4)，c＝(－1，1)，∴3b－2c＝3(－3，4)－2(－1，1)＝(－9，12)－(－2，2)＝(－7，10)，即a＝(－7，10)＝.又B(1，0)，设A点坐标为(x，y)，则＝(1－x，0－y)＝(－7，10)，∴1－x＝－7，0－y＝10⇒x＝8，y＝－10，即A点坐标为(8，－10)．探究点三向量共线的坐标表示[典例精析]3．(1)已知向量a＝(1，2)，b＝(λ，1)，若(a＋2b)∥(2a－2b)，则λ的值等于()A.12B.13C．1D．2(2)设向量＝(k，12)，＝(4，5)，＝(10，k)，求当k为何值时，A、B、C三点共线．[解](1)法一：a＋2b＝(1，2)＋2(λ，1)＝(1＋2λ，4)，2a－2b＝2(1，2)－2(λ，1)＝(2－2λ，2)．由(a＋2b)∥(2a－2b)可得2(1＋2λ)－4(2－2λ)＝0，解得λ＝12.法二：假设a，b不共线，则由(a＋2b)∥(2a－2b)可得a＋2b＝μ(2a－2b)，从而1＝2μ，2＝－2μ，方程组显然无解，即a＋2b与2a－2b不共线，这与(a＋2b)∥(2a－2b)矛盾，从而假设不成立，故应有a，b共线，所以1λ＝21，即λ＝12.∴(4－k，－7)＝λ(10－k，k－12)，即4－k＝λ（10－k），－7＝λ（k－12），解得k＝－2或k＝11.∴当k＝－2或11时，A、B、C三点共线．∴(4－k)(k－12)＋7(10－k)＝0，即k2－9k－22＝0，解得k＝－2或k＝11.∴当k＝－2或11时，A、B、C三点共线．答案：(1)A[类题通法]1.向量共线的判定方法(1)利用向量共线定理，由a＝λb(b≠0)推出a∥b.(2)利用向量共线的坐标表达式x1y2－x2y1＝0直接求解．2.三点共线的实质与证明步骤(1)实质：三点共线问题的实质是向量共线问题．两个向量共线只需满足方向相同或相反，两个向量共线与两个向量平行是一致的．(2)证明步骤：利用向量平行证明三点共线需分两步完成：①证明向量平行；②证明两个向量有公共点．[针对训练]3．(1)已知a＝(1，2)，b＝(－3，2)，当实数k为何值时，(ka＋b)∥(a－3b)？这两个向量的方向是相同还是相反？(2)已知点A(x，0)，B(2x，1)，C(2，x)，D(6，2x)．①求实数x的值，使向量共线；②当向量共线时，点A，B，C，D是否在一条直线上？解：(1)∵a＝(1，2)，b＝(－3，2)，∴ka＋b＝(k－3，2k＋2)，a－3b＝(10，－4)．由题意得(k－3)×(－4)－10(2k＋2)＝0，解得k＝－13.此时ka＋b＝－13a＋b＝－13(a－3b)，∴当k＝－13时，(ka＋b)∥(a－3b)，并且它们的方向相反．[课堂归纳领悟]1．本节课的重点是平面向量的坐标表示及运算、平面向量共线的坐标表示．2．本节课要重点掌握以下三个问题(1)向量的坐标表示，见探究点一；(2)向量的坐标运算，见探究点二；(3)向量共线的坐标表示，见探究点三.3．要正确理解向量平行的条件(1)a∥b(b≠0)⇔a＝λb.这是几何运算，体现了向量a与b的长度及方向之间的关系．(2)a∥b⇔a1b2－a2b1＝0，其中a＝(a1，b1)，b＝(a2，b2)．这是代数运算，由于不需引进参数λ，从而简化代数运算．(3)a∥b⇔a1b1＝a2b2，其中a＝(a1，b1)，b＝(a2，b2)且b1≠0，b2≠0.即两向量的对应坐标成比例．通过这种形式较易记忆向量共线的坐标表示，而且不易出现搭配错误．