2019-2020学年高中数学 第二章 平面向量 第3节 平面向量的基本定理及坐标表示 第1课时 平

第1课时平面向量基本定理一、预习教材·问题导入根据以下提纲，预习教材P93～P94的内容，回答下列问题．(1)观察教材P93图2.3－2的作图过程，思考：如果e1，e2是两个不共线的确定向量，那么与e1，e2在同一平面内的任意向量a能否用e1，e2表示？根据是什么？提示：可以．根据是数乘向量和平行四边形法则．(2)平面内的任意两个向量都可以平移至公共起点，它们存在夹角吗？提示：存在．(3)两个非零向量夹角θ的取值范围是什么？当非零向量a与b共线时，它们的夹角是多少？提示：两个非零向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°.当非零向量a与b共线时，它们的夹角是0°或180°.二、归纳总结·核心必记1.平面向量基本定理条件e1，e2是同一平面内的两个．结论这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝.基底的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.不共线向量λ1e1＋λ2e2不共线2.向量的夹角条件两个非零向量a和b产生过程作向量＝a，＝b，则叫做向量a与b的夹角∠AOB续表范围特殊情况θ＝0°a与bθ＝90°a与b，记作θ＝180°a与b[0，π]同向垂直a⊥b反向三、综合迁移·深化思维(1)0能与另外一个向量a构成基底吗？提示：不能．基向量是不共线的，而0与任意向量是共线的．(2)平面向量的基底是唯一的吗？提示：不是．平面内任何不共线的两个向量都可以作为基底，基底一旦确定，平面内任何一向量都可以用这一基底唯一表示．(3)如果e1，e2是共线向量，那么向量a能否用e1，e2表示？为什么？提示：不一定，当a与e1共线时可以表示，否则不能表示．探究点一用基底表示向量[典例精析]如图，在平行四边形ABCD中，设对角线AC→＝a，BD→＝b，试用基底a，b表示AB→，BC→.[类题通法]用基底表示向量的方法将两个不共线的向量作为基底表示其他向量，基本方法有两种：一种是运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至能用基底表示为止；另一种是通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求解．[针对训练]1．如图所示，已知在▱ABCD中，E，F分别是BC，DC边上的中点．若，试用a，b为基底表示向量解：∵四边形ABCD是平行四边形，E，F分别是BC，DC边上的中点，探究点二向量的夹角问题[典例精析]2．已知|a|＝|b|＝2，且a与b的夹角为60°，则a＋b与a的夹角是多少？a－b与a的夹角又是多少？[类题通法]两个向量夹角的实质及求解的关键(1)实质：两个向量的夹角，实质上是从同一起点出发的两个非零向量构成的角．(2)关键：求两个向量的夹角，关键是利用平移的方法使两个向量的起点重合，然后按照“一作二证三算”的步骤，并结合平面几何知识求出两个向量的夹角．[针对训练]2．如图，已知△ABC是等边三角形．(1)求向量的夹角；(2)若E为BC的中点，求向量的夹角．解：(1)∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝60°.如图，延长AB至点D，使AB＝BD，∵∠DBC＝120°，(2)∵E为BC的中点，∴AE⊥BC，∴的夹角为90°.探究点三平面向量基本定理的应用[典例精析]3．如图，在矩形OACB中，E和F分别是边AC和BC上的点，满足AC＝3AE，BC＝3BF，若，其中λ，μ∈R，求λ，μ的值．[类题通法]1.平面向量基本定理唯一性的应用设a，b是同一平面内的两个不共线向量，若x1a＋y1b＝x2a＋y2b，则x1＝x2，y1＝y2.2.重要结论设e1，e2是平面内一组基底，[针对训练]3．如图所示，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在边AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求证：AP∶PM＝4∶1.所以λ12b＋12c－μ23c－b＝b，即12λ＋μb＋12λ－23μc＝b.又因为b与c不共线，所以12λ＋μ＝1，12λ－23μ＝0.解得λ＝45，μ＝35.即AP∶PM＝4∶1.[课堂归纳领悟]1．本节课的重点是平面向量基本定理及其应用、平面向量的夹角，难点是平面向量基本定理的应用．2．本节课要重点掌握以下三个问题(1)用基底表示向量，见探究点一；(2)求向量的夹角，见探究点二；(3)用平面向量基本定理解决相关问题，见探究点三.3．本节课的易错点有两处(1)向量的夹角和直线的夹角范围是不同的，它们分别是[0，π]和0，π2.(2)两非零向量的夹角是将两个向量的起点移到同一点所成的角.