2019-2020学年高中数学 第二章 平面向量 2.5.1 平面几何中的向量方法 2.5.2 向量

2.5平面向量应用举例2.5.1平面几何中的向量方法2.5.2向量在物理中的应用举例目标导航课标要求1.能用向量方法解决简单的几何问题、力学问题等一些实际问题.2.掌握用向量方法解决实际问题的基本方法.素养达成1.通过用向量方法解决简单的几何问题、力学问题的学习,使学生养成数学建模和数学运算的素养.2.通过用向量方法解决实际问题的学习,提升逻辑推理和数据分析的素养.新知导学课堂探究1.用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”(1)建立平面几何与向量的联系,用表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为;(2)通过,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题.(3)把运算结果“翻译”成几何关系.新知导学·素养养成向量向量问题向量运算思考1:向量方法可解决平面几何中的哪些问题?提示:直线的平行、垂直及三点共线的证明问题;两点的距离(线段长度)、夹角的计算问题等.2.向量在物理中的应用(1)物理问题中常见的向量有力、速度、位移等.(2)向量的加减法运算体现在一些物理量的合成和分解中.(3)动量mv是向量的数乘运算.(4)功是力F与位移s的数量积.思考2:在物理学中,你知道哪些知识与向量的线性运算有关系?提示:力、速度、加速度、位移的合成与分解,实质上就是向量的加、减运算.名师点津向量在平面几何中的应用(1)把平面几何中的线段规定方向转化为向量,这样,有关线段的长度即转化为向量的长度(模)、射线的夹角即转化为向量的夹角,于是平面几何中的一些证明、计算就被向量的运算取代,这给许多问题的解决带来了方便,就是说向量为我们研究平面几何问题提供了一种新的思想,新的工具.(2)平面几何证明中辅助线往往是学习的难点,而引入向量后,就减少或不需作辅助线,但应注意选用基底表示有关向量时,选用的基底不同,解法也会有一些差别,因此选用合适的基底显然很重要.课堂探究·素养提升题型一向量在平面几何中的应用[例1]求等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的余弦值.解:如图,分别以等腰直角三角形的两直角边为x轴、y轴建立直角坐标系,设A(2a,0),B(0,2a),则D(a,0),C(0,a),从而可求:AC=(-2a,a),BD=(a,-2a),不妨设AC,BD的夹角为θ,则cosθ=ACBDACBD=2,,255aaaaaa=2245aa=-45.故所求钝角的余弦值为-45.方法技巧用向量法证明平面几何问题的两种基本思路(1)向量的线性运算法的四个步骤:①选取基底;②用基底表示相关向量;③利用向量的线性运算或数量积找相应关系;④把几何问题向量化.(2)向量的坐标运算法的四个步骤:①建立适当的平面直角坐标系;②把相关向量坐标化;③用向量的坐标运算找相应关系;④把几何问题向量化.解:设P(x,y),则OP=(x,y),AP=(x-4,y),因为P是AC与OB的交点,所以P在直线AC上,也在直线OB上,即得OP∥OB,AP∥AC,由点A(4,0),B(4,4),C(2,6)得,AC=(-2,6),OB=(4,4),得方程组6420,440,xyxy解得3,3,xy故直线AC与OB的交点P的坐标为(3,3).即时训练1-1:已知点A(4,0),B(4,4),C(2,6),试用向量方法求直线AC和OB(O为坐标原点)的交点P的坐标.[备用例1]如图所示,四边形ABCD是正方形,P是对角线DB上一点,四边形PFCE是矩形,证明:PA⊥EF.证明:以D为原点,以DC所在直线为x轴,以DA所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,如图.令正方形ABCD的边长为1,DP=λ,则A(0,1),P(22λ,22λ),E(1,22λ),F(22λ,0),于是PA=(-22λ,1-22λ),EF=(22λ-1,-22λ),因为PA·EF=(-22λ)·(22λ-1)+(1-22λ)·(-22λ)=-22λ·(22λ-1+1-22λ)=-22λ×0=0,所以PA⊥EF,即PA⊥EF.题型二向量在解析几何中的应用[例2]过点A(-2,1),求:(1)与向量a=(3,1)平行的直线方程;解:设所求直线上任意一点P(x,y),因为A(-2,1),所以AP=(x+2,y-1).(1)由题意知AP∥a,所以(x+2)×1-3(y-1)=0,即x-3y+5=0.所以所求直线方程为x-3y+5=0.(2)与向量b=(-1,2)垂直的直线方程.解:(2)由题意,知AP⊥b,所以(x+2)×(-1)+(y-1)×2=0,即x-2y+4=0,所以所求直线方程为x-2y+4=0.方法技巧(1)本题求解的关键是在所求直线上任取一点P(x,y),从而得到向量AP的坐标.(2)用向量方法解决解析几何问题的步骤:一是把解析几何问题中的相关量用向量表示;二是转化为向量模型,通过向量运算解决问题;三是将结果还原为解析几何问题.解:设P(x,y),R(x0,y0),则RA=(1,0)-(x0,y0)=(1-x0,-y0),AP=(x,y)-(1,0)=(x-1,y).由RA=2AP,得00121,2,xxyy又因为点R在直线l:y=2x-6上,所以y0=2x0-6,所以00122,622.xxxy①②由①得x0=3-2x,代入②得6-2(3-2x)=2y,整理得y=2x,即为点P的轨迹方程.即时训练2-1:已知点A(1,0),直线l:y=2x-6,点R是直线l上的一点,若RA=2AP,求点P的轨迹方程.[备用例2]已知向量OA=(k,12),OB=(4,5),OC=(10,k),且A,B,C三点共线,当k0时,若k为直线的斜率,则过点(2,-1)的直线方程为.解析:因为AB=OB-OA=(4-k,-7),BC=OC-OB=(6,k-5),且AB∥BC,所以(4-k)(k-5)+6×7=0,解得k=-2或k=11.由k0可知k=-2,则过点(2,-1)且斜率为-2的直线方程为y+1=-2(x-2),即2x+y-3=0.答案:2x+y-3=0解:设|F1|=|F2|,由向量求和的平行四边形法则、力的平衡及直角三角形的知识,可得|F1|=2cos2G.题型三向量在物理中的应用[例3]在我们的日常生活中,我们会有这样的体验:两个人一起提一个又大又重的旅行包,两人手臂的夹角越大会越吃力,你能用本节知识解释这个问题吗?由此可知:当θ由0°到180°逐渐变大时,2由0°到90°逐渐变大,cos2的值由大逐渐变小,因此|F1|由小逐渐变大,故两个分力F1,F2之间的夹角越大越吃力,夹角越小越省力.方法技巧(1)解力的向量问题时,依据题意对物体进行受力分析,通过向量加法的平行四边形法则对力进行分解和合成.(2)解题时要明确各个向量之间的关系及它们各自在题目中的地位,借助于图形,将物理量之间的关系抽象为数学模型.即时训练3-1:已知两恒力F1=(3,4),F2=(6,-5)作用于同一质点,使之由点A(20,15)移动到点B(7,0),试求:(1)F1,F2分别对质点所做的功;解:设物体在力F作用下的位移为s,则所做的功为W=F·s.AB=(7,0)-(20,15)=(-13,-15).(1)W1=F1·AB=(3,4)·(-13,-15)=3×(-13)+4×(-15)=-99(J),W2=F2·AB=(6,-5)·(-13,-15)=6×(-13)+(-5)×(-15)=-3(J).(2)F1,F2的合力F对质点所做的功.解:(2)W=F·AB=(F1+F2)·AB=[(3,4)+(6,-5)]·(-13,-15)=(9,-1)·(-13,-15)=9×(-13)+(-1)×(-15)=-117+15=-102(J).[备用例3]两根长度相等的轻绳,下端悬挂一质量为m的物体,上端分别固定在水平天花板上的M,N点,M,N两点间的距离为s,如图所示.已知每根绳所能承受的最大拉力为|T|,则每根绳的长度不得短于多少?解:作出物体的受力图如图所示,设此位置时,两绳的拉力达到最大值|T|,绳与竖直方向成θ角,绳长为L,则有2|T|cosθ=mg,①cosθ=222sLL.②①②联立解得L=2224TsTmg,故知绳的长度不得小于2224TsTmg.题型四易错辨析[例4]三角形ABC中,设BC=a,CA=b,AB=c,若a·b=b·c=c·a,请确定三角形ABC的形状.错解一:因为a·b=b·c=c·a,所以|a·b|=|b·c|=|c·a|,即|a||b|=|b||c|=|c||a|.由|a||b|=|b||c|得,|a|=|c|,由|b||c|=|c||a|得,|b|=|a|.所以|a|=|b|=|c|.故三角形ABC是等边三角形.错解二:因为a·b=b·c=c·a,所以a·b=b·c,即(a-c)·b=0,而b≠0,所以a-c=0,得到a=c.同理由b·c=c·a得到a=b.所以a=b=c,故三角形ABC是等边三角形.错解三:因为a·b=b·c=c·a,所以a·b=b·c,而b≠0,所以a=c.同理可得a=b.所以a=b=c,故三角形ABC是等边三角形.纠错:以上三种解法都犯了推理不严谨的错误.解法一中,只有在a,b同向共线时,才有a·b=|a||b|成立;解法二错在“即(a-c)·b=0,而b≠0,所以a-c=0,得到a=c”,这里由(a-c)·b=0只能得出(a-c)⊥b,而不能得到a=c;解法三错在“a·b=b·c,而b≠0,所以a=c”,向量具有方向,不能像数量那样,在进行计算时可以约分.正解:因为a·b=b·c,所以(a-c)·b=0,而由向量加法的三角形法则可知a+b+c=0,所以b=-a-c,所以(a-c)·(-a-c)=0,即(a-c)·(a+c)=0,得到a2-c2=0,a2=c2,即|a|2=|c|2,也就是|a|=|c|.同理可得|a|=|b|,所以|a|=|b|=|c|.故三角形ABC是等边三角形.学霸经验分享区(1)利用向量方法可以解决平面几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题.利用向量解决平面几何问题时,有两种思路:一种思路是选择一组基底,利用基向量表示涉及的向量,一种思路是建立坐标系,求出题目中涉及的向量的坐标.这两种思想都是通过向量的计算获得几何命题的证明.(2)用向量知识解决物理中相关问题一般来说分为四步:①问题的转化,把物理问题转化成数学问题;②模型的建立,建立以向量为主体的数学模型;③参数的获取,求出数学模型的相关解;④问题的答案,回到物理现象中,用已经获取的数值去解释一些物理现象.课堂达标1.一物体受到相互垂直的两个力F1,F2的作用,两力大小都为53N,则两个力的合力的大小为()(A)5N(B)52N(C)53N(D)56ND解析:设合力为F,则F1⊥F2,且F=F1+F2,|F|=212FF=2211222+FFFF=2253+20+53=56(N).解析:由(BC+BA)·AC=|AC|2,得AC·(BC+BA-AC)=0,即AC·(BC+BA+CA)=0,2AC·BA=0,所以AC⊥BA,所以A=90°.又根据已知条件不能得到|AB|=|AC|,故△ABC一定是直角三角形.2.(2018·株洲市模拟)在△ABC中,(BC+BA)·AC=|AC|2,则△ABC的形状一定是()(A)等边三角形(B)等腰三角形(C)直角三角形(D)等腰直角三角形C3.力F=(-1,-5)作用于质点m,使m产生的位移s=(4,6),则力F对质点m做的功是.解析:因为W=F·s=(-1,-5)·(4,6)=-34,所以力F对m所做的功是-34.答案:-344.(2018·莲湖区月考)有一两岸平行的河流,水速为1,小船的速度为2,为使小船到达对岸所走路程最短,小船应朝与水速成角的方向行驶.解析:如图,为使小船所走路程最短,v水+v船应与岸垂直.又v水=AB,v船=AC,∠ADC=90°,又|v水|=1,|v船|=2,所以∠CAD=45°.答案:135°.5.已知,四边形