2019-2020学年高中数学 第二章 平面向量 2.3.4 平面向量共线的坐标表示课件 新人教A版

两向量平行的条件(1)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，b≠0，则a∥b⇔____________.(2)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，如果向量b不平行于坐标轴，即x2≠0，y2≠0，则a∥b⇔________.用语言可以表述为：两个向量平行的条件是_______________．x1y2－x2y1＝0x1x2＝y1y2相应坐标成比例状元随笔已知a→＝(x1，y1)，b→＝(x2，y2)，(1)当b→≠0时，a→＝λb→.这是几何运算，体现了向量a→与b→的长度及方向之间的关系．(2)x1y2－x2y1＝0.这是代数运算，用它解决向量共线问题的优点在于不需要引入参数“λ”，从而减少未知数个数，而且使问题的解决具有代数化的特点、程序化的特征．(3)当x2y2≠0时，x1x2＝y1y2，即两向量的对应坐标成比例．通过这种形式较易记忆向量共线的坐标表示，而且不易出现搭配错误．[小试身手]1．判断下列命题是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)设a＝(x1y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b等价于x1x2＝y1y2.()(2)向量(1,2)与向量(4,8)共线．()(3)向量(2,3)与向量(－4，－6)反向．()×√√2．下列各组向量相互平行的是()A．a＝(－1,2)，b＝(3,5)B．a＝(1,2)，b＝(2,1)C．a＝(2，－1)，b＝(3,4)D．a＝(－2,1)，b＝(4，－2)解析：D中，b＝－2a.答案：D3．已知a＝(－6,2)，b＝(m，－3)，且a∥b，则m＝()A．－9B．9C．3D．－3解析：因为a＝(－6,2)，b＝(m，－3)，若a∥b，则－6×(－3)－2m＝0，解得m＝9.答案：B4．已知A(1,2)，B(4,5)．若AP→＝2PB→，则点P的坐标为________．解析：设P(x，y)，所以AP→＝(x－1，y－2)，PB→＝(4－x,5－y)，又AP→＝2PB→，所以(x－1，y－2)＝2(4－x,5－y)，即x－1＝24－x，y－2＝25－y，解得x＝3，y＝4.答案：(3,4)类型一向量共线的判定例1(1)下列各对向量中，共线的是()A.a＝(2,3)，b＝(3，－2)B．a＝(2,3)，b＝(4，－6)C．a＝(2，－1)，b＝(1，2)D．a＝(1，2)，b＝(2，2)(2)已知点A(－1，－1)，B(1,3)，C(1,5)，D(2,7)，向量AB→与CD→平行吗？直线AB与直线CD平行吗？【解析】(1)由向量共线的充要条件可知：非零向量a与b共线，当且仅当存在唯一实数λ，使得b＝λa.而只有D满足：因为a＝(1，2)，b＝(2，2)，所以b＝2a.(2)因为AB→＝(1－(－1)，3－(－1))＝(2,4)，CD→＝(2－1,7－5)＝(1,2)，因为2×2－1×4＝0，所以AB→∥CD→.又AC→＝(1－(－1)，5－(－1))＝(2,6)，AB→＝(2,4)，2×4－2×6≠0，所以AC→与AB→不平行．所以A，B，C不共线，AB与CD不重合．所以直线AB与CD平行．【答案】(1)D(2)见解析(1)向量是否共线，利用向量共线的坐标表示或b→＝λa→验证．(2)判断AB→∥CD→，只要把点的坐标代入公式x1y2－x2y1＝0，看是否成立．方法归纳向量共线的判定方法跟踪训练1下列各组向量中，共线的是()A.a＝(－2,3)，b＝(4,6)B．a＝(2,3)，b＝(3,2)C．a＝(1，－2)，b＝(7,14)D．a＝(－3,2)，b＝(6，－4)解析：由两向量共线的坐标表示知，对于D，(－3)×(－4)－2×6＝0，所以共线，其他均不满足．答案：Da→(x1，y1)，b→(x2，y2)，若x1y2－x2y1＝0，则a→，b→共线．类型二三点共线问题例2设向量OA→＝(k,12)，OB→＝(4,5)，OC→＝(10，k)，求当k为何值时，A，B，C三点共线．【解析】方法一∵A，B，C三点共线，∴存在实数λ，使得AB→＝λAC→.∵AB→＝OB→－OA→＝(4－k，－7)，AC→＝OC→－OA→＝(10－k，k－12)，∴(4－k，－7)＝λ(10－k，k－12)，即4－k＝λ10－k，－7＝λk－12，解得k＝－2或k＝11.方法二由题意知AB→，AC→共线．∵AB→＝OB→－OA→＝(4－k，－7)，AC→＝OC→－OA→＝(10－k，k－12)，∴(4－k)(k－12)＋7(10－k)＝0，∴k2－9k－22＝0，解得k＝－2或k＝11.方法一由已知求AB→、AC→，利用AB→＝λAC→，求k.方法二AB→与AC→共线，则x1y2－x2y1＝0，求k.方法归纳判断向量(或三点)共线的三个步骤跟踪训练2已知OA→＝(3,4)，OB→＝(7,12)，OC→＝(9,16)，求证点A，B，C共线．证明：由题意知AB→＝OB→－OA→＝(4,8)，AC→＝OC→－OA→＝(6,12)，所以AC→＝32AB→，即AB→与AC→共线．又因为AB→与AC→有公共点A，所以点A，B，C共线．由已知求AB→、AC→，若AB→＝λAC→，则A、B、C共线．类型三向量共线的应用例3如图所示，已知△AOB中，A(0,5)，O(0,0)，B(4,3)，OC→＝14OA→，OD→＝12OB→，AD与BC相交于点M，求点M的坐标．【解析】∵OC→＝14OA→＝14(0,5)＝0，54，∴C(0，54)．∵OD→＝12OB→＝12(4,3)＝2，32，∴D2，32.设M(x，y)，则AM→＝(x，y－5)，AD→＝2－0，32－5＝2，－72.∵AM→∥AD→，∴－72x－2(y－5)＝0，即7x＋4y＝20.①又CM→＝x，y－54，CB→＝4，74，∵CM→∥CB→，∴74x－4y－54＝0，即7x－16y＝－20.②联立①②解得x＝127，y＝2，故点M的坐标为127，2.先求C、D坐标，设出M(x，y)，利用AM→与AD→共线，求M.方法归纳应用向量共线的坐标表示求解几何问题的步骤跟踪训练3若平行四边形ABCD的三个顶点为A(1,5)，B(－1，－2)，C(3，－1)，求顶点D的坐标．解析：设D点的坐标为(x，y)，则AD→＝(x－1，y－5)，BC→＝(4,1)，由题意知AD→＝BC→，即(x－1，y－5)＝(4,1)，得x－1＝4，y－5＝1，解得x＝5，y＝6.因此，D点的坐标为(5,6).设D(x，y)，由已知得AD→＝BC→，求D.