2019-2020学年高中数学 第二章 平面向量 2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 2.3.

考试标准课标要点学考要求高考要求正交分解的概念aa向量的坐标表示bb平面向量的加、减与数乘运算的坐标表示bb平面向量共线的坐标表示bb知识导图学法指导1.学习了本节后，可以知道向量有三种表示方法：几何表示法、字母表示法、坐标表示法．2．向量的坐标运算是一种代数运算，其加、减及数乘的实质是同名坐标之间的运算.1.平面向量的正交分解把一个向量分解成两个_________的向量，叫作把向量正交分解．互相垂直2．平面向量的坐标表示(1)向量的直角坐标在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个_________i，j作为基底，对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x，y，使得a＝_______，则把有序数对a＝______叫作向量a的坐标．(2)向量的坐标表示在向量a的直角坐标中，___叫作a在x轴上的坐标，___叫做a在y轴上的坐标，______叫作向量的坐标表示．(3)在向量的直角坐标中，i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0)．单位向量xi＋yj(x，y)xy(x，y)状元随笔1.对平面向量坐标的几点认识(1)设OA→＝xi→＋yj→(O为坐标原点)，则向量OA→的坐标(x，y)就是终点A的坐标；反过来，终点A的坐标就是向量OA→的坐标(x，y)．因此，在直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一个有序实数对唯一表示，即以原点为起点的向量与实数对是一一对应的．(2)两向量相等的等价条件是它们对应的坐标相等．(3)要把点的坐标与向量的坐标区别开来，相等的向量的坐标是相同的，但起点和终点的坐标却可以不同．2．符号(x，y)的意义符号(x，y)在直角坐标系中有两重意义，它既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量，为了加以区分，在叙述中，就常说点(x，y)或向量(x，y)．3．平面向量的坐标运算(1)已知向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)和实数λ，那么a＋b＝_______________，a－b＝______________，λa＝__________．(2)已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，O为坐标原点，则AB→＝OB→－OA→＝(x2，y2)－(x1，y1)＝______________．即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的______的坐标减去______的坐标．(x1＋x2，y1＋y2)(x1－x2，y1－y2)(λx1，λy1)(x2－x1，y2－y1)终点始点[小试身手]1．判断下列命题是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同．()(2)当向量的终点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标．()(3)两向量差的坐标与两向量的顺序无关．()(4)点的坐标与向量的坐标相同．()×√××2．已知向量a＝(－2,3)，b＝(2，－3)，则下列结论正确的是()A．向量a的终点坐标为(－2,3)B．向量a的起点坐标为(－2,3)C．向量a与b互为相反向量D．向量a与b关于原点对称解析：因为a＝(－2,3)，b＝(2，－3)，所以a＋b＝(－2,3)＋(2，－3)＝(0,0)＝0.所以a＝－b.答案：C3．已知M(2,3)，N(3,1)，则NM→的坐标是()A．(2，－1)B．(－1,2)C．(－2,1)D．(1，－2)解析：NM→＝(2－3,3－1)＝(－1,2)．答案：B4．若向量BA→＝(2,3)，CA→＝(4,7)，则BC→＝________.解析：BC→＝BA→＋AC→＝BA→－CA→＝(2,3)－(4,7)＝(－2，－4)．答案：(－2，－4)类型一求向量的坐标例1在直角坐标系xOy中，向量a，b的方向如图所示，且|a|＝2，|b|＝3，分别求出它们的坐标．【解析】设点A(x，y)，B(x0，y0)，∵|a|＝2，且∠AOx＝45°，∴x＝2cos45°＝2，且y＝2sin45°＝2.又|b|＝3，∠xOB＝90°＋30°＝120°，∴x0＝3cos120°＝－32，y0＝3sin120°＝332.故a＝OA→＝(2，2)，b＝OB→＝－32，332.由于向量a→，b→的起点在坐标原点，因此只需求出终点A，B的坐标．方法归纳求点和向量坐标的常用方法(1)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置的坐标．(2)求一个向量时，可以首先求出这个向量的始点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去始点坐标得到该向量的坐标．跟踪训练1如图，在正方形ABCD中，O为中心，且OA→＝(－1，－1)，则OB→＝________；OC→＝________；OD→＝________.(1，－1)(1,1)(－1,1)解析：由题意知，OC→＝－OA→＝－(－1，－1)＝(1,1)，由正方形的对称性可知，B(1，－1)，所以OB→＝(1，－1)，同理OD→＝(－1,1)．答案：(1，－1)(1,1)(－1,1)结合图形可知OC→＝－OA→，由正方形的对称性可知B，D点坐标.类型二平面向量的坐标运算例2(1)已知点A(0,1)，B(3,2)，向量AC→＝(－4，－3)，则向量BC→＝()A.(－7，－4)B．(7,4)C．(－1,4)D．(1,4)(2)已知向量a，b的坐标分别是(－1,2)，(3，－5)，求a＋b，a－b，3a,2a＋3b的坐标．【解析】(1)方法一设C(x，y)，则AC→＝(x，y－1)＝(－4，－3)，所以x＝－4，y＝－2，从而BC→＝(－4，－2)－(3,2)＝(－7，－4)．故选A.方法二AB→＝(3,2)－(0,1)＝(3,1)，BC→＝AC→－AB→＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)，故选A.(2)a＋b＝(－1,2)＋(3，－5)＝(2，－3)，a－b＝(－1,2)－(3，－5)＝(－4,7)，3a＝3(－1,2)＝(－3,6)，2a＋3b＝2(－1,2)＋3(3，－5)＝(－2,4)＋(9，－15)＝(7，－11)．【答案】(1)A(2)见解析方法一先求C点坐标，再求BC→.方法二先求AB→，再求BC→.方法归纳平面向量坐标(线性)运算的方法(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行．(2)若已知有向线段两端点的坐标，则必须先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算．(3)向量的线性坐标运算可类比数的运算进行．跟踪训练2(1)已知A、B、C的坐标分别为(2，－4)、(0,6)、(－8,10)，则AB→＋2BC→＝____________，BC→－12AC→＝____________；(2)已知向量a＝(1,2)，b＝(－2,3)，c＝(4,1)，若用a和b表示c，则c＝____________.(－18,18)(－3，－3)2a－b解析：(1)∵A(2，－4)，B(0,6)，C(－8,10)，∴AB→＝(－2,10)，BC→＝(－8,4)，AC→＝(－10,14)，∴AB→＋2BC→＝(－18,18)，BC→－12AC→＝(－3，－3)．(2)设c＝xa＋yb，则(x,2x)＋(－2y,3y)＝(x－2y,2x＋3y)＝(4,1)．故x－2y＝4，2x＋3y＝1，解得x＝2，y＝－1.所以c＝2a－b.答案：(1)(－18,18)(－3，－3)(2)2a－b(1)先求AB→，BC→，AC→坐标，再计算AB→＋2BC→，BC→－12AC→的值．(2)设c→＝xa→＋yb→，建立方程组，求出x，y.类型三向量坐标运算的应用例3已知点O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)，及OP→＝OA→＋tAB→.(1)t为何值时，点P在x轴上？点P在y轴上？点P在第二象限？(2)四边形OABP能为平行四边形吗？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．【解析】(1)OP→＝OA→＋tAB→＝(1,2)＋t(3,3)＝(1＋3t,2＋3t)．若点P在x轴上，则2＋3t＝0，所以t＝－23.若点P在y轴上，则1＋3t＝0，所以t＝－13.若点P在第二象限，则1＋3t＜0，2＋3t＞0，所以－23＜t＜－13.(2)OA→＝(1,2)，PB→＝(3－3t,3－3t)．若四边形OABP为平行四边形，则OA→＝PB→，所以3－3t＝1，3－3t＝2，该方程组无解．故四边形OABP不能为平行四边形．(1)OP→＝(1＋3t,2＋3t)，利用点在坐标轴及象限的特征求解．(2)若四边形OABP为平行四边形，则有OA→＝PB→.方法归纳向量中含参数问题的求解策略(1)向量的坐标含有两个量：横坐标和纵坐标，如果纵坐标或横坐标是一个变量，则表示向量的点的坐标的位置会随之改变．(2)解答这类由参数决定点的位置的题目，关键是列出满足条件的含参数的方程(组)，解这个方程(组)，就能达到解题的目的．跟踪训练3若保持本例条件不变，B为线段AP的中点，则t＝______.解析：由OP→＝OA→＋tAB→，得AP→＝tAB→.所以当t＝2时，AP→＝2AB→，B为线段AP的中点．答案：2由B是AP的中点，得AP→＝2AB→，求出t的值．