2019-2020学年高中数学 第二章 平面向量 2.1 平面向量的实际背景及基本概念课件 新人教A

考试标准课标要点学考要求高考要求向量的概念bb零向量、单位向量、向量的模的概念bb相等向量、平行向量、共线向量的概念bb知识导图学法指导1.向量是一个既有大小又有方向的量，方向和大小是向量的两个要素，这是首先必须要注意的一点．2．在向量的表示方法中，用字母表示向量要注意书写规范，用有向线段表示向量与有向线段的起点无关，等长且同向的有向线段表示同一向量．3．注意向量共线与线段共线不同.1.向量的定义既有______，又有______的量称为向量．大小方向2．向量的表示方法3．向量的长度(模)|AB→|(或|a|)表示向量AB→(或a)的_____，即长度(也称模).4．与向量有关的概念大小5．向量的平行或共线状元随笔1.理解向量概念应关注三点(1)向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移．(2)判断一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个因素．(3)向量与向量之间不能比较大小．2．相等向量的理解任意两个相等的非零向量，都可以用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．在平面上，两个长度相等且指向一致的有向线段表示同一个向量，因为向量完全由它的方向和模确定．3．共线向量与平行向量(1)平行向量也称为共线向量，两个概念没有区别．(2)共线向量所在直线可以平行，与平面几何中的共线不同．(3)平行向量可以共线，与平面几何中的直线平行不同．[小试身手]1．判断下列命题是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)向量可以比较大小．()(2)体积、面积和时间都不是向量．()(3)零向量与任意向量都平行．()(4)若a∥b，b∥c，则a∥c.()×√√×2．已知向量a如图所示，下列说法不正确的是()A．也可以用MN→表示B．方向是由M指向NC．起点是MD．终点是M解析：终点是N而不是M.答案：D3.如图，在矩形ABCD中，可以用同一条有向线段表示的向量是()A.DA→和BC→B.DC→和AB→C.DC→和BC→D.DC→和DA→解析：易知AB→＝DC→.答案：B4．如图，以1cm×3cm方格纸中的格点为始点和终点的所有向量中，则以A为始点，可以写出________个不同的向量．解析：由图可知，以A为始点的向量有AB→、AC→、AD→、AE→、AF→、AG→、AH→，共有7个．答案：7类型一向量的概念、零向量、单位向量例1(1)下列各量中是向量的是()A．时间B．加速度C．面积D．长度(2)给出下列说法：①零向量是没有方向的；②零向量的长度为0；③零向量的方向是任意的；④单位向量的模都相等，其中正确的是________(填上序号)．【解析】(1)加速度是既有大小又有方向的量，是向量．而时间、面积、长度是只有大小的量，是数量．(2)由零向量的方向是任意的，知①错误，③正确；由零向量的定义知②正确；由单位向量的模是1，知④正确．【答案】(1)B(2)②③④(1)既有大小又有方向的量是向量．(2)长度为0的向量是零向量．长度为1的向量是单位向量．零向量的方向是任意的．方法归纳判断一个量是否为向量关键看它是否具备向量的两要素：(1)有大小．(2)有方向．两个条件缺一不可．跟踪训练1(1)下列说法中正确的是()A.数量可以比较大小，向量也可以比较大小B．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小C．向量的大小与方向有关D．向量的模可以比较大小(2)下列说法正确的是()A．向量AB→∥CD→就是AB→所在的直线平行于CD→所在的直线B．长度相等的向量叫做相等向量C．与非零向量a平行的单位向量只有2个D．共线向量是在一条直线上的向量解析：(1)不管向量的方向如何，它们都不能比较大小，故A，B不正确；向量的大小即为向量的模，指的是有向线段的长度，与方向无关，故C不正确；向量的模是一个数量，可以比较大小．故D正确．(2)与非零向量a平行的单位向量只有与a方向相同和方向相反且模长为1的两个向量．答案：(1)D(2)C结合向量的定义，由相等向量、共线向量的定义作出判断．类型二向量的表示例2在如图所示的坐标纸上(每个小方格的边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：(1)OA→，使|OA→|＝42，点A在点O北偏东45°方向上；(2)AB→，使|AB→|＝4，点B在点A正东方向上；(3)BC→，使|BC→|＝6，点C在点B北偏东30°方向上．【解析】(1)由于点A在点O北偏东45°方向上，所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等．又|OA→|＝42，小方格的边长为1，所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A的位置可以确定，画出向量OA→，如图所示．(2)由于点B在点A正东方向上，且|AB→|＝4，所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B的位置可以确定，画出向量AB→，如图所示．(3)由于点C在点B北偏东30°方向上，且|BC→|＝6，依据勾股定理可得，在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为33≈5.2，于是点C的位置可以确定，画出向量BC→，如图所示.已给定向量的起,点、方向和长度↓在坐标纸上找准,方向、长度↓画出对应的向量方法归纳用有向线段表示向量的步骤跟踪训练2在如图的方格纸中，画出下列向量．(1)|OA→|＝3，点A在点O的正西方向；(2)|OB→|＝32，点B在点O北偏西45°方向；(3)求出|AB→|的值．解析：取每个方格的单位长为1，依题意，结合向量的表示可知，(1)(2)的向量如图所示．(3)由图知，△AOB是等腰直角三角形，所以|AB→|＝|OB→|2－|OA→|2＝3.用有向线段表示向量时，先确定起点，再确定方向，最后依据向量模的大小确定向量的终点．必要时，需依据直角三角形的知识确定出向量的方向或长度，选择合适的比例关系作出向量.类型三共线向量与相等向量例3如图所示，△ABC中，三边长均不相等，E，F，D分别是AC，AB，BC的中点．(1)写出与EF→共线的向量；(2)写出与EF→长度相等的向量；(3)写出与EF→相等的向量．【解析】(1)∵E，F分别是AC，AB的中点，∴EF∥BC，∴与EF→共线的向量为FE→，BD→，DB→，DC→，CD→，BC→，CB→.(2)∵E，F，D分别是AC，AB，BC的中点，∴EF＝12BC，BD＝DC＝12BC，∴EF＝BD＝DC.∵AB，BC，AC均不相等，∴与EF→长度相等的向量为FE→，BD→，DB→，DC→，CD→.(3)与EF→相等的向量为DB→，CD→.(1)共线向量只需在图中找出与线段EF平行或共线的所有线段，再把它们表示成向量即可；(2)在图中找出与线段EF长度相等的所有线段，再把它们表示成向量即可；(3)相等向量既要方向相同，又要大小相等．方法归纳相等向量与共线向量的判断(1)如果两个向量所在的直线平行或重合，那么这两个向量是共线向量．(2)共线向量不一定是相等向量，但相等向量一定是共线向量．(3)非零向量共线具有传递性，即向量a，b，c为非零向量，若a∥b，b∥c，则可推出a∥c.注意：对于共线向量所在直线的位置关系的判断，要注意直线平行或重合两种情况．跟踪训练3如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且OA→＝a，OB→＝b.(1)与a的长度相等、方向相反的向量有哪些？(2)与a共线的向量有哪些？【解析】(1)与a的长度相等、方向相反的向量有OD→，BC→，AO→，FE→.(2)与a共线的向量有EF→，BC→，OD→，FE→，CB→，DO→，AO→，DA→，AD→.相等向量必须满足两个条件：方向相同，长度相等，相反向量方向相反，长度相等，与起始点的位置无关，所以只需在图中找与a→平行或共线且长度相等的所有线段，将它们表示成向量.