2019-2020学年高中数学 第二章 空间向量与立体几何 3 3.1 空间向量的标准正交分解与坐标

§3向量的坐标表示和空间向量基本定理3．1&3.2空间向量的标准正交分解与坐标表示空间向量基本定理一、预习教材·问题导入1．学生小李参加某大学自主招生考试，在一楼咨询处小李得知：面试地点由此向东10m，后向南15m，然后乘5号电梯到位于6楼的2号学术报告厅参加面试．设e1是向东的单位向量，e2是向南的单位向量，e3是向上的单位向量．问题1：e1，e2，e3有什么关系？提示：两两垂直．问题2：假定每层楼高为3m，请把面试地点用向量p表示．提示：p＝10e1＋15e2＋15e3.2．空间中任给三个向量a，b，c.问题1：什么情况下，向量a，b，c可以作为一个基底？提示：它们不共面时．问题2：若a，b，c是基底，则空间任一向量v都可以由a，b，c表示吗？提示：可以．二、归纳总结·核心必记1．标准正交基与向量坐标(1)标准正交基：在给定的空间直角坐标系中，x轴、y轴、z轴正方向的i，j，k叫作标准正交基．单位向量(2)标准正交分解：设i，j，k为标准正交基，对空间任意向量a，存在唯一一组三元有序实数(x，y，z)，使得a＝___________，叫作a的标准正交分解．(3)向量的坐标表示：在a的标准正交分解中三元有序实数叫作空间向量a的坐标，a＝___________叫作向量a的坐标表示．(x，y，z)xi＋yj＋zk(x，y，z)(4)向量坐标与投影：①i，j，k为标准正交基，a＝xi＋yj＋zk，那么a·i＝，a·j＝，a·k＝.把x，y，z分别称为向量a在x轴、y轴、z轴正方向上的投影．②向量的坐标等于它在上的投影．③一般地，若b0为b的单位向量，则称__________________为向量a在向量b上的投影．坐标轴正方向xyza·b0＝|a|cos〈a，b〉2．如果向量e1，e2，e3是空间三个的向量，a是空间任一向量，那么存在唯一一组实数λ1，λ2，λ3使得a＝_______________.其中e1，e2，e3叫作这个空间的一个．_________________表示向量a关于基底e1，e2，e3的分解．不共面基底λ1e1＋λ2e2＋λ3e3a＝λ1e1＋λ2e2＋λ3e3三、综合迁移·素养培优1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)只有两两垂直的三个向量才能作为空间向量的一组基底()(2)向量AP―→的坐标与点P的坐标一致()(3)对于三个不共面向量a1，a2，a3，不存在实数组{λ1，λ2，λ3}使0＝λ1a1＋λ2a2＋λ3a3()答案：(1)×(2)×(3)×2．已知A(2,3－μ，－1＋ν)关于x轴的对称点是A′(λ，7，－6)，则λ，μ，ν的值为()A．λ＝－2，μ＝－4，ν＝－5B．λ＝2，μ＝－4，ν＝－5C．λ＝－2，μ＝10，ν＝8D．λ＝2，μ＝10，ν＝7答案：D3．已知{a，b，c}是空间的一个基底，则可以和向量p＝a＋b，q＝a－b构成基底的向量是()A．aB．bC．a＋2bD．a＋2c答案：D4．已知i，j，k为标准正交基，a＝i＋2j＋3k，则a在i方向上的投影为()A．1B．－1C.14D．－14答案：A5．设{i，j，k}是空间向量的一个单位正交基底，则向量a＝3i＋2j－k，b＝－2i＋4j＋2k的坐标分别是________．答案：(3,2，－1)(－2,4,2)考点一空间向量的坐标表示[典例]如图，在空间直角坐标系中，有长方体ABCD－A′B′C′D′，AB＝3，BC＝4，AA′＝6.(1)写出C′的坐标，给出AC′―→关于i，j，k的分解式；(2)求BD′―→的坐标．[解](1)∵AB＝3，BC＝4，AA′＝6，∴C′的坐标为(4,3,6)．∴AC′―→＝(4,3,6)＝4i＋3j＋6k.(2)BD′―→＝AD′―→－AB―→.∵AD′―→＝AD―→＋AA′―→＝4i＋6k，∴BD′―→＝AD′―→－AB―→＝－AB―→＋AD―→＋AA′―→＝4i－3j＋6k，∴BD′―→＝(4，－3,6)．[类题通法]用坐标表示空间向量的方法步骤[针对训练]1．已知点A的坐标是(1,2，－1)，且向量OC―→与向量OA―→关于坐标平面xOy对称，向量OB―→与向量OA―→关于x轴对称，求向量OC―→和向量OB―→的坐标．解：如图，过A点作AM⊥平面xOy于M，则直线AM过点C，且CM＝AM，则点C的坐标为(1,2,1)，此时OC―→＝(1,2,1)，该向量与OA―→＝(1,2，－1)关于平面xOy对称．过A点作AN⊥x轴于N，则直线AN过点B，且BN＝AN，则B(1，－2,1)，此时OB―→＝(1，－2,1)，该向量与OA―→关于x轴对称．2.在直三棱柱ABO－A1B1O1中，∠AOB＝π2，AO＝4，BO＝2，AA1＝4，D为A1B1的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求DO―→，A1B―→的坐标．解：(1)∵DO―→＝－OD―→＝－(OO1―→＋O1D―→)＝－[OO1―→＋12(OA―→＋OB―→)]＝－OO1―→－12OA―→－12OB―→＝－4k－2i－j.∴DO―→＝(－2，－1，－4)．(2)∵A1B―→＝OB―→－OA1―→＝OB―→－(OA―→＋AA1―→)＝OB―→－OA―→－AA1―→＝2j－4i－4k.∴A1B―→＝(－4,2，－4)．考点二向量a在b上的投影[典例]如图，已知单位正方体ABCD－A′B′C′D′.(1)求向量CA′―→在CD―→上的投影；(2)DC―→是单位向量，且垂直于平面ADD′A′，求向量CA′―→在DC―→上的投影．[解](1)法一：向量CA′―→在CD―→上的投影为|CA′―→|cos〈CA′―→，CD―→〉，又正方体棱长为1，∴|CA′|＝12＋12＋12＝3，∴|CA′―→|＝3，∠DCA′即为CA′―→与CD―→的夹角，在Rt△A′CD中，cos∠A′CD＝13＝33，∴CA′―→在CD―→上的投影为|CA′―→|cos〈CA′―→，CD―→〉＝3·33＝1.法二：在正方体ABCD－A′B′C′D′中，DC⊥AD，〈CA′―→，CD―→〉＝∠DCA′.∴CA′―→在CD―→上的投影为：|CA′―→|cos〈CA′―→，CD―→〉＝|CA′―→|cos∠DCA′＝|CD―→|＝1.(2)CA′―→与CD―→的夹角为180°－∠A′CD，∴CA′―→在CD―→上的投影为|CA′―→|cos(180°－∠A′CD)＝－|CA′―→|cos∠D′CA＝－1.[类题通法](1)求向量a在向量b上的投影，可先求出|a|，再求出两个向量a与b的夹角，最后计算|a|cos〈a，b〉，即为向量a在向量b上的投影，它可正、可负，也可以为零；也可以利用几何图形直观转化求解．(2)在确定向量的夹角时要注意向量的方向，如本题中〈CA′―→，CD―→〉与〈CA′―→，CD―→〉是不同的，其和为π.[针对训练]如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝AA1＝2，则向量AC1―→在向量AD1―→上的投影为________．解析：AC1―→在AD1―→上的投影为|AC1―→|cos〈AC1―→，AD1―→〉，而|AC1―→|＝42＋22＋22＝26，在Rt△AD1C1中，cos∠D1AC1＝|AD1||AC1|＝33，∴|AC1―→|cos〈AC1―→，AD1―→〉＝22.答案：22考点三空间向量基本定理及其简单应用[典例]如图所示，平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，且BE＝13BB1，DF＝23DD1.(1)证明A，E，C1，F四点共面；(2)若EF―→＝xAB―→＋yAD―→＋zAA1―→，求x＋y＋z.[解](1)证明：AC1―→＝AE―→＋EC1―→，又EC1―→＝EB1―→＋B1C1―→＝23BB1―→＋B1C1―→＝23AA1―→＋AD―→，AF―→＝AD―→＋DF―→＝AD―→＋23DD1―→＝AD―→＋23AA1―→，∴EC1―→＝AF―→，∴AC1―→＝AE―→＋AF―→，∴A，E，C1，F四点共面．(2)∵EF―→＝AF―→－AE―→＝AD―→＋DF―→－(AB―→＋BE―→)＝AD―→＋23DD1―→－AB―→－13BB1―→＝－AB―→＋AD―→＋13AA1―→，∴x＝－1，y＝1，z＝13.∴x＋y＋z＝13.[类题通法](1)空间向量基本定理是指用空间三个不共面的已知向量a，b，c构成的向量组{a，b，c}可以线性表示出空间任意一个向量，而且表示的结果是唯一的．(2)利用空间的一个基底a，b，c可以表示出所有向量，注意结合图形，灵活应用三角形法则、平行四边形法则，及向量的数乘运算，表示要彻底，结果只含有a，b，c，不能再有其他向量．[针对训练]1．已知e1，e2，e3是空间中不共面的三个向量，且a＝e1＋e2＋e3，b＝e1＋e2－e3，c＝e1－e2＋e3，d＝e1＋2e2＋3e3＝αa＋βb＋γc，则α＋2β＋γ＝________.解析：∵a＝e1＋e2＋e3，b＝e1＋e2－e3，c＝e1－e2＋e3，d＝e1＋2e2＋3e3＝αa＋βb＋γc，∴e1＋2e2＋3e3＝(α＋β＋γ)e1＋(α＋β－γ)e2＋(α－β＋γ)e3，∴α＋β＋γ＝1，α＋β－γ＝2，α－β＋γ＝3.解得α＝52，β＝－1，γ＝－12.∴α＋2β＋γ＝0.答案：02．如图所示，已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1，且AA1―→＝a，AB―→＝b，AD―→＝c，用a，b，c表示如下向量：(1)A1C―→；(2)BG―→G在B1D1上且B1G―→＝12GD1―→.解：(1)A1C―→＝AC―→－AA1―→＝AB―→＋AD―→－AA1―→＝－a＋b＋c.(2)BG―→＝BB1―→＋B1G―→，又B1G―→＝13B1D1―→＝13(B1A1―→＋A1D1―→)＝13(AD―→－AB―→)＝13(c－b)，∴BG―→＝a－13b＋13c.