2019-2020学年高中数学 第二章 解析几何初步 习题课（二）解析几何初步课件 北师大版必修2

高频考点一直线的方程常见的直线系方程(1)经过两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，其中λ是待定系数．在这个方程中，无论λ取什么实数，都不能得到A2x＋B2y＋C2＝0，因此它不能表示直线l2.(2)平行直线系方程：与直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)平行的直线系方程是Ax＋By＋λ＝0(λ≠C)．(3)垂直直线系方程：与直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)垂直的直线系方程是Bx－Ay＋λ＝0.[典例]过点A(3，－1)作直线l交x轴于点B，交直线l1：y＝2x于点C，若|BC|＝2|AB|，求直线l的方程．[解]当直线l的斜率不存在时，直线l：x＝3，∴B(3,0)，C(3,6)．此时|BC|＝6，|AB|＝1，|BC|≠2|AB|，∴直线l的斜率存在．设直线l的方程为y＋1＝k(x－3)，显然k≠0且k≠2.令y＝0，得x＝3＋1k，∴B3＋1k，0，由y＝2x，y＋1＝kx－3，得点C的横坐标xC＝3k＋1k－2.∵|BC|＝2|AB|，∴|xB－xC|＝2|xA－xB|，∴3k＋1k－2－1k－3＝21k，∴3k＋1k－2－1k－3＝2k或3k＋1k－2－1k－3＝－2k，解得k＝－32或k＝14.∴所求直线l的方程为3x＋2y－7＝0或x－4y－7＝0.[方法技巧]求直线方程时，要根据给定条件，选择恰当的方程，常用以下两种方法求解：(1)直接法：直接选取适当的直线方程的形式，写出结果；(2)待定系数法：先以直线满足的某个条件为基础设出直线方程，再由直线满足的另一个条件求出待定系数，从而求得方程．1．倾斜角为150°，在x轴上的截距为－1的直线方程是()A.3x－3y＋1＝0B.3x－3y－3＝0C.3x＋3y－3＝0D.3x＋3y＋3＝0解析：选D由于倾斜角为150°，故斜率k＝－33.又直线过点(－1,0)，所以直线方程为y＝－33(x＋1)，即3x＋3y＋3＝0.[集训冲关]2．已知直线l1：3x－2y－1＝0和l2：3x－2y－13＝0，直线l与l1，l2的距离分别是d1，d2，若d1∶d2＝2∶1，求直线l的方程．解：由直线l1，l2的方程知l1∥l2，又由题意知，直线l与l1，l2均平行(否则d1＝0或d2＝0，不符合题意)．设直线l：3x－2y＋m＝0(m≠－1且m≠－13)，由两平行直线间的距离公式，得d1＝|m＋1|13，d2＝|m＋13|13，又d1∶d2＝2∶1，所以|m＋1|＝2|m＋13|，解得m＝－25或m＝－9.故所求直线l的方程为3x－2y－25＝0或3x－2y－9＝0.[典例]已知两条直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a，b的值．(1)l1⊥l2且l1过点(－3，－1)；(2)l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．[解](1)∵l1⊥l2，∴a(a－1)－b＝0，①又l1过点(－3，－1)，∴－3a＋b＋4＝0.②解①②组成的方程组得a＝2，b＝2.高频考点二两直线的位置关系(2)∵l2的斜率存在，l1∥l2，∴直线l1的斜率存在．∴k1＝k2，即ab＝1－a.③又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，l1∥l2，∴l1，l2在y轴上的截距互为相反数，即4b＝－(－b)．④由③④联立，解得a＝2，b＝－2或a＝23，b＝2.经检验此时的l1与l2不重合，故所求值为a＝2，b＝－2或a＝23，b＝2.[方法技巧]已知两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0(1)对于l1∥l2的问题，先由A1B2－A2B1＝0解出其中的字母值，然后代回原方程检验这时的l1和l2是否重合，若重合，舍去．(2)对于l1⊥l2的问题，由A1A2＋B1B2＝0解出字母的值即可．1．直线ax＋2y－1＝0与直线2x－3y－1＝0垂直，则a的值为()A．－3B．－43C．2D．3解析：选D由2a－6＝0得a＝3.故选D.[集训冲关]2．已知直线x＋2ay－1＝0与直线(a－1)x＋ay＋1＝0平行，则a的值为()A．32B．32或0C．0D．－2解析：选A当a＝0时，两直线的方程化为x＝1和x＝1，显然重合，不符合题意；当a≠0时，a－11＝a2a≠－1，解得a＝32.故选A.3．已知直线l：x－y－1＝0，l1：2x－y－2＝0.若直线l2与l1关于l对称，则l2的方程是()A．x－2y＋1＝0B．x－2y－1＝0C．x＋y－1＝0D．x＋2y－1＝0解析：选B因为l1与l2关于l对称，所以l1上任一点关于l的对称点都在l2上，故l与l1的交点(1,0)在l2上．又易知(0，－2)为l1上一点，设它关于l的对称点为(x，y)，则x＋02－y－22－1＝0，y＋2x×1＝－1，解得x＝－1，y＝－1，即(1,0)，(－1，－1)为l2上两点，可得l2的方程为x－2y－1＝0.[典例]在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－3,0)，B(2,0)，C(0，－4)，经过这三个点的圆记为M.(1)求BC边的中线AD所在直线的一般式方程；(2)求圆M的方程．[解](1)法一：由B(2,0)，C(0，－4)，知BC的中点D的坐标为(1，－2)．又A(－3,0)，所以直线AD的方程为y－0－2－0＝x＋31＋3，即中线AD所在直线的一般式方程为x＋2y＋3＝0.高频考点三圆的方程法二：由题意，得|AB|＝|AC|＝5，则△ABC是等腰三角形，所以AD⊥BC.因为直线BC的斜率kBC＝2，所以直线AD的斜率kAD＝－12，由直线的点斜式方程，得y－0＝－12(x＋3)，所以直线AD的一般式方程为x＋2y＋3＝0.(2)设圆M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.将A(－3,0)，B(2,0)，C(0，－4)三点的坐标分别代入方程，得9－3D＋F＝0，4＋2D＋F＝0，16－4E＋F＝0，解得D＝1，E＝52，F＝－6.所以圆M的方程是x2＋y2＋x＋52y－6＝0.[方法技巧]利用待定系数法求圆的方程(1)若已知条件与圆的圆心和半径有关，可设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值．(2)若已知条件没有明确给出圆的圆心或半径，可选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，从而求出D，E，F的值．1．以线段AB：x＋y－2＝0(0≤x≤2)为直径的圆的方程为()A．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2B．(x－1)2＋(y－1)2＝2C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝8D．(x－1)2＋(y－1)2＝8解析：选B直径的两端点分别为(0,2)，(2,0)，∴圆心为(1,1)，半径为2，故圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.[集训冲关]2．已知圆C经过点A(2，－3)，B(－2，－5)，且圆心在直线l：x－2y－3＝0上，求圆C的方程．解：设圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.由题意，得2－a2＋－3－b2＝r2，－2－a2＋－5－b2＝r2，a－2b－3＝0，解得a＝－1，b＝－2，r2＝10.所以圆C的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.3．求以圆C1：x2＋y2－12x－2y－13＝0和圆C2：x2＋y2＋12x＋16y－25＝0的公共弦为直径的圆C的方程．解：联立两圆的方程得方程组x2＋y2－12x－2y－13＝0，x2＋y2＋12x＋16y－25＝0，相减得公共弦所在直线的方程为4x＋3y－2＝0.再由4x＋3y－2＝0，x2＋y2－12x－2y－13＝0解得两圆交点坐标为(－1,2)，(5，－6)．∵所求圆以公共弦为直径，∴圆心C是公共弦的中点(2，－2)，半径长为125＋12＋－6－22＝5.∴圆C的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝25.[典例]已知圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线l：ax＋y＋2a＝0.(1)当a为何值时，直线l与圆C相切；(2)当直线l与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝22时，求直线l的方程．[解]将圆C的方程x2＋y2－8y＋12＝0配方得标准方程为x2＋(y－4)2＝4，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2.(1)若直线l与圆C相切，则有|4＋2a|a2＋1＝2.解得a＝－34.高频考点四直线与圆的位置关系(2)过圆心C作CD⊥AB(图略)，则根据题意和圆的性质，得|CD|＝|4＋2a|a2＋1，|CD|2＋|DA|2＝22，|DA|＝12|AB|＝2，解得a＝－7或a＝－1.故所求直线方程为7x－y＋14＝0或x－y＋2＝0.[方法技巧]直线与圆位置关系的判断方法(1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断．(2)代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断．(3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系．1．若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m＝()A．21B．19C．9D．－11解析：选C圆C1的圆心是C1(0,0)，半径r1＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝25－m，圆心C2(3,4)，半径r2＝25－m，由两圆相外切，得|C1C2|＝r1＋r2＝1＋25－m＝5，所以m＝9.[集训冲关]2．P是直线l：3x－4y＋11＝0上的动点，PA，PB是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，C是圆心，那么四边形PACB的面积的最小值是()A．2B．22C．3D．23解析：选C圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心C(1,1)，半径r＝1.根据对称性可知四边形PACB的面积等于2S△APC＝2×12×|PA|×r＝|PA|＝|PC|2－r2＝|PC|2－1.要使四边形PACB的面积最小，则只需|PC|最小，最小值为圆心C到直线l：3x－4y＋11＝0的距离d＝|3－4＋11|32＋42＝105＝2，所以四边形PACB面积的最小值为4－1＝3.3．圆x2＋y2＋2x＋4y－3＝0上到直线x＋y＋1＝0的距离为2的点共有()A．1个B．2个C．3个D．4个解析：选C圆的圆心为(－1，－2)，半径r＝22，而圆心到直线x＋y＋1＝0的距离为2，故圆上到直线的距离为2的点共有3个．