2019-2020学年高中数学 第二章 解析几何初步 2.2 圆的一般方程课件 北师大版必修2

2.2圆的一般方程[学习目标]1.掌握圆的一般方程及其特点．2.会将圆的一般方程化为圆的标准方程，并能熟练地指出圆心的位置和半径的大小．3.能根据某些具体条件，运用待定系数法确定圆的方程.课前自主学习【主干自填】1．圆的一般方程的定义当时，称二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0为圆的一般方程．2．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形(1)当D2＋E2－4F0时，方程表示以为圆心，以为半径的圆．(2)当D2＋E2－4F＝0时，方程表示一个点(3)当D2＋E2－4F0时，方程□01D2＋E2－4F0□02－D2，－E2□0312D2＋E2－4F□04－D2，－E2.□05不表示任何图形．3．由圆的一般方程判断点与圆的位置关系已知点M(x0，y0)和圆的方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F0)．则其位置关系如下表：位置关系代数关系点M在x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F0点M在x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F＝0点M在x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F0□06圆外□07圆上□08圆内【即时小测】1．思考下列问题(1)方程x2＋y2＋2x－2y＋3＝0是圆的一般方程吗？为什么？提示：此方程不表示圆的一般方程．∵D2＋E2－4F＝22＋(－2)2－4×3＝－40.∴此方程不表示任何图形．提示(2)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆时需要具备什么条件？提示：需同时具备三个条件．①A＝C≠0②B＝0③D2＋E2－4AF0提示2．如果过A(2,1)的直线l将圆x2＋y2－2x－4y＝0平分，则l的方程为()A．x＋y－3＝0B．x＋2y－4＝0C．x－y－1＝0D．x－2y＝0提示：A由题意知直线l过圆心(1,2)，由两点式可得l的方程为y－12－1＝x－21－2，即x＋y－3＝0.提示3．圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是()A．(2,3)B．(－2,3)C．(－2，－3)D．(2，－3)提示：D提示课堂互动探究例1判断下列方程是否表示圆，若是，化成标准方程．(1)x2＋y2＋2x＋1＝0；(2)x2＋y2＋2ay－1＝0；(3)x2＋y2＋20x＋121＝0；(4)x2＋y2＋2ax＝0.[解](1)原方程可化为(x＋1)2＋y2＝0，它表示点(－1，0)，不表示圆．(2)原方程可化为x2＋(y＋a)2＝a2＋1，它表示圆心在(0，－a)，半径为a2＋1的圆，标准方程为x2＋(y＋a)2＝(a2＋1)2.(3)原方程可化为(x＋10)2＋y2＝－210，故方程不表示任何曲线，故不能表示圆．(4)原方程可化为(x＋a)2＋y2＝a2.①当a＝0时，方程表示点(－a,0)，不表示圆；②当a≠0时，方程表示以(－a,0)为圆心，半径为|a|的圆，标准方程为(x＋a)2＋y2＝a2.答案类题通法二元二次方程是否表示圆的判定方法对形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程可以通过配方变形成“标准”形式后，观察是否表示圆；也可以由圆的一般方程的定义判断D2＋E2－4F是否为正，确定它是否表示圆．[变式训练1]下列方程能否表示圆？若能表示圆，求出圆心和半径．(1)2x2＋y2－7y＋5＝0；(2)x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0；(3)x2＋y2－2x－4y＋10＝0；(4)2x2＋2y2－5x＝0.解(1)∵方程2x2＋y2－7y＋5＝0中x2与y2的系数不相同，∴它不能表示圆．(2)∵方程x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0中含有xy这样的项．∴它不能表示圆．(3)方程x2＋y2－2x－4y＋10＝0化为(x－1)2＋(y－2)2＝－5，∴它不能表示圆．(4)方程2x2＋2y2－5x＝0化为x－542＋y2＝542，∴它表示以54，0为圆心，54为半径长的圆.答案例2已知△ABC的三个顶点为A(1,4)，B(－2,3)，C(4，－5)，求△ABC的外接圆一般方程、圆心坐标和外接圆半径．[解]解法一：设△ABC的外接圆方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，∵A，B，C在圆上，∴1＋16＋D＋4E＋F＝0，4＋9－2D＋3E＋F＝0，16＋25＋4D－5E＋F＝0，∴D＝－2，E＝2，F＝－23，∴△ABC的外接圆方程为x2＋y2－2x＋2y－23＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝25.∴圆心坐标为(1，－1)，外接圆半径为5.答案解法二：设△ABC的外接圆方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，∵A、B、C在圆上，∴1－a2＋4－b2＝r2，－2－a2＋3－b2＝r2，4－a2＋－5－b2＝r2，解得a＝1，b＝－1，r＝5，即外接圆的圆心为(1，－1)，半径为5，∴圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝25，展开易得其一般方程为x2＋y2－2x＋2y－23＝0.答案解法三：∵kAB＝4－31＋2＝13，kAC＝4＋51－4＝－3，∴kAB·kAC＝－1，∴AB⊥AC.∴△ABC是以角A为直角的直角三角形．∴圆心是线段BC的中点，坐标为(1，－1)，r＝12|BC|＝5.∴外接圆方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝25.展开得一般方程为x2＋y2－2x＋2y－23＝0.答案类题通法待定系数法求圆的方程的规律(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r.(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D、E、F.[变式训练2]经过P(－2,4)，Q(3，－1)两点，并且在x轴上截得的弦长等于6的圆的方程．解设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，将P，Q点的坐标分别代入得2D－4E－F＝20，3D－E＋F＝－10.①②令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0.③设x1，x2是方程③的两根，则x1＋x2＝－D，x1x2＝F.答案由|x1－x2|＝6得(x1＋x2)2－4x1x2＝36，有D2－4F＝36.④由①②④解得D＝－2，E＝－4，F＝－8或D＝－6，E＝－8，F＝0，所以所求圆的方程为x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0.答案易错点⊳二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆时，忽略D2＋E2－4F0[典例]已知定点P(m,2)在圆x2＋y2－2mx－y＋m2＋m＝0的外部，求实数m的取值范围．[错解]∵点P(m,2)在圆外，∴m2＋4－2m2－2＋m2＋m0，∴m－2.[错因分析]错解的根本原因是没理解圆的一般方程的定义．[正解]∵点P(m,2)在圆外，∴m2＋4－2m2－2＋m2＋m0，即m－2，∵方程x2＋y2－2mx－y＋m2＋m＝0表示圆，∴(－2m)2＋(－1)2－4(m2＋m)0，即m14.∴－2m14.答案课堂小结1.圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，来源于圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2.在应用时，注意它们之间的相互转化及表示圆的条件.2.圆的方程可用待定系数法来确定，在设方程时，要根据实际情况，设出恰当的方程，以便简化解题过程.3.对于曲线的轨迹问题，要作简单地了解，能够求出简单的曲线的轨迹方程，并掌握求轨迹方程的一般步骤.随堂巩固训练1．能将圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0平分的直线是()A．x＋y－1＝0B．x＋y＋3＝0C．x－y＋1＝0D．x－y＋3＝0答案C解析要使直线平分圆，只要直线经过圆的圆心即可，圆心坐标为(1,2)．A，B，C，D四个选项中，只有C选项中的直线经过圆心．答案解析2．若方程x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0表示圆，则k的取值范围是()A．k1B．k1C．k≥1D．k≤1答案B解析由D2＋E2－4F＝16＋4－20k0得k1，故k1时所给方程表示圆．答案解析3．如果方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F0)所表示的曲线关于y＝x对称，则必有()A．D＝EB．D＝FC．E＝FD．D＝E＝F答案A解析方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F0)所表示的曲线为圆，圆关于直线y＝x对称，故圆心在直线y＝x上．∴－E2＝－D2，即E＝D.答案解析4．已知圆的方程为x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0.那么当圆面积最大时，圆心坐标为________．答案(0，－1)解析将圆的方程配方后得x＋k22＋(y＋1)2＝1－34k2.∴当k＝0时，r最大为1，面积最大，此时圆心为(0，－1)．答案解析