2019-2020学年高中数学 第二章 解析几何初步 1.2 直线的方程 第二课时 直线方程的两点式

第二课时直线方程的两点式和一般式[学习目标]1.掌握直线方程的两点式的形式了解其适用范围．2.了解直线方程截距式的形式、特征及适用范围．3．掌握直线的一般方程．4.会进行直线方程不同形式的转化.课前自主学习【主干自填】直线方程的两点式、截距式和一般式【即时小测】1．思考下列问题(1)方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)能表示过点(x1，y1)和(x2，y2)所有的直线吗？提示：在方程y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1中，不能表示垂直于坐标轴的直线，而在(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)中因为是整式方程，又没有限制条件，所以能表示所有的直线．提示(2)直线的一般式方程中，A，B不同时为零有哪些情况？能不能用一个代数式表示？提示：A、B不同时为零的含义有三点：①A≠0且B≠0；②若A＝0且B≠0；③若B＝0且A≠0.以上三种情况可用统一的代数式A2＋B2≠0表示．提示2．直线2x－y＝8的截距式方程为()A．y＝2x－8B.x4＋x8＝1C.x4＋y－8＝0D.x4＋y－8＝1提示：D方程2x－y＝8中，令x＝0，得y＝－8；令y＝0，得x＝4；即直线2x－y＝8的纵截距为－8，横截距为4，由截距式得方程为x4＋y－8＝1.提示3．如果AC0，且BC0，那么直线Ax＋By＋C＝0不通过()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限提示：C因为AC0，BC0，所以AB0，显然B≠0.将一般式Ax＋By＋C＝0化为斜截式y＝－ABx－CB，所以k＝－AB0，b＝－CB0.所以直线不通过第三象限．提示4．已知直线l与两坐标轴的交点坐标分别为(0,2)，(3,0)，则直线l的方程为________．提示：2x＋3y－6＝0由截距式得x3＋y2＝1，整理可得，直线方程为2x＋3y－6＝0.提示课堂互动探究例1求满足下列条件的直线方程．(1)过点A(－2,3)，B(4，－1)；(2)在x轴、y轴上的截距分别为4，－5；(3)过点P(3，－2)，且在两坐标轴上的截距相等．[解](1)由两点式得y－3－1－3＝x＋24＋2，化简得2x＋3y－5＝0.(2)由截距式得x4＋y－5＝1，化简为5x－4y－20＝0.(3)①若截距为零，则直线l过原点，此时l的方程为2x＋3y＝0；②若截距不为零，则l的方程可设为xa＋ya＝1.∵l过点(3，－2)，知3a＋－2a＝1，即a＝1，∴直线l的方程为x＋y＝1，即为x＋y－1＝0.综合①②可知直线l的方程为2x＋3y＝0或x＋y－1＝0.答案类题通法求直线方程的注意事项(1)直线方程有多种形式，在求解时应根据题目的条件选择合适的形式，但要注意直线方程各种形式的适用范围．(2)要根据不同的要求选择适当的方程形式．(3)“截距”相等要注意分过原点和不过原点两种情况考虑．[变式训练1]已知A(－3,2)，B(5，－4)，C(0，－2)，在△ABC中，(1)求BC边的方程；(2)求BC边上的中线所在直线的方程．解(1)∵BC边过两点B(5，－4)，C(0，－2)，∴由两点式得y－－4－2－－4＝x－50－5，即2x＋5y＋10＝0.故BC边的方程为2x＋5y＋10＝0(0≤x≤5)．答案(2)设BC的中点为M(x0，y0)，则x0＝5＋02＝52，y0＝－4＋－22＝－3.∴M52，－3，又BC边上的中线经过点A(－3,2)．∴由两点式得y－2－3－2＝x－－352－－3，即10x＋11y＋8＝0.故BC边上的中线所在直线的方程为10x＋11y＋8＝0.答案例2设直线l的方程为2x＋(k－3)y－2k＋6＝0(k≠3)，根据下列条件分别确定k的值：(1)直线l的斜率为－1；(2)直线l在x轴、y轴上的截距之和等于0.[解](1)因为直线l的斜率存在，所以直线l的方程可化为y＝－2k－3x＋2，由题意得－2k－3＝－1，解得k＝5.答案(2)直线l的方程可化为xk－3＋y2＝1，由题意得k－3＋2＝0，解得k＝1.答案类题通法直线方程的一般式与其他形式的转化(1)直线的一般式方程Ax＋By＋C＝0中要求，A，B不同时为0；(2)由直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程去分母、移项就可以转化为直线的一般式方程；反过来，也可以由直线的一般式方程化为斜截式、截距式方程，注意斜截式、截距式方程的使用条件．[变式训练2]设直线l的方程为(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＝2m－6，根据下列条件分别确定m的值：(1)l在x轴上的截距是－3；(2)l的斜率是－1.解(1)由题意可得m2－2m－3≠0，①2m－6m2－2m－3＝－3，②由①得：m≠－1且m≠3，由②得：m＝3或m＝－53.∴m＝－53.答案(2)由题意得2m2＋m－1≠0，③－m2－2m－32m2＋m－1＝－1.④由③得：m≠－1且m≠12，由④得：m＝－1或m＝－2.∴m＝－2.答案例3已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0.(1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；(2)为使直线不经过第二象限，求a的取值范围．[解](1)证法一：将直线l的方程整理为y－35＝ax－15，∴l的斜率为a，且过定点A15，35，而点A15，35在第一象限，故不论a为何值，l恒过第一象限．答案证法二：直线l的方程可化为(5x－1)a－(5y－3)＝0.∵上式对任意的a总成立，必有5x－1＝0，5y－3＝0，即x＝15，y＝35，即l过定点A15，35.以下同证法一．(2)要使l不经过第二象限，需它在y轴上的截距不大于零，即令x＝0时，y＝－a－35≤0，∴a≥3.答案类题通法解方程法求解含参数的直线方程的有关问题含有一个参数的直线方程，一般是过定点的，一般求定点时，只要将方程化为点斜式即可以求得定点的坐标．在变形后特点如果不明显，可采用证法二的解法，即将方程变形，把x，y作为参数的系数，因为此式对任意的参数的值都成立，故需系数为零，解方程组可得x，y的值，即为直线过的定点．[变式训练3]设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)．(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．解(1)当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距都为零，当然相等，此时a＝2，方程为3x＋y＝0.若a≠2，由l在两坐标轴上的截距相等，有a－2a＋1＝a－2，即a＋1＝1，∴a＝0，l的方程为x＋y＋2＝0.综上可知，l的方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0.答案(2)将l的方程化为y＝－(a＋1)x＋a－2.∴欲使l不经过第二象限，当且仅当－a＋10，a－2≤0，或－a＋1＝0，a－2≤0，∴a≤－1.综上可知，a的取值范围是(－∞，－1]．答案易错点⊳忽略截距为零的情况[典例]已知直线l经过点P(2,3)，且在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程．[错解]设直线l的方程为xm＋ym＝1，因为直线l过点P(2,3)，所以2m＋3m＝1，解得m＝5.所以直线l的方程为x＋y－5＝0.[错因分析]“截距相等”还包含截距均为零的情况，此时直线方程不能用截距式表示，错解中忽略了这种情况．[正解]若两截距不为0，解答过程同错解，此时直线l的方程为x＋y－5＝0；若两截距为0，直线过原点，此时斜率为k＝3－02－0＝32，故此时直线l的方程为y＝32x，即3x－2y＝0.综上可知，直线l的方程为x＋y－5＝0或3x－2y＝0.答案课堂小结1.求直线的两点式方程的策略以及注意点(1)当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不垂直于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程.(2)由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误．在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系.2.截距式方程应用的注意事项(1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式直线方程，用待定系数法确定其系数即可.(2)选用截距式直线方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直.(3)要注意截距式直线方程的逆向应用.随堂巩固训练1．有关直线方程的两点式，有如下说法：①直线方程的两点式适用于求与两坐标轴不垂直的直线方程；②直线方程y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1也可写成y－y2y1－y2＝x－x2x1－x2；③过点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线可以表示成(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)．其中正确说法的个数为()A．0B．1C．2D．3答案D答案解析①正确，从两点式方程的形式看，只要x1≠x2，y1≠y2，就可以用两点式来求解直线的方程．②正确，方程y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1与y－y2y1－y2＝x－x2x1－x2的形式有异，但实质相同，均表示过点(x1，y1)和(x2，y2)的直线．③显然正确．解析2．过两点A(1,1)，B(0，－1)的直线方程是()A.y＋1x－0＝1＋11－0B.y－10－1＝x－10－1C.y－10－1＝x－1－1－1D.y＋11＋1＝x－01－0答案D解析由直线的两点式方程，易得y－－11－－1＝x－01－0，即y＋11＋1＝x－01－0.答案解析3．下列说法中正确的是()A．直线方程的截距式可表示除过原点外的所有直线B.x2－y3＝1与x2＋y3＝－1是直线的截距式方程C．直线方程的斜截式都可以化为截距式D．在x轴、y轴上的截距分别是2，－3的直线方程为x2＋y－3＝1答案D答案解析因为截距式适用于横、纵截距都存在且都不为0的直线，所以A错误．因为方程x2－y3＝1与x2＋y3＝－1不符合截距式方程的结构特点，所以B错误．因为斜截式的直线方程包含截距为0的情况，而此类直线不可以化为截距式，如直线y＝2x，所以C错误．直线在x轴、y轴上的截距分别是2，－3，根据直线方程的截距式，可得直线的方程为x2＋y－3＝1，所以D正确．解析4．若k∈R，直线kx－y－2k－1＝0恒过一个定点，则这个定点的坐标为()A．(1，－2)B．(－1,2)C．(－2,1)D．(2，－1)答案D解析y＋1＝k(x－2)是直线的点斜式方程，故它所经过的定点为(2，－1)．答案解析