2019-2020学年高中数学 第二章 解析几何初步 1 直线与直线的方程 1.4 两条直线的交点课

预习课本P72～74，思考并完成以下问题(1)两条直线有哪几种位置关系？(2)如何根据直线方程判断两条直线的位置关系？(3)两条直线的交点同时满足这两条直线吗？1．4两条直线的交点一、预习教材·问题导入两条直线的交点两条直线相交，交点一定同时在，交点坐标是这两个方程组成的的唯一解；反之，如果这两个二元一次方程组成的只有一个解，那么以这个解为的点，必是两条直线的，因此求两条直线的交点，就是求这两个直线方程的．这两条直线上方程组方程组坐标交点公共解二、归纳总结·核心必记1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两条直线A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0的交点坐标就是方程组A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0的实数解．()(2)若方程组A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0无解，则两直线没有交点，两直线平行．()(3)直线x＝2与y＝3没有交点．()√×√三、基本技能·素养培优2．直线2x＋3y＋8＝0和直线x－y－1＝0的交点坐标是()A．(－2，－1)B．(－1，－2)C．(1,2)D．(2,1)3．直线3x－2y＋m＝0和(m2＋1)x＋3y－3m＝0的位置关系是()A．平行B．相交C．重合D．不确定4．斜率为－2，且与直线2x－y＋4＝0的交点在y轴上的直线方程为________．答案：B答案：B答案：2x＋y－4＝0考点一求两条直线的交点[典例]判断下列各对直线的位置关系，如果相交，求出交点坐标．(1)l1：2x＋3y－7＝0，l2：5x－y－9＝0；(2)l1：2x－3y＋5＝0，l2：4x－6y＋10＝0；(3)l1：2x－y＋1＝0，l2：4x－2y＋3＝0.[解](1)解方程组2x＋3y－7＝0，5x－y－9＝0，得x＝2，y＝1，所以交点坐标为(2,1)，所以l1与l2相交．(2)解方程组2x－3y＋5＝0，①4x－6y＋10＝0，②①×2得4x－6y＋10＝0.因此①和②可以化成同一方程，即①和②表示同一条直线，l1与l2重合．(3)解方程组2x－y＋1＝0，①4x－2y＋3＝0，②①×2－②，得－1＝0，矛盾，方程组无解，所以两直线无公共点，l1∥l2.两条直线相交的判定方法(1)联立直线方程解方程组，若有一解，则两直线相交．(2)两直线斜率都存在且斜率不等．(3)两直线的斜率一个存在，另一个不存在．[类题通法][针对训练]两条直线2x＋3y－k＝0和x－ky＋12＝0的交点在直线y＝－x上，那么k的值是()A．－4B．3C．3或－4D．±4解析：选C由两条直线相交，得k≠－32.联立2x＋3y－k＝0，x－ky＋12＝0，得x＝k2－362k＋3，y＝k＋242k＋3，即两直线的交点为k2－362k＋3，k＋242k＋3.又该交点在直线y＝－x上，所以k＋242k＋3＝－k2－362k＋3，解得k＝3或k＝－4，故选C.考点二直线过定点问题[典例]求证：不论m取什么实数，直线(2m－1)x＋(m＋3)y－(m－11)＝0都经过一个定点，并求出这个定点的坐标．[解]法一：对于方程(2m－1)x＋(m＋3)y－(m－11)＝0，令m＝0，得x－3y－11＝0；令m＝1，得x＋4y＋10＝0.解方程组x－3y－11＝0，x＋4y＋10＝0，得两直线的交点为(2，－3)．将点(2，－3)代入已知直线方程左边，得(2m－1)×2＋(m＋3)×(－3)－(m－11)＝4m－2－3m－9－m＋11＝0.这表明不论m为什么实数，所给直线均经过定点(2，－3)．法二：将已知方程以m为未知数，整理为(2x＋y－1)m＋(－x＋3y＋11)＝0.由于m取值的任意性，有2x＋y－1＝0，－x＋3y＋11＝0.解得x＝2，y＝－3.所以所给的直线不论m取什么实数，都经过一个定点(2，－3)．[类题通法]求直线过定点的方法：(1)特殊值法，令参数为两个特殊值，取出两条直线求交点，再将交点代入原方程，证明交点满足原方程即可．(2)将直线方程变形为：f(x，y)＋kg(x，y)＝0由fx，y＝0，gx，y＝0，求出定点．[针对训练]求证：无论m取何实数，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5都恒过一个定点．证明：法一：取m＝1，直线为y＝－4；再取m＝12，直线为x＝9.两直线的交点为P(9，－4)．将点P的坐标代入原方程左端得(m－1)x＋(2m－1)y＝(m－1)×9－(2m－1)×4＝m－5.故不论m为何实数，点P(9，－4)总在直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5上，即此直线过定点(9，－4)．法二：把原方程写成(x＋2y－1)m－(x＋y－5)＝0，此方程对任意实数m都成立，则必有x＋2y－1＝0，x＋y－5＝0.解得x＝9，y＝－4.∴m为任何实数时，此直线恒过定点P(9，－4)．考点三求过两直线交点的直线方程[典例]求经过两直线l1：3x＋4y－2＝0和l2：2x＋y＋2＝0的交点且过坐标原点的直线l的方程．[解]法一：由方程组3x＋4y－2＝0，2x＋y＋2＝0，解得x＝－2，y＝2.即l1与l2的交点坐标为(－2，2)．∵直线过坐标原点，所以其斜率k＝2－2＝－1，直线方程为y＝－x，一般式为x＋y＝0.法二：∵l2不过原点，∴可设l的方程为3x＋4y－2＋λ(2x＋y＋2)＝0(λ∈R)，即(3＋2λ)x＋(4＋λ)y＋2λ－2＝0，将原点坐标(0,0)代入上式解得λ＝1，∴l的方程为5x＋5y＝0，即x＋y＝0.[类题通法]解决此类问题常有两种方法：一是常规法，即由题目已知条件求出交点及直线的斜率，利用点斜式求出直线方程，不使用任何技巧，不过此法有时候较为繁琐；二是利用直线系方程，过两条相交直线A1x＋B1y＋C1＝0和A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线方程可设为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，这里λ∈R，此直线系不包括A2x＋B2y＋C2＝0，这种方法可以避免解方程组求交点．[针对训练]求经过两直线l1：3x＋4y－2＝0和l2：2x－3y＋10＝0的交点，且与直线l3：6x＋4y－7＝0垂直的直线l的方程．解：由题意联立两直线方程，得3x＋4y－2＝0，2x－3y＋10＝0，解得x＝－2，y＝2.即交点坐标为(－2,2)．因为l3的斜率为－32，且l⊥l3，所以直线l的斜率为23，由点斜式可知l的方程为y－2＝23(x＋2)，即2x－3y＋10＝0.