2019-2020学年高中数学 第二章 解三角形章末复习提升课课件 北师大版必修5

章末复习提升课第二章解三角形1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容asinA＝bsinB＝csinC＝2R(R为△ABC外接圆半径)a2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝c2＋a2－2cacosB；c2＝a2＋b2－2abcosC定理正弦定理余弦定理变形形式a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R；a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；a＋b＋csinA＋sinB＋sinC＝asinAcosA＝b2＋c2－a22bc；cosB＝c2＋a2－b22ca；cosC＝a2＋b2－c22ab2.三角形中常用的面积公式(1)S＝12ah(h表示边a上的高)．(2)S＝12bcsinA＝12acsinB＝12absinC.(3)S＝12r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．1．解三角形中易忽视的三点(1)解三角形时，不要忽视角的取值范围．(2)由两个角的正弦值相等求两角关系时，注意不要忽视两角互补情况．(3)利用正弦定理、余弦定理判断三角形形状时，切记出现失解情况．2．三角形解的个数的确定已知两边和其中一边的对角不能唯一确定三角形，解这类三角形问题可能出现一解、两解、无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角”，此时一般用正弦定理，但也可用余弦定理．(1)利用正弦定理讨论：若已知a、b、A，由正弦定理asinA＝bsinB，得sinB＝bsinAa.若sinB1，无解；若sinB＝1，一解；若sinB1，一解或两解．(2)利用余弦定理讨论：已知a、b、A.由余弦定理a2＝c2＋b2－2cbcosA，即c2－(2bcosA)c＋b2－a2＝0，这是关于c的一元二次方程．若方程无解或无正数解，则三角形无解；若方程有唯一正数解，则三角形有一解；若方程有两个不同正数解，则三角形有两解．利用正、余弦定理解三角形利用正、余弦定理解斜三角形所包括的四种类型已知条件应用定理一般解法一边和两角(如a，B，C)正弦定理由A＋B＋C＝180°，求角A；由正弦定理求出b与c，在有解时只有一解已知条件应用定理一般解法两边和夹角(如a，b，C)余弦定理正弦定理由余弦定理求第三边c；由正弦定理求出一边所对的角，再由A＋B＋C＝180°求出另一角，在有解时只有一解三边(a，b，c)余弦定理由余弦定理求出角A，B，再利用A＋B＋C＝180°求出角C，在有解时只有一解已知条件应用定理一般解法两边和其中一边的对角(如a，b，A)正弦定理余弦定理由正弦定理求出角B，由A＋B＋C＝180°，求出角C；再利用正弦定理或余弦定理求c，可有两解、一解或无解(1)在△ABC中，B＝π4，BC边上的高等于13BC，则cosA＝()A.31010B．1010C．－1010D．－31010(2)在△ABC中，若三边的长为连续整数，且最大角是最小角的二倍，求三边长．【解】(1)选C.设△ABC中角A，B，C的对边分别是a，b，c，由题意可得13a＝csinπ4＝22c，则a＝322c.在△ABC中，由余弦定理可得b2＝a2＋c2－2ac＝92c2＋c2－3c2＝52c2，则b＝102c.由余弦定理，可得cosA＝b2＋c2－a22bc＝52c2＋c2－92c22×102c×c＝－1010，故选C.(2)设最小内角为θ，三边长为n－1，n，n＋1，由正弦定理，得n－1sinθ＝n＋1sin2θ，所以n－1＝n＋12cosθ，所以cosθ＝n＋12（n－1）.由余弦定理的变形公式，得cosθ＝n2＋（n＋1）2－（n－1）22n（n＋1），所以n＋12（n－1）＝n2＋（n＋1）2－（n－1）22n（n＋1），解得n＝5.所以△ABC的三边分别为4，5，6.关于正、余弦定理与三角函数的综合运用(1)以三角形为载体，以正、余弦定理为工具，以三角恒等变形为手段来考查三角形问题是近几年高考中一类热点题型．在具体解题中，除了熟练使用正、余弦定理这个工具外，也要根据条件，合理选用三角函数公式，达到简化问题的目的．(2)解三角形的实质是将几何问题转化为代数问题，即方程问题，所以利用正、余弦定理解三角形问题时，常与平面向量等知识结合给出问题的条件，这些知识的加入，一般只起“点缀”作用，难度较小，易于化简．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知A＝π4，b2－a2＝12c2.(1)求tanC的值；(2)若△ABC的面积为3，求b的值．【解】(1)由b2－a2＝12c2及正弦定理得sin2B－12＝12sin2C，所以－cos2B＝sin2C.又由A＝π4，即B＋C＝34π，得－cos2B＝sin2C＝2sinCcosC，解得tanC＝2.(2)由tanC＝2，C∈(0，π)，得sinC＝255，cosC＝55.因为sinB＝sin(A＋C)＝sinπ4＋C，所以sinB＝31010.由正弦定理得c＝22b3，又因为A＝π4，12bcsinA＝3，所以bc＝62，故b＝3.正、余弦定理的实际应用正弦定理、余弦定理在实际生活中有着非常广泛的应用．常见的有测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题，解决问题的基本思路是画出正确的示意图，把已知量和未知量标在示意图中(目的是发现已知量与未知量之间的关系)，最后确定用哪个定理转化，用哪个定理求解，并进行作答，解题时还要注意近似计算的要求．如图，一辆汽车从A市出发沿海岸一条笔直公路以每小时100km的速度向东匀速行驶，汽车开动时，在A市南偏东方向距A市500km且与海岸距离为300km的海上B处有一快艇与汽车同时出发，要把一份稿件交送给这辆汽车的司机．(1)快艇至少以多大的速度行驶才能把稿件送到司机手中？(2)求快艇以最小速度行驶时的行驶方向与AB所成的角．【解】(1)如图，设快艇以vkm/h的速度从B处出发，沿BC方向，th后与汽车在C处相遇，在△ABC中，AB＝500，AC＝100t，BC＝vt，BD为AC边上的高，BD＝300.设∠BAC＝α，则sinα＝35，cosα＝45，由余弦定理，得BC2＝AC2＋AB2－2AB·ACcosα，所以v2t2＝(100t)2＋5002－2×500×100t·45，整理，得v2＝250000t2－80000t＋10000＝2500001t2－825·1t＋4252＋10000－10000×1625＝2500001t－4252＋3600.当1t＝425，即t＝254时，v2min＝3600，vmin＝60(km/h)．即快艇至少以60km/h的速度行驶才能把稿件送到司机手中．(2)当v＝60km/h时，在△ABC中，AB＝500，AC＝100×254＝625，BC＝60×254＝375，由余弦定理的变形公式，得cos∠ABC＝AB2＋BC2－AC22AB·BC＝0，所以∠ABC＝90°，故快艇应向垂直于AB的方向向北偏东行驶．