2019-2020学年高中数学 第二章 基本初等函数（Ⅰ） 2.2.2 对数函数及其性质 第二课时

第二课时对数函数的图象及性质的应用(习题课)[目标导航]课标要求1.进一步理解对数函数的图象与性质,掌握对数函数的图象与性质的应用.2.体会数形结合思想、分类讨论思想在研究对数函数中的作用.3.进一步理解同底数的指数函数、对数函数互为反函数.素养达成通过对数函数的图象、单调性等性质的应用,培养数学运算、数学建模、直观想象的核心素养.课堂探究·素养提升解:(1)因为y=12logx在(0,+∞)上是减函数,且0.20.8,所以12log0.212log0.8.题型一比较大小[例1]比较下列各组数的大小.(1)12log0.2与12log0.8;(2)log43与log0.250.5;(3)log323与log565;解:(2)因为log0.250.5=14log12=log42log43,所以log0.250.5log43.(3)log323=log32-log33=log32-1,log565=log56-1,因为log56log55=1=log33log32,所以log56log32,所以log32-1log56-1.所以log323log565.解:(4)法一因为log1.11.7log1.11=0,log0.21.7log0.21=0,所以log1.11.70,log0.21.70.所以log1.11.7log0.21.7.法二因为1.71,1.10.2,所以log1.71.10log1.70.2,所以1.71log1.11.71log0.2,即log1.11.7log0.21.7.法三作出y=log1.1x与y=log0.2x的图象,如图所示,当x=1.7时,可知log1.11.7log0.21.7.(4)log1.11.7与log0.21.7.方法技巧(1)比较同底数的对数值大小,直接使用对数函数的单调性.(2)比较不同底数同真数的对数值大小,一个方法是利用图象的性质,另一种常用方法是换不同底的对数为同底数的对数,再结合单调性进行比较.(3)若底数与真数都不同,则常借助1,0等中间量进行比较,也可以换底或作差或作商比较.解:(1)法一对数函数y=log5x在(0,+∞)上是增函数,而3443,所以log534log543.法二因为log5340,log5430,所以log534log543.即时训练1-1:比较下列各组值的大小.(1)log534与log543;解:(2)法一由于13log2=211log3,15log2=211log5.又因对数函数y=log2x在(0,+∞)上是增函数,且1315,所以0log213log215,所以211log3211log5,所以13log215log2.(2)13log2与15log2;法二作出y=13logx与y=15logx的图象,如图,当x=2时,有13log215log2.(3)log23与log54.解:(3)取中间值1,因为log23log22=1=log55log54,所以log23log54.[备用例1](1)已知a=log23.6,b=log43.2,c=log43.6,则()(A)abc(B)acb(C)bac(D)cab(2)若a=log3π,b=log76,c=log20.8,则()(A)abc(B)bac(C)cab(D)bca解析:(1)因为log23.6=3.62=log43.62,且f(x)=log4x在(0,+∞)上是增函数,所以log43.62log43.6log43.2,即acb.故选B.(2)因为a=log3πlog33=1,0log761,log20.8log21=0,所以abc.故选A.解析:(3)a=14log23=1lg32lg2,c=12log53=1lg32lg5=1lg32lg51lg32lg2=a,另一方面:a=log243log244=12,b=12,所以cab.故选A.(3)已知a=14log23,b=12,c=12log53,则()(A)cab(B)abc(C)bca(D)bac(4)若loga5logb50,则a,b之间的关系为()(A)0ab1(B)1ab(C)0ba1(D)1ba解析:(4)因为loga5=lg5lga0,logb5=lg5lgb0,所以lga0,lgb0,又因为lg5lgalg5lgb,所以lgalgb,所以ba1.故选B.题型二对数型复合函数的单调性[例2](1)函数y=12log(-x2+6x-5)的单调递减区间是.(1)解析:由-x2+6x-50,解得1x5,即函数的定义域为(1,5).函数y=12log(-x2+6x-5)可看作y=12logt和t(x)=-x2+6x-5的复合函数.由复合函数的单调性可知只需求t(x)的单调递增区间即可,而函数t(x)是一个开口向下的抛物线,对称轴为x=-621=3,故函数t(x)在(-∞,3]上单调递增,又因为函数的定义域为(1,5),故函数y=12log(-x2+6x-5)的单调递减区间是(1,3].答案:(1,3](2)若函数f(x)=loga(5-x)(a0,且a≠1),求函数f(x)的单调区间.(2)解:因为5-x0,所以x5.设u=5-x,则u=5-x在区间(-∞,5)上是减函数,当a1时,函数f(x)的单调递减区间是(-∞,5),当0a1时,函数f(x)的单调递增区间是(-∞,5).方法技巧对于y=logaf(x)型的复合函数的单调性,有以下结论:函数y=logaf(x)的单调性与函数u=f(x)(f(x)0)的单调性在a1时相同,在0a1时相反.研究对数型复合函数的单调性,一定要注意先研究函数的定义域,也就是要坚持“定义域优先”的原则.即时训练2-1:已知函数f(x)=23log(x2-2x-3),规定区间E,对任意x1,x2∈E,当x1x2时,总有f(x1)f(x2),则下列区间可作为E的是()(A)(3,6)(B)(-1,0)(C)(1,2)(D)(-3,-1)解析:由题意知函数f(x)=23log(x2-2x-3)在区间E上单调递增.由x2-2x-30,得x3或x-1.当x∈(-∞,-1)时,函数y=x2-2x-3是减函数,结合复合函数的单调性可知函数f(x)=23log(x2-2x-3)是增函数,即(-∞,-1)为函数f(x)=23log(x2-2x-3)的单调递增区间,而(-3,-1)(-∞,-1),所以(-3,-1)可作为E.故选D.[备用例2]若函数y=loga(3-ax)在[0,1]上是减函数,则a的取值范围是.解析:设y=logat,由于函数y=loga(3-ax)在[0,1]上是减函数,可得a0,则函数t=3-ax是减函数,故a1,且3-a×10,所以1a3.答案:(1,3)解:(1)f(x)是奇函数.证明如下:由11xx0知x1或x-1,所以定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞),关于原点对称.因为f(-x)=log311xx=log311xx=log3(11xx)-1=-log311xx=-f(x),所以函数f(x)是奇函数.题型三对数函数性质的综合应用[例3]已知函数f(x)=log311xx.(1)判断函数f(x)的奇偶性并证明;(2)判断函数f(x)在区间(1,+∞)上的单调性并证明.解:(2)函数f(x)在(1,+∞)上是减函数.证明如下:设t=11xx=121xx=1+21x.任设x1x21,则t1-t2=121x-221x=21122()(1)(1)xxxx0,则t1t2.所以log3t1log3t2,即f(x1)f(x2).所以函数f(x)在区间(1,+∞)上是减函数.方法技巧(2)证明对数型复合函数的单调性,可以通过证明真数的大小结合对数函数性质而实现,本题(2)中若直接由f(x1)-f(x2)=log31111xx-log32211xx=log3(1111xx×2211xx)可通过证明1111xx×2211xx与1的大小而实现,但证明过程较复杂,不如本题中的证明过程简单.(1)判断或证明由对数函数复合而成的函数奇偶性问题,首先应求函数定义域,在定义域关于原点对称的情况下,判断f(-x)与f(x)的关系,此类问题要注意lgx-1=-lgx的应用.解:(1)f(x)+g(x)=loga(x+1)+loga(1-x).要使函数f(x)+g(x)有意义,则10,10,xx解得-1x1.故所求函数的定义域为{x|-1x1}.即时训练3-1:已知函数f(x)=loga(x+1),g(x)=loga(1-x)(其中a0,且a≠1).(1)求函数f(x)+g(x)的定义域;解:(2)函数f(x)-g(x)为奇函数.证明如下:令h(x)=f(x)-g(x)=loga(x+1)-loga(1-x)=loga11xx.函数h(x)的定义域为{x|-1x1}.因为h(-x)=loga11xx=loga(11xx)-1=-loga11xx=-h(x),所以f(x)-g(x)为奇函数.(2)判断函数f(x)-g(x)的奇偶性,并予以证明;(3)若a1,求使f(x)+g(x)0成立的x的集合.解:(3)因为f(x)+g(x)=loga(x+1)(1-x)=loga(1-x2)0=loga1,所以当a1时,01-x21.即2210,11,xx所以-1x0或0x1.故符合条件的x的取值集合为{x|-1x0或0x1}.[备用例3]已知函数f(x)=log2(x+1),g(x)=log2(3x+1).(1)求出使g(x)≥f(x)成立的x的取值范围;解:(1)因为f(x)=log2(x+1),g(x)=log2(3x+1),g(x)≥f(x),所以3x+1≥x+10,所以x≥0.即使g(x)≥f(x)成立的x的取值范围为[0,+∞).(2)当x∈[0,+∞)时,求函数y=g(x)-f(x)的值域.解:(2)y=g(x)-f(x)=log2(3x+1)-log2(x+1)=log2311xx(x≥0).令h(x)=311xx=3-21x,则h(x)为[0,+∞)上的增函数,所以1≤h(x)3,故y=g(x)-f(x)∈[0,log23),即函数y=g(x)-f(x)的值域为[0,log23).题型四易错辨析[例4]若函数f(x)=log3(x2-ax+3a)在[2,+∞)上是增函数,则实数a的取值范围是.错解一:因为f(x)=log3(x2-ax+3a)在[2,+∞)上是增函数,又因为t=x2-ax+3a的单调递增区间是[2a,+∞),所以[2,+∞)⊆[2a,+∞).所以2a≤2,所以a≤4.错解二:因为f(x)=log3(x2-ax+3a)在[2,+∞)上是增函数,且t=x2-ax+3a的单调递增区间是[2a,+∞),所以[2,+∞)⊆[2a,+∞)且t(2)≥0,所以2,240,aa所以-4≤a≤4.纠错:错解一中忽视真数在区间[2a,+∞)上的最小值应大于0的条件,错解二中,当x=2时,t(2)0而不是t(2)≥0.正解:(由纠错及错解知)a满足的条件为2,240,aa故-4a≤4.答案:(-4,4]学霸经验分享区(1)比较对数值大小的方法主要有单调性法、中间变量法、作差法等方法.当底数含参数时要注意按底数与1的大小关系分类讨论.(2)形如logaf(x)logag(x)型不等式要根据底数a与1的大小关系转化为f(x)g(x)(a1)或f(x)g(x)(0a1),并且不要忘记f(x)0,g(x)0的限制.(3)形如y=logaf(