2019-2020学年高中数学 第二章 基本初等函数（Ⅰ） 2.2.2 对数函数及其性质 第2课时

2.2对数函数2.2.2对数函数及其性质第2课时对数函数及其性质的应用目标定位重点难点1.掌握利用对数函数的单调性解决比较对数大小问题.2.理解对数函数的性质，并能利用对数函数的性质解决求最值、解不等式等综合问题.重点：利用对数函数的单调性比较大小及解简单的对数不等式.难点：对数函数的综合应用.1.对数函数y＝logax(a0且a≠1)的性质(1)定义域：__________.(2)值域：____________.(3)定点：____________.(4)单调性：a1时，在(0，＋∞)上是________；0a1时，在(0，＋∞)上是________.(0，＋∞)R(1,0)增函数减函数(5)函数值变化当a1，x1时，y∈__________，0x1时，y∈__________；当0a1，x1时，y∈__________，0x1时，y∈__________.(6)复合函数的单调性，按照“同增异减”的性质求解.2.对数函数y＝logax(a0且a≠1)与指数函数y＝ax互为______，它们的图象关于直线______对称.对数函数y＝logax的定义域是指数函数y＝ax的______，而y＝logax的值域是y＝ax的__________.(0，＋∞)(－∞，0)(－∞，0)(0，＋∞)反函数y＝x值域定义域1.判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)loga3.1loga5.2(a0，且a≠1).()(2)log0.30.2log40.2.()(3)log3πlogπ3.()【答案】(1)×(2)×(3)√【答案】(1)3x(2)(2，＋∞)3.思一思：函数y＝2x与函数y＝log2x的单调区间相同吗？【解析】不同.y＝2x的单调增区间为(－∞，＋∞)，y＝log2x的单调增区间为(0，＋∞).2.做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)函数y＝f(x)的图象与函数y＝log3x的图象关于直线y＝x对称，则f(x)＝________.(2)函数f(x)＝log12(x2－2x)的单调递减区间是________.比较大小【例1】比较下列各组值的大小：(1)log1245与log1267；(2)log123与log153；(3)log130.3与log20.8.【解题探究】对于(1)(2)，要充分利用对数函数的图象和性质(如单调性)来比较两数的大小.对于(3)，可寻求中间量0来解决.【解析】(1)函数y＝log12x在(0，＋∞)上递减，又45＜67，∴log1254＞log1267.(2)借助y＝log12x及y＝log15x的图象，如图所示.在(1，＋∞)上，前者在后者的下方，∴log123＜log153.(3)由对数函数性质知，log130.3＞0，log20.8＜0，∴log130.3＞log20.8.【方法规律】比较对数式的大小，主要依据对数函数的单调性(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行比较.(2)若底数为同一字母，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论.(3)若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较，也可以利用顺时针方向底数增大的规律画出函数的图象，再进行比较.(4)若底数与真数都不同，则常借助1,0等中间量进行比较.1．(1)设a＝log32，b＝log52，c＝log23，则()A．a＞c＞bB．b＞c＞aC．c＞b＞aD．c＞a＞b(2)(2019年山西大同模拟)设a＝log54，b＝log23，c＝(log0.23)2，则a，b，c的大小关系为()A．a＞b＞cB．b＞c＞aC．a＞c＞bD．b＞a＞c【答案】(1)D(2)D【解析】(1)a＝log32＜log33＝1，c＝log23＞log22＝1，由对数函数的性质可知log52＜log32，∴b＜a＜c，故选D.(2)∵a＝log54∈(0,1)，b＝log23＞1，c＝(log0.23)2＝(log53)2＜log53＜log54，∴b＞a＞c.简单对数不等式【例2】(1)已知loga121，求实数a的取值范围；(2)已知log0.7(2x)log0.7(x－1)，求实数x的取值范围.【解题探究】对于(1)，“1”变为“logaa”，讨论单调性；对于(2)，直接根据单调性列不等式组求解.【解析】(1)由loga121，得loga12logaA．①当a1时，有a12，此时无解；②当0a1时，有12a，从而12a1.∴a的取值范围是12，1.(2)∵函数y＝log0.7x在(0，＋∞)上为减函数，∴由log0.7(2x)log0.7(x－1)，得2x0，x－10，2xx－1，解得x1，x的取值范围为(1，＋∞).【方法规律】常见对数不等式的解法(1)形如logaxlogab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a1与0a1两种情况讨论.(2)形如logaxb的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式，再借助y＝logax的单调性求解.(3)形如logaxlogbx的不等式，可利用图象求解.2.若a0且a≠1，loga(2a＋1)loga3a0，求实数a的取值范围.【解析】不等式可化为loga(2a＋1)loga3aloga1，等价于a1，2a＋10，2a＋13a，03a1，或0a1，2a＋13a，3a1，解得13a1，即实数a的取值范围为13，1.对数函数性质的综合应用【例3】已知函数f(x)＝logax＋1x－1(a＞0且a≠1).(1)求f(x)的定义域；(2)判断函数的奇偶性和单调性.【解题探究】此函数是由y＝logau，u＝x＋1x－1复合而成，求函数的性质应先求出定义域，再利用有关定义，去讨论其他性质.【解析】(1)要使此函数有意义，则有x＋10，x－10或x＋10，x－10，解得x＞1或x＜－1，∴函数的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞).(2)f(－x)＝loga－x＋1－x－1＝logax－1x＋1＝－logax＋1x－1＝－f(x).又由(1)知f(x)的定义域关于原点对称，∴f(x)为奇函数.f(x)＝logax＋1x－1＝loga1＋2x－1，函数u＝1＋2x－1在区间(－∞，－1)和区间(1，＋∞)上单调递减.所以当a＞1时，f(x)＝logax＋1x－1在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递减；当0＜a＜1时，f(x)＝logax＋1x－1在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增.【方法规律】对数函数常与函数的奇偶性、单调性、最值以及不等式等问题综合，求解中通常会涉及对数运算.解决此类综合问题，首先要将所给的条件进行转化，然后结合涉及的知识点，明确各知识点的应用思路、化简方向，与所求目标建立联系，从而找到解决问题的思路.3.已知函数f(x)＝loga2＋mxx＋2(a＞0，a≠1，m≠1)是奇函数.(1)求实数m的值；(2)探究函数f(x)在其定义域内的单调性.【解析】(1)由已知条件，得f(－x)＋f(x)＝0对定义域中的x均成立.∴loga2－mx－x＋2＋loga2＋mxx＋2＝0，即2－mx－x＋2·2＋mxx＋2＝1.∴m2x2－4＝x2－4对定义域中的x均成立.∴m2＝1，即m＝1(舍去)或m＝－1.(2)由(1)，得f(x)＝loga2－xx＋2，定义域为(－2,2).设t＝2－xx＋2＝－x＋2＋4x＋2＝－1＋4x＋2，∴当－2＜x2＜x1＜2时，t1－t2＝4x1＋2－4x2＋2＝4x2－x1x1＋2x2＋2＜0，∴t1＜t2.当a＞1时，logat1＜logat2，即f(x1)＜f(x2)，∴当a＞1时，f(x)在(－2,2)上是减函数.同理当0＜a＜1时，f(x)在(－2,2)上是增函数.【示例】函数y＝logax(a0且a≠1)在[2,4]上的最大值与最小值的差是1，求a的值.忽略底数对对数函数的单调性的影响致误【错解】因为函数y＝logax(a0且a≠1)在[2,4]上的最大值是loga4，最小值是loga2，所以loga4－loga2＝1，即loga42＝1，所以a＝2.【错因】此题错误是把y＝logax在[2,4]上直接看成了增函数，但底数a不定，所以函数的单调性也不定，应分类讨论才行.【正解】(1)当a1时，函数y＝logax在[2,4]上是增函数，所以loga4－loga2＝1，即loga42＝1，所以a＝2.(2)当0a1时，函数y＝logax在[2,4]上是减函数，所以loga2－loga4＝1，即loga24＝1，所以a＝12.由(1)(2)，知a＝2或a＝12.【警示】在解决底数中包含字母的对数函数问题时，要注意对底数进行分类讨论，一般考虑a1与0a1两种情况.忽略底数a对函数y＝logax(a0且a≠1)的单调性的影响就会出现漏解或错解.1.比较两个对数值的大小及解对数不等式问题，其依据是对数函数的单调性.若对数的底数是字母且范围不明确，一般要分a＞1和0＜a＜1两类分别求解.2.解决与对数函数相关的问题时要树立“定义域优先”的原则，同时注意数形结合思想和分类讨论思想在解决问题中的应用.1．已知函数f(x)＝log0.5(x2－ax＋3a)在[2，＋∞)上单调递减，则a的取值范围是()A．(－∞，4]B．[4，＋∞)C．[－4,4]D．(－4,4]【答案】D【解析】因为y＝log0.5u在u∈(0，＋∞)时单调递减，所以由题意得u＝x2－ax＋3a在[2，＋∞)上单调递增且恒大于0.所以a2≤2，u2＝4－2a＋3a0，解得－4a≤4.故选D.2.设a＝log54，b＝(log53)2，c＝log45，则()A．a＜c＜bB．b＜c＜aC．a＜b＜cD．b＜a＜c【答案】D【解析】∵1＝log55＞log54＞log53＞log51＝0，∴1＞a＝log54＞log53＞b＝(log53)2.又∵c＝log45＞log44＝1.∴c＞a＞b3.函数f(x)＝lg1x2＋1＋x的奇偶性是()A．奇函数B．偶函数C．既奇又偶函数D．非奇非偶函数【答案】A【解析】f(x)定义域为R，f(－x)＋f(x)＝lg1x2＋1－x＋lg1x2＋1＋x＝lg1x2＋1－x2＝lg1＝0，∴f(x)为奇函数.故选A．4．不等式log12(4x＋2x＋1)＞0的解集为________．【答案】(－∞，log2(2－1))【解析】由log12(4x＋2x＋1)＞0，得4x＋2x＋1＜1，即(2x)2＋2·2x＜1，配方得(2x＋1)2＜2，所以2x＜2－1，两边取以2为底的对数，得x＜log2(2－1)．