2019-2020学年高中数学 第二章 基本初等函数（Ⅰ） 2.2.2 对数函数及其性质 第1课时

2.2对数函数2.2.2对数函数及其性质第1课时对数函数的图象及性质目标定位重点难点1.理解对数函数的概念.2.初步掌握对数函数的图象及性质.3.会类比指数函数，研究对数函数的性质.重点：对数函数的概念、图象和性质.难点：对数函数图象与性质的应用.1.对数函数的概念一般地，把函数y＝logax(a＞0且a≠1)叫做对数函数，其中________是自变量，函数的定义域是___________.x(0，＋∞)2.对数函数的图象与性质对数函数a＞10＜a＜1图象对数函数a＞10＜a＜1定义域(0，＋∞)值域R过定点过定点________，即x＝1时，y＝0函数值的变化当0＜x＜1时，____当x＞1时，____当0＜x＜1时，____当x＞1时，____性质单调性是(0，＋∞)上的______是(0，＋∞)上的______3.反函数对数函数y＝logax(a＞0且a≠1)与_____________________互为反函数.(1,0)y＜0y＞0y＞0y＜0增函数减函数指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)【答案】(1)√(2)×(3)√1.判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)y＝log2x2与y＝logx3都不是对数函数.()(2)函数y＝log0.2x5是对数函数且是单调递减函数.()(3)函数y＝2x与y＝log2x的图象关于y＝x对称.()2.做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)函数y＝log0.5(3x＋2)有意义，应有x∈______.(2)若函数y＝log(a－1)x为增函数，则a的取值范围是_____.【答案】(1)－23，＋∞(2)(2，＋∞)3.思一思：判断一个函数是不是对数函数的依据是什么？【解析】对数函数的定义与指数函数类似，只有满足函数解析式右边的系数为1，底数为大于0且不等于1的常数，真数仅有自变量x这三个条件，才是对数函数.如：y＝logax2，y＝loga(4－x)，y＝logxa都不是对数函数.【例1】下列函数中，哪些是对数函数？①y＝logax2(a0且a≠1)；②y＝log2x－1；③y＝logxa(x0且x≠1)；④y＝log5x.【解题探究】解答本题可根据对数函数的定义寻找其满足的条件.对数函数的定义【解析】④为对数函数.①中真数不是自变量x，∴不是对数函数；②中对数式后减1，∴不是对数函数；③中底数是自变量x，而非常数a，∴不是对数函数.【方法规律】判断一个函数是对数函数必须是形如y＝logax(a＞0且a≠1)的形式，即必须满足以下条件：(1)系数为1；(2)底数为大于0且不等于1的常数；(3)对数的真数仅有自变量x.1.函数f(x)＝(a2－a＋1)log(a＋1)x是对数函数，则实数a＝________.【答案】1【解析】a2－a＋1＝1，解得a＝0或1.又a＋10且a＋1≠1，∴a＝1.【例2】(1)函数y＝loga(x＋1)－2(a0且a≠1)的图象恒过点________.(2)如图所示的曲线是对数函数y＝logax，y＝logbx，y＝logcx，y＝logdx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系为_____.对数函数的图象【解题探究】(1)利用loga1＝0确定恒过定点问题；(2)根据对数函数图象的位置关系，确定底数的大小.【答案】(1)(0，－2)(2)ba1dc【解析】(1)因为函数y＝logax(a0，且a≠1)的图象恒过点(1,0)，则令x＋1＝1，得x＝0，此时y＝loga(x＋1)－2＝－2，所以函数y＝loga(x＋1)－2(a0，且a≠1)的图象恒过点(0，－2).(2)由图可知函数y＝logax，y＝logbx的底数a1，b1，函数y＝logcx，y＝logdx的底数0c1,0d1.过点(0,1)作平行于x轴的直线，则直线与四条曲线交点的横坐标从左向右依次为c，d，a，b，显然ba1dc．【方法规律】1.对数函数图象过定点问题求函数y＝m＋logaf(x)(a0且a≠1)的图象过的定点时，只需令f(x)＝1求出x，即得定点为(x，m).2.根据对数函数图象判断底数大小的方法作直线y＝1与所给图象相交，交点的横坐标即为各个底数，依据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可比较底数的大小.2．已知函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a＞0，a≠1)的图象如图，则下列结论成立的是()A．a＞1，c＞1B．a＞1,0＜c＜1C．0＜a＜1，c＞1D．0＜a＜1,0＜c＜1【答案】D【解析】由该函数的图象通过第一、二、四象限知该函数为减函数，∴0＜a＜1，∵图象与x轴的交点在区间(0,1)之间，∴该函数的图象是由函数y＝logax的图象向左平移不到1个单位后得到的，∴0＜c＜1.【解题探究】解答本题可结合对数定义及对数式的意义列不等式(组)求解.对数函数有关的定义域问题【例3】求下列函数的定义域.(1)y＝1lgx＋1－3；(2)y＝logx(2－x).【解析】(1)由lgx＋1－3≠0，x＋10，得x＋1≠103，x－1，∴x－1且x≠999.∴函数的定义域为{x|x－1且x≠999}.(2)由x0，x≠1，2－x0，得x0，x≠1，x2，∴函数的定义域为{x|0x2且x≠1}.【方法规律】求与对数函数有关的函数定义域时，除遵循前面已学习过的求函数定义域的方法外，还要对这种函数自身有如下要求：一是要特别注意真数大于零；二是要注意对数的底数；三是按底数的取值应用单调性，有针对性地解不等式.3.求下列函数的定义域.(1)y＝log2(x2－4x－5)；(2)y＝log0.54x－3.【解析】(1)要使函数有意义，需x2－4x－50，即(x－5)(x＋1)0，解得x－1或x5，故所求函数的定义域为(－∞，－1)∪(5，＋∞).(2)要使函数有意义，需log0.5(4x－3)≥0，即log0.5(4x－3)≥log0.51，故04x－3≤1，解得34x≤1，故所求函数的定义域为34，1.【示例】已知函数y＝f(x)，x，y满足关系式lg(lgy)＝lg(3x)＋lg(3－x)，求函数y＝f(x)的表达式及定义域、值域.【错解】因为lg(lgy)＝lg(3x)＋lg(3－x)＝lg[3x(3－x)]，①所以lgy＝3x(3－x).所以y＝103x(3－x)(x∈R，y0).忽略对数函数的定义域【错因】错解没有注意到对数函数的定义域，即表达式①成立的前提为3x0，3－x0.【正解】因为lg(lgy)＝lg(3x)＋lg(3－x)，所以3x0，3－x0，lgy0，即0x3，y1.又lg(lgy)＝lg(3x)＋lg(3－x)＝lg[3x(3－x)]，所以lgy＝3x(3－x)，所以y＝103x(3－x).因为0x3，所以3x(3－x)＝－3x－322＋274∈0，274.所以y∈1，10274.所以函数y＝f(x)的表达式为y＝103x(3－x)，定义域为(0,3)，值域为1，10274.【警示】解决含有对数的问题时一定要使对数式有意义，即要使对数的真数大于0，底数大于0且不等于1，也就是说无论是解对数方程、对数不等式，还是解决含对数的函数问题都必须始终关注这一点.1.判断一个函数是不是对数函数关键是分析所给函数是否具有y＝logax(a＞0，且a≠1)这种形式.2.在对数函数y＝logax中，底数a对其图象直接产生影响，学会以分类的观点认识和掌握对数函数的图象和性质.3.涉及对数函数定义域的问题，常从真数和底数两个角度分析.1.函数f(x)＝11－x＋lg(1＋x)的定义域是()A．(－∞，－1)B．(1，＋∞)C．(－1,1)∪(1，＋∞)D．(－∞，＋∞)【答案】C【解析】由题意知1＋x0，1－x≠0，解得x－1且x≠1.2.函数y＝logax的图象如图所示，则a的值可以是()A．0.5B．2C．eD．π【答案】A【解析】∵函数y＝logax的图象单调递减，∴0＜a＜1，只有选项A符合题意.3.已知对数函数过点(2,4)，则f(x)的解析式为______.【答案】f(x)＝log42x【解析】设f(x)＝logax，则由f(2)＝loga2＝4得a4＝2，∴a＝42，即f(x)＝log42x.4.若a＞0且a≠1，则函数y＝loga(x－1)＋1的图象恒过定点________.【答案】(2,1)【解析】函数图象过定点，则与a无关，故loga(x－1)＝0，∴x－1＝1，x＝2，y＝1.∴y＝loga(x－1)＋1的图象过定点(2,1).5.函数y＝lnx的反函数是________.【答案】y＝ex【解析】由同底指数函数和对数函数互为反函数，可得y＝lnx的反函数为y＝ex.