2019-2020学年高中数学 第二章 基本初等函数（Ⅰ） 2.2.1 对数与对数运算 第一课时 对

2.2对数函数2.2.1对数与对数运算第一课时对数[目标导航]课标要求1.理解对数概念,会进行对数式与指数式的互化.2.掌握对数的基本性质,并能应用性质解决相关问题.3.了解对数在化简中的作用.素养达成1.通过对对数概念的理解,培养数学抽象的核心素养.2.通过对数式与指数式的互化,培养逻辑推理的核心素养.3.通过利用对数的基本性质解决相关问题,培养数学运算的核心素养.一般地,如果ax=N(a0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作,其中a叫做对数的,N叫做.思考1:任意式子ax=N都可以直接化为对数式吗?答案:不一定.只有a0且a≠1,N0时才可以化为对数式.新知导学·素养养成1.对数的概念x=logaN底数真数思考2:为什么对数式中规定a0且a≠1?答案:(1)若a0,则N取某些数值时,logaN不存在,因此规定a不能小于0.(2)若a=0,则当N≠0时,logaN不存在,当N=0时,则logaN有无数个值,与函数定义不符,因此规定a≠0.(3)若a=1,当N≠1时,则logaN不存在,当N=1时,则logaN有无数个值,与函数定义不符,因此规定a≠1.2.常用对数与自然对数(1)常用对数:通常我们将以为底的对数叫做常用对数,记作.(2)自然对数:以为底的对数称为自然对数,记作.10lgNelnN3.对数logaN(a0,且a≠1)具有下列简单性质(1)没有对数,即N;(2)1的对数为,即loga1=;(3)底数的对数等于,即logaa=;思考3:为什么零和负数无对数?答案:由对数的定义:ax=N(a0,且a≠1),则总有N0,所以转化为对数式x=logaN时,不存在N≤0的情况.(4)logaNa=.负数和零0零011N名师点津(1)对数式意义的理解①对数式logaN可看作一种记号,只有在a0,a≠1,且N0时才有意义.②对数式logaN也可以看作一种运算,是在已知ab=N求b的前提下提出的.③logaN是一个数,是一种取对数的运算,结果仍是一个数,不可分开书写,也不可认为是loga与N的乘积.(2)指数式与对数式的关系式子名称abN指数式ab=N(a0且a≠1)底数指数幂对数式b=logaN(a0且a≠1,N0)底数对数真数课堂探究·素养提升题型一对数的概念[例1]求下列各式中的x.(1)log2x=3;(2)log27x=23;解:(1)因为log2x=3,所以x=23=8.(2)因为log27x=23,所以x=2723=(33)23=9.(3)logx12=-3;(4)log2132=x.解:(3)因为logx12=-3,所以12=x-3,所以x=32.(4)因为log2132=x,所以2x=132=2-5,所以x=-5.方法技巧求解对数式中的未知数时,应将对数式转化为指数式,利用指数式的特征求出未知数.在利用ax=N(a0,且a≠1)⇔x=logaN(a0,且a≠1)进行互化时,要分清各字母或数字分别在指数式和对数式中的位置.即时训练1-1:(1)若loga2=m,loga3=n,则a2m+n=.(1)解析:因为loga2=m,loga3=n,所以am=2,an=3,所以a2m+n=a2m·an=(am)2·an=22×3=12.答案:12(2)将下列指数形式化为对数形式,对数形式化为指数形式.①54=625;②(13)m=5.73;③ln10=2.303;④lg0.01=-2.②log135.73=m.(2)解:①log5625=4.③e2.303=10.④10-2=0.01.解:(1)因为log21x=-4,所以2-4=1x,所以x=16.[备用例1]求下列各式中的未知数x.(1)log21x=-4;(2)log13x=3;(2)因为log13x=3,所以x=(13)3=127.(4)因为logx64=-2,所以x-2=64,所以x=18.(3)log2x=0;(4)logx64=-2.解:(3)因为log2x=0,所以x=20=1.题型二对数的简单性质[例2]求下列各式中的x.(1)log3(x2-1)=0;解:(1)因为log3(x2-1)=0,所以2210,11,xx所以x=±2.(2)log(x+3)(x2+3x)=1.解:(2)因为log(x+3)(x2+3x)=1,所以2233,30,3031,xxxxxxx①②且③解①得,x=-3或x=1.当x=-3时,不满足②和③,当x=1时,满足②和③,故x=1.方法技巧求解对数的底数或真数中含未知数,且对数值为0或1的问题,应抓住对数的两条性质loga1=0和logaa=1(a0,且a≠1),这是将对数式化简,求简单对数值的基础.若已知对数值求真数,则可将其化为指数式运算求解.即时训练2-1:求下列各式中的x.(1)log2(log3x)=1;(2)log3(log5x)=0.解:(1)因为log2(log3x)=1,所以log3x=2,所以x=32=9.(2)因为log3(log5x)=0,所以log5x=1,所以x=5.解:(1)因为log(3x2+2x-1)=1,所以3x2+2x-1=2x2-1,解得x=-2或x=0,又当x=0时,3x2+2x-10,故x=0舍去,所以x=-2.[备用例2]求下列各式中的x.(1)log(3x2+2x-1)=1;(2)log2[log3(log4x)]=0.解:(2)因为log2[log3(log4x)]=0,所以log3(log4x)=1,所以log4x=3,所以x=43=64.题型三对数恒等式logaNa=N(a0,且a≠1,N0)的应用[例3](12分)求下列各式的值.(1)2log32+3log23;规范解答:(1)因为2log32=3,3log23=2,……2分所以原式=3+2=5.……3分(2)212log32;(3)101+lg2;(4)e-1+ln3.规范解答:(2)原式=22×21log32=4×13=43.……6分(3)原式=10×10lg2=10×2=20.…………………9分(4)原式=e-1×eln3=1e×3=3e.…………………12分方法技巧利用对数恒等式化简的关键是利用指数幂的相关运算性质把式子转化为logaNa的形式.解:(1)2log102=10.即时训练3-1:求下列各式的值.(1)2log102;(2)51log25;(3)431log29;(4)31log53-(12)2log5.(2)51log25=5×3log25=5×2=10.(3)431log29=(129)log43=3log43=4.(4)31log53-(12)2log5=31log53-2log52=3×3log53-(2log52)-1=3×5-15=745.[备用例3](1)若a=log35,则3a+9a的值为()(A)15(B)20(C)25(D)30(1)解析:因为a=log35,所以3a+9a=3log53+(3log53)2=5+25=30.选D.(2)若函数f(x)=32log,0,3,10,3,1,xxxxxx求f(f(f(-2-2))).(2)解:因为-2-2-1,所以f(-2-2)=-2223=-19.又-19∈(-1,0],所以f(f(-2-2))=f(-19)=193.因为1930,所以f(193)=log3193=-19.即原式=-19.学霸经验分享区(1)指数式与对数式互化时的技巧及应注意的问题①技巧:若是指数式化为对数式,只要将幂作为真数,指数当成对数值,而底数不变即可;若是对数式化为指数式,则正好相反.②注意问题:利用对数式与指数式间的互化公式互化时,要注意字母的位置改变;对数式的书写要规范:底数a要写在符号“log”的右下角,真数正常表示.(2)对数性质的运用技巧logaa=1及loga1=0是对数计算的两个常用量,可以实现数1,0与对数logaa及loga1的互化.(3)运用对数恒等式时的注意事项①对于对数恒等式logaNa=N(a0且a≠1,N0)要注意格式:它们是同底的,指数中含有对数形式,其值为对数的真数.②对于指数中含有对数值的式子进行化简,应充分考虑对数恒等式的应用.课堂达标A1.把对数式x=lg2化成指数式为()(A)10x=2(B)x10=2(C)x2=10(D)2x=10解析:lg2=log102,即对数式为x=log102,故指数式为10x=2.2.在对数式1logaN=b中,下列对a,b,N的限制条件中正确的是()(A)a1,N≥0,b∈R(B)a1且a≠2,N≥0,b0(C)a1且a≠2,N0,b∈R(D)a1且a≠2,N0,b0C解析:1a0且1a≠1,所以a1且a≠2;N0,所以N0;b∈R.故选C.3.log4917的值为()(A)17(B)12(C)7(D)-12D解析:设x=log4917,则49x=7-1,即72x=7-1,故2x=-1,则x=-12.4.(13)31log2=.解析:原式=(13)-1×(13)3log2=3×(3-1)3log2=3×(3log23)-1=3×2-1=32.答案:325.log20191+log20192019=.答案:1