2019-2020学年高中数学 第二章 概率 5 离散型随机变量的均值与方差 第一课时 离散型随机变

[自主梳理]一、离散型随机变量的均值(或数学期望)1．定义若离散型随机变量X的概率分布为：Xx1x2…xnPp1p2…pn则定义X的均值为______________________．X的均值也称作X的___________(简称________)，它是一个数，记作EX.2．意义：刻画离散型随机变量取值的“__________”．二、二项分布与超几何分布的均值当随机变量服从参数为n，p的二项分布时，其均值为______；当随机变量X服从参数为N，M，n的超几何分布时，它的均值EX＝________.三、离散型随机变量的性质若η＝aξ＋b，其中a，b为常数，则P(η＝axi＋b)＝________，E(aξ＋b)＝________.特别地：(1)a＝0时，Eb＝________，(2)当a＝1时，E(ξ＋b)＝________.x1p1＋x2p2＋…＋xnpn数学期望期望中心位置npnMNP(ξ＝xi)aEξ＋bbEξ＋b[双基自测]1．已知随机变量X的分布列为：X－101P121316则X的均值是()A.13B．－13C.23D．－23B解析：EX＝(－1)×12＋0×13＋1×16＝－13.2．若随机变量ξ～B(n,0.6)，且Eξ＝3，则P(ξ＝1)的值是()A．2×0.44B．2×0.45C．3×0.44D．3×0.64解析：∵ξ～B(n,0.6)，Eξ＝3，∴0.6n＝3，即n＝5.故P(ξ＝1)＝C15×0.6×(1－0.6)4＝3×0.44.C解析：由P(X＝k)＝Ck300·13k·23300－k，可知X～B300，13，∴EX＝300×13＝100.3．设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝Ck300·13k·23300－k(k＝0,1,2，…，300)，则EX＝______.100探究一离散型随机变量的均值[例1]已知随机变量X的分布列如下：X－2－1012P141315m120(1)求EX；(2)若Y＝2X－3，写出随机变量Y的分布列并求EY.[解析](1)由随机变量分布列的性质，得14＋13＋15＋m＋120＝1，所以m＝16，∴EX＝(－2)×14＋(－1)×13＋0×15＋1×16＋2×120＝－1730.(2)解法一由公式E(aX＋b)＝aEX＋b，得EY＝E(2X－3)＝2EX－3＝2×(－1730)－3＝－6215.解法二由于Y＝2X－3，所以Y的分布列如下：Y－7－5－3－11P14131516120∴EY＝(－7)×14＋(－5)×13＋(－3)×15＋(－1)×16＋1×120＝－6215.求均值的方法和技巧求均值的关键是求出分布列，只要求出随机变量的分布列，就可以套用均值的公式求解．对于aX＋b型随机变量的均值，可以利用均值的性质求解，当然也可以先求出aX＋b的分布列，再用定义求解．1．设随机变量X服从分布P(X＝k)＝15，k＝1,2,3,4,5，求E(X＋2)2.解析：∵EX＝1×15＋2×15＋3×15＋4×15＋5×15＝155＝3.EX2＝1×15＋22×15＋32×15＋42×15＋52×15＝11.∴E(X＋2)2＝E(X2＋4X＋4)＝EX2＋4EX＋4＝11＋12＋4＝27.探究二二项分布及超几何分布的均值[例2]某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望Eξ＝________(结果用最简分数表示)．[解析]解法一由题意知随机变量ξ服从参数为N＝7，M＝2，n＝2的超几何分布．ξ的可能取值为0,1,2.因此P(ξ＝0)＝C25C27＝1021，P(ξ＝1)＝C12C15C27＝1021，P(ξ＝2)＝C22C27＝121，故ξ的分布列为：ξ＝k012P(ξ＝k)10211021121从而数学期望Eξ＝0×1021＋1×1021＋2×121＝47.解法二随机变量ξ服从参数为N＝7，M＝2，n＝2的超几何分布，直接代入超几何分布均值的计算公式可得Eξ＝nMN＝2×27＝47.[答案]47超几何分布和二项分布是两种特殊的而且应用相当广泛的分布列，解题时如果能发现是这两种分布模型，就可以直接有规律地写出分布列，求出期望值．2．“石头、剪刀、布”是一种广泛流传于我国民间的古老游戏，其规则是用三种不同的手势分别表示石头、剪刀、布；两个玩家同时出示各自手势1次记为1次游戏，“石头”胜“剪刀”，“剪刀”胜“布”，“布”胜“石头”；双方出示的手势相同时，不分胜负．现假设玩家甲、乙双方在游戏时出示三种手势是等可能的．(1)求在1次游戏中玩家甲胜玩家乙的概率；(2)若玩家甲、乙双方共进行了3次游戏，其中玩家甲胜玩家乙的次数记作随机变量X，求X的分布列及其期望．解析：(1)玩家甲、乙双方在1次游戏中出示手势的所有可能结果是(石头，石头)，(石头，剪刀)，(石头，布)，(剪刀，石头)，(剪刀，剪刀)，(剪刀，布)，(布，石头)，(布，剪刀)，(布，布)，共有9个基本事件．玩家甲胜玩家乙的基本事件分别是(石头，剪刀)，(剪刀，布)，(布，石头)，共有3个．所以，在1次游戏中玩家甲胜玩家乙的概率P＝39＝13.(2)X的可能取值分别为0,1,2,3.P(X＝0)＝C03·(23)3＝827，P(X＝1)＝C13·(13)1·(23)2＝1227＝49，P(X＝2)＝C23·(13)2·(23)1＝627＝29，P(X＝3)＝C33·(13)3＝127.X的分布列如下：X0123P8274929127EX＝0×827＋1×49＋2×29＋3×127＝1(或X～B(3，13)，EX＝np＝3×13＝1)．探究三均值的实际应用[例3]现有甲、乙两个靶．某射手向甲靶射击一次，命中的概率为34，命中得1分，没有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为23，每命中一次得2分，没有命中得0分．该射手每次射击的结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击．(1)求该射手恰好命中一次的概率；(2)求该射手的总得分X的分布列及数学期望EX.[解析](1)P＝34·(13)2＋14·C12·13·23＝736.(2)X＝0,1,2,3,4,5，P(X＝0)＝14·(13)2＝136；P(X＝1)＝34·(13)2＝112；P(X＝2)＝14C12·13·23＝19；P(X＝3)＝34C12·13·23＝13；P(X＝4)＝14·(23)2＝19；P(X＝5)＝34·(23)2＝13.X的分布列为：X012345P13611219131913EX＝0×136＋1×112＋2×19＋3×13＋4×19＋5×13＝4112.3．两名战士在一次射击比赛中，战士甲得1分、2分、3分的概率分别为0.4,0.1,0.5；战士乙得1分、2分、3分的概率分别为0.1,0.6,0.3，那么两名战士获胜希望较大的是谁？解析：设这次射击比赛战士甲得X1分，战士乙得X2分，则概率分布分别如下：X1123P0.40.10.5X2123P0.10.60.3根据均值公式得EX1＝1×0.4＋2×0.1＋3×0.5＝2.1；EX2＝1×0.1＋2×0.6＋3×0.3＝2.2.EX2EX1，故这次射击比赛战士乙得分的均值较大，所以乙获胜希望大．计算均值时因写错分布列致误[典例]一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率为0.6，现有4颗子弹，则剩余子弹数目X的期望为________．[解析]X的可能取值为3,2,1,0，P(X＝3)＝0.6；P(X＝2)＝0.4×0.6＝0.24；P(X＝1)＝0.42×0.6＝0.096；P(X＝0)＝0.43＝0.064；所以EX＝3×0.6＋2×0.24＋1×0.096＋0×0.064＝2.376.[答案]2.376[错因与防范]1.解答本题易得期望值为2.28或2.4的错误结论，错因是审题不细，导致在解此题时误认为是求“命中子弹数目X的期望”而不是剩余子弹数目的期望，或根本没有注意到条件“直到第一次命中为止”．2．防范措施：(1)注意题设信息的提取．合理分析题设信息可以避免因审题带来的不必要的失误．如本例中的条件及待求问题都需要仔细研读．(2)注意知识间的辨析．二项分布的特征是事件的相互独立性，彼此之间无任何制约关系，而本例中条件“直到第一次命中为止”说明了随机变量并非服从二项分布．体育课进行篮球投篮达标测试，规定：每位同学有5次投篮机会，若投中3次则“达标”；为节省测试时间，同时规定：若投篮不到5次已达标，则停止投篮；若后面投篮全中，也不能达标(例如前3次都未投中等情形)，则停止投篮．同学甲投篮命中率为23，且每次投篮互不影响．(1)求同学甲恰好投4次达标的概率；(2)设测试中甲投篮次数记为X，求X的分布列及数学期望EX.解析：(1)甲同学恰好投4次达标的概率P＝C23(23)3·13＝827.(2)X可能的取值是3,4,5.P(X＝3)＝(13)3＋(23)3＝13，P(X＝5)＝C24(23)2(13)2＝827，P(X＝4)＝1－13－827＝1027.X的分布列为：X345P131027827所以X的数学期望为EX＝3×13＋4×1027＋5×827＝10727.