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第1页§5离散型随机变量的均值与方差第一课时离散型随机变量的均值(一)第2页1.离散型随机变量的均值或数学期望若离散型随机变量X的分布列为Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn则称E(X)=x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn为随机变量X的均值或数学期望.它反映了离散型随机变量取值的平均水平.第3页2.离散型随机变量的性质若X为(离散型)随机变量,则Y=aX+b(其中a,b为常数)也是随机变量,且P(X=xi)=P(Y=axi+b),i=1,2,3,…,n.E(Y)=E(aX+b)=aE(X)+b.第4页3.两点分布与二项分布的均值XX~B(n,p)X服从两点分布E(X)npp(p为成功概率)第5页1.离散型随机变量的均值(1)由定义可知离散型随机变量的数学期望与它的本身有相同的单位.(2)随机变量的数学期望与样本的平均值的关系:随机变量的均值是一个常数,它不依赖于样本的抽取,而样本平均值是一个随机变量,它随样本抽取的不同而变化.对于简单随机样本,随着样本容量的增加,样本平均值越来越接近于总体的均值.第6页2.均值的性质若Y=aX+b,其中a,b是常数(X是随机变量),则Y也是随机变量,且有E(aX+b)=aE(X)+b.(1)当a=0时,E(b)=b,即常数的数学期望就是这个常数本身;(2)当a=1时,E(X+b)=E(X)+b,即随机变量X与常数之和的期望等于X的期望与这个常数的和;(3)当b=0时,E(aX)=aE(X),即常数与随机变量乘积的期望等于这个常数与随机变量期望的乘积.第7页课时学案第8页题型一均值的求法例1(1)(2015·淄博高二检测)已知某一随机变量ξ的概率分布列如下,且E(ξ)=6.3,则a的值为()ξ4a9P0.50.1bA.5B.6C.7D.8第9页(2)在1,2,3,…,9这9个自然数中,任取3个数.①求这3个数中恰有1个是偶数的概率;②记ξ为这3个数中两数相邻的组数(例如:若取出的数为1,2,3,则有两组相邻的数1,2和2,3,此时ξ的值是2).求随机变量ξ的分布列及其数学期望E(ξ).第10页【解析】(1)由题意可知4×0.5+0.1a+9b=6.3,0.5+0.1+b=1,故a=7,b=0.4.第11页(2)①记“这3个数中恰有一个是偶数”为事件A,则P(A)=C41C52C93=1021.②随机变量ξ的取值为0,1,2.ξ的分布列是ξ012P51212112所以ξ的数学期望E(ξ)=0×512+1×12+2×112=23.【答案】(1)C(2)①1021②略.第12页探究1求期望一般分为四步:(1)确定X可能的取值;(2)计算P(X=k);(3)写出分布列;(4)利用E(X)的计算公式计算E(X).第13页◎思考题1在一次购物抽奖活动中,假设某10张券中有一等奖奖券1张,可获价值50元的奖品;有二等奖奖券3张,每张可获价值10元的奖品;其余6张没有奖.某顾客从这10张奖券中任抽2张,求:(1)该顾客中奖的概率;(2)该顾客获得的奖品总价值X(元)的分布列和均值E(X).第14页【思路】本题(1)可直接用古典概型求概率,也可从其对立事件“2张都不中奖”考虑,间接求解;(2)可以设中奖的奖品价值为随机变量X,然后写出X的所有可能的取值及X的分布列,进而求出E(X).第15页【解析】(1)方法一:设“该顾客中奖”为事件A,则P(A)=1-P(A-)=1-C62C102=1-1545=23.方法二:P(A)=C41C61+C42C102=3045=23.即该顾客中奖的概率为23.第16页(2)X的所有可能值为0,10,20,50,60,且P(X=0)=C62C102=13,P(X=10)=C31C61C102=25,P(X=20)=C32C102=115,P(X=50)=C11C61C102=215,P(X=60)=C11C31C102=115.故X的分布列如下.X010205060P1325115215115从而均值E(X)=0×13+10×25+20×115+50×215+60×115=16.第17页题型二均值性质的应用例2已知随机变量X的分布列如下:X-2-1012P141315m120(1)求m的值;(2)求E(X);(3)若Y=2X-3,求E(Y).第18页【思路】解答本题可先由分布列的性质求出m的值,然后由随机变量的均值计算公式求出相应的期望值,而对于(3)可以直接利用公式,E(Y)=E(2X-3)=2E(X)-3,也可以先写出Y的分布列,再求E(Y).第19页【解析】(1)由随机变量分布列的性质,得14+13+15+m+120=1,解得m=16.(2)E(X)=(-2)×14+(-1)×13+0×15+1×16+2×120=-1730.第20页(3)方法一:由公式E(aX+b)=aE(X)+b,得E(Y)=E(2X-3)=2E(X)-3=2×(-1730)-3=-6215.方法二:由于Y=2X-3,所以Y的分布列如下Y-7-5-3-11P14131516120所以E(Y)=(-7)×14+(-5)×13+(-3)×15+(-1)×16+1×120=-6215.第21页探究2求均值的关键是求出分布列,只要求出了随机变量的分布列,就可以套用均值的公式求解,对于aX+b型随机变量的均值,可以利用E(aX+b)=aE(X)+b求解,当然也可以先求出aX+b的分布列,再用定义求解.第22页◎思考题2(1)已知随机变量X的分布列为X024P0.4m0.3求:①E(X);②若Y=5X+4,求E(Y).第23页【解析】直接利用离散型随机变量的均值公式及性质求解.①由随机变量分布列的性质,得0.4+m+0.3=1.∴m=0.3.∴E(X)=0×0.4+2×0.3+4×0.3=1.8.②由公式E(aX+b)=aE(X)+b,得E(Y)=E(5X+4)=5E(X)+4=5×1.8+4=13.第24页(2)设离散型随机变量ξ可能的取值为1,2,3,4,P(ξ=k)=ak+b(k=1,2,3,4),又ξ的数学期望E(ξ)=3,则a+b=________.第25页【解析】由分布列的性质,可得P(ξ=1)+P(ξ=2)+P(ξ=3)+P(ξ=4)=1.即(a+b)+(2a+b)+(3a+b)+(4a+b)=1,化简,可得10a+4b=1.①第26页由数学期望公式,可得E(ξ)=1×(a+b)+2×(2a+b)+3×(3a+b)+4×(4a+b)=30a+10b.∴30a+10b=3.②由①,②联立,解得a=110,b=0,∴a+b=110.【答案】110第27页题型三两点分布的均值例3某运动员投篮命中率为P=0.8.(1)求一次投篮时命中次数ξ的期望;(2)求重复5次投篮时,命中次数η的期望.第28页【思路】根据题意,ξ服从两点分布,η服从二项分布,由相应公式可得ξ、η的期望值.第29页【解析】(1)投篮一次,命中次数ξ的分布列为ξ01P0.20.8,则E(ξ)=0.8.(2)由题意,重复5次投篮,命中次数η服从二项分布,即η~B(5,0.8),则E(η)=np=5×0.8=4.第30页探究3解这类题的关键要准确判断变量是否服从二项分布、两点分布.第31页◎思考题3在篮球比赛中,罚球命中1次得1分,不中得0分.如果某运动员罚球命中的概率为0.7,那么他罚球1次的得分X的均值是多少?第32页【解析】显然这里的得分X服从参数p=0.7的二点分布,∴E(X)=0.7.故他罚球1次的得分X的均值为0.7.第33页题型四二项分布的均值例4一份数学模拟试卷由25个选择题构成,每个选择题有4个选项,其中有且仅有一个选项是正确的,每题选对正确答案得4分,不做选择或选错不得分,满分100分.张强选对任一题的概率为0.8,求他在这次数学测验中的成绩的期望.第34页【解析】张强在数学测验中选择了正确答案的选择题的个数服从二项分布X~B(25,0.8),其数学期望可有简便算法.设张强做对选择题的个数为X,则X~B(25,0.8),所以E(X)=np=25×0.8=20.因为答对每题得4分,所以张强在这次数学测验中的成绩为4X,其成绩的期望值为E(4X)=4E(X)=4×20=80.第35页探究4本例中,利用二项分布的均值公式E(X)=np快速地求出所求的期望值,当n的值越大时,这一公式更加显得威力无比,因此我们要熟练掌握这一公式,并能灵活地运用它,在运用时,需要注意的是,只有随机变量X服从二项分布时,才能运用该公式来求均值.第36页◎思考题4某寻呼台共有客户3000人,若寻呼台准备了100份小礼品,邀请客户在指定时间内来领取.假设任一客户去领奖的概率为4%.问寻呼台能否向每一位客户都发出领奖邀请?若能使每一位领奖人都得到礼品,寻呼台至少应准备多少份礼品?第37页【思路】可能来多少人,是一个随机变量.由于每人是否去领奖,相互间是独立的,因而随机变量服从二项分布,用数学期望来反映平均领奖人数,即能说明是否可行.第38页【解析】设来领奖的人数ξ=k(k=0,1,…,3000),所以P(ξ=k)=C3000k(0.04)k(1-0.04)3000-k,则ξ~B(3000,0.04),那么E(ξ)=3000×0.04=120(人)100(人).答:寻呼台至少应准备120份礼品.第39页课后巩固第40页1.若随机变量X服从二项分布B(4,13),则E(X)的值为()A.43B.83C.133D.89答案A解析E(X)=4×13=43.第41页2.已知η=2ξ+3,且E(ξ)=35,则E(η)=()A.35B.65C.215D.125答案C解析E(η)=E(2ξ+3)=2E(ξ)+3=2×35+3=215.第42页3.两封信随机投入A、B、C三个空邮箱,则A邮箱的信件数ξ的数学期望是()A.13B.23C.43D.34答案B解析由题意知ξ~B(2,13),∴E(ξ)=2×13=23.第43页4.由于电脑故障,使得随机变量ξ的分布列中部分数据丢失(以□代替),其表如下.ξ123456P0.200.100.□50.100.1□0.20则随机变量的数学期望为__________.第44页答案3.5解析随机变量分布列中各概率之和恒为1.故P(ξ=5)=0.15,进而P(ξ=3)=0.25.∴E(ξ)=1×0.20+2×0.10+3×0.25+4×0.10+5×0.15+6×0.20=3.5.∴填3.5.第45页5.某人进行一项试验,若试验成功,则停止试验,若试验失败,再重新试验一次,若试验3次均失败,则放弃试验.若此人每次试验成功的概率为23,求此人试验次数ξ的期望.第46页解析试验次数ξ的可能取值为ξ=1,2,3,且P(ξ=1)=23,P(ξ=2)=13×23=29,P(ξ=3)=13×13×(23+13)=19.所以ξ的分布列为:ξ123P232919∴E(ξ)=139.第47页
本文标题:2019-2020学年高中数学 第二章 概率 2-5-1 离散型随机变量的均值(一)课件 北师大版选
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