2019-2020学年高中数学 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.2 直线、平面平行的判定及

2.2直线、平面平行的判定及其性质第一课时直线与平面、平面与平面平行的判定一、预习教材·问题导入根据以下提纲，预习教材P54～P57，回答下列问题．(1)我们知道门扇的两边是平行的，当门扇绕着一边转动时(未被关闭)，此时门扇转动的一边与门框所在的平面有怎样的关系？为什么？提示：平行．因为门扇绕着一边转动时，另一边始终与门框所在的平面没有公共点．(2)三角板或课本的一条边所在直线与桌面平行，这个三角板或课本所在平面与桌面平行吗？三角板的两条边所在直线分别与桌面平行，情况又如何呢？提示：通过试验得出不一定平行．当三角板的两条边所在直线分别与桌面平行时，这个三角板所在平面与桌面平行．二、归纳总结·核心必记1．直线与平面平行的判定定理直线与平面平行的判定定理文字语言_______一条直线与_________的一条直线_____，则该直线与此平面平行符号语言______，______⇒l∥α图形语言平面外此平面内平行a⊂αl⊄α2.平面与平面平行的判定定理定理平面与平面平行的判定定理文字语言一个平面内的________________与另一个平面平行，则这两个平面平行符号语言_______，_______，_________，_______，________⇒α∥β图形语言两条相交直线a∥βb∥βa∩b＝Pa⊂αb⊂α三、综合迁移·深化思维(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线和这个平面平行吗？提示：根据直线与平面平行的判定定理可知直线与该平面平行或直线在平面内．(2)分别位于两个平行平面内的两条直线有什么位置关系？提示：分别位于两个平行平面内的直线一定无公共点，故它们的位置关系是平行或异面．[思考探究]观察下面图形：门扇的竖直两边是平行的，当门扇绕着一边转动时只要门扇不被关闭，不论转动到什么位置，它能活动的竖直一边所在直线都与固定的竖直边所在平面(墙面)存在不变的位置关系．1上述问题中存在的不变的位置关系是指什么？提示：平行.2若判断直线与平面平行，由上述问题你能得出一种方法吗？提示：可以，只需在平面内找一条与平面外直线平行的直线即可.3怎样理解直线与平面平行的判定定理？名师点津：①判定直线a和平面α平行时，必须具备三个条件：ⅰ直线a在平面α外，即a⊄α；ⅱ直线b在平面α内，即b⊂α；ⅲ两直线a、b平行，即a∥b.这三个条件缺一不可.②体现了转化思想：此定理将证明线面平行的问题转化为证明线线平行.③此定理可简记为：线线平行⇒线面平行.[典例精析]如图，S是平行四边形ABCD平面外一点，M，N分别是SA，BD上的点，且AMSM＝DNNB.求证：MN∥平面SBC.[解]连接AN并延长，交BC于P，连接SP，因为AD∥BC，所以DNNB＝ANNP，又因为AMSM＝DNNB，所以AMSM＝ANNP，所以MN∥SP，又MN平面SBC，SP平面SBC，所以MN∥平面SBC.[类题通法]1．判断或证明线面平行的方法(1)定义法：证明直线与平面无公共点(不易操作)；(2)判定定理法：a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α；(3)排除法：证明直线与平面不相交，直线也不在平面内．2．证明线线平行的方法(1)利用三角形、梯形中位线的性质；(2)利用平行四边形的性质；(3)利用平行线分线段成比例定理．[针对训练]1．下面四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形是()A．①②B．①④C．②③D.③④解析：①正确，取MP的中点O，连接NO，则NO∥AB，可得到直线AB与平面MNP平行；②正确，因为MP∥AB，可得到直线与平面平行；③连接底面两条对角线交于点O，连接OP，很显然AB∥OP，而直线OP不在平面MNP内，所以直线AB与平面MNP是相交关系，不是平行；④直线AB与平面MNP是相交关系，不是平行．故选A.答案：A2．如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是矩形，E，F分别是PB，PC的中点．证明：EF∥平面PAD.证明：在△PBC中，E，F分别是PB，PC的中点，∴EF∥BC.又BC∥AD，∴EF∥AD.∵AD⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，∴EF∥平面PAD.探究点二平面与平面平行的判定[思考探究]观察下面的两个图：(1)若一个平面内有两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行吗？提示：不一定，也可能相交．(2)若一个平面内有无数条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行吗？提示：不一定，也可能相交．(3)怎样理解平面与平面平行的判定定理？名师指津：①判定平面α与平面β平行时，必须具备两个条件：(ⅰ)平面β内两条相交直线a、b，即a⊂α，b⊂α，a∩b＝P.(ⅱ)两条相交直线a、b都与平面β平行，即a∥β，b∥β.(ⅲ)体现了转化思想：此定理将证明面面平行的问题转化为证明线面平行．③此定理可简记为：线面平行⇒面面平行．[典例精析]如图所示，在三棱柱ABC­A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG.[解](1)因为G，H分别是A1B1，A1C1的中点，所以GH是△A1B1C1的中位线，所以GH∥B1C1.又因为B1C1∥BC，所以GH∥BC，所以B，C，H，G四点共面．(2)因为E，F分别是AB，AC的中点，所以EF∥BC.因为EF平面BCHG，BC平面BCHG，所以EF∥平面BCHG.因为A1G∥EB，A1G＝EB，所以四边形A1EBG是平行四边形，所以A1E∥GB.因为A1E平面BCHG，GB平面BCHG，所以A1E∥平面BCHG.因为A1E∩EF＝E，所以平面EFA1∥平面BCHG.[类题通法]判定面面平行的常用方法(1)定义法：两个平面没有公共点；(2)判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面；(3)转化为线线平行：平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行，则α∥β；(4)利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ.[针对训练]3．若结论“如果平面α内有三点到平面β的距离相等，那么α∥β”是正确的，则这三点必须满足的条件是()A．这三点不共线B．这三点不共线且在β的同侧C．这三点不在β的同侧D．这三点不共线且在β的异侧解析：首先这三点必须能确定一个平面，即要求这三点不共线；其次这三点必须在平面β的同侧，确定的平面才会和平面β平行，如果在平面β的异侧，那么确定的平面和平面β相交．答案：B4．如图所示，正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是AB，BC的中点，G为DD1上一点，且D1G∶GD＝1∶2，AC∩BD＝O，求证：平面AGO∥平面D1EF.证明：设EF∩BD＝H，连接D1H，在△DD1H中，因为DODH＝23＝DGDD1，所以GO∥D1H，又GO⊄平面D1EF，D1H⊂平面D1EF，所以GO∥平面D1EF.在△BAO中，因为BE＝EA，BH＝HO，所以EH∥AO，又AO⊄平面D1EF，EH⊂平面D1EF，所以AO∥平面D1EF，又GO∩AO＝O，所以平面AGO∥平面D1EF.[课堂归纳领悟]1．本节课的重点是能应用直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理判断或证明线面平行，面面平行，理解两个定理的含义，并会应用．难点是运用两个定理解题．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)判断或证明直线与平面平行的方法，见探究点一．(2)判断面面平行的常用方法，见探究点二．3．本节课的易错点是运用定理判断或证明平行时条件罗列不全而致错，如探究点一，探究点二．