2019-2020学年高中数学 第二章 参数方程 2-3 参数方程化成普通方程课件 北师大版选修4-

第1页§3参数方程化成普通方程第2页知识探究第3页1.曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式，一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程．2．如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系．例如x＝f(t)把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g(t)，那么x＝f（t）y＝g（t）就是曲线的参数方程．在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致．第4页1.消参数常见方法参数方程化为普通方程的过程就是消参过程，常见方法有三种：(1)代入法：利用解方程的技巧求出参数，然后代入消去参数；(2)三角法：利用三角恒等式消去参数；(3)整体消元法：根据参数方程本身的结构特征，从整体上消去参数．第5页2．将参数方程化为普通方程时要注意两个方面(1)根据参数条件，明确x，y的取值范围；(2)消去参数后，普通方程中变量的取值范围要与原参数方程中变量的取值范围保持一致.第6页课时学案第7页题型一参数方程与普通方程的互化例1化下列曲线的参数方程为普通方程，并指出它是什么曲线．(1)x＝1－2t，y＝3－4t(t是参数)；(2)x＝cosθ＋sinθ，y＝sinθ·cosθ(t是参数)；(3)x＝t1＋2t2，y＝1－2t21＋2t2(t是参数)．第8页【解析】(1)∵x＝1－2t，∴t＝1－x2.①∴x≤1，将①代入y＝3－4t，得2x－y＋1＝0(x≤1)，表示一条射线．(2)x＝cosθ＋sinθ＝2sin(θ＋π4)，∴x∈[－2，2]．x2＝1＋2sinθcosθ将sinθ·cosθ＝y代入，得x2＝1＋2y且|x|≤2，∴是抛物线的一部分．第9页(3)由原方程先求出t＝2xy＋1再代入．或由y2＝1－8t2（1＋2t2）2，再将x2代入．还可用2t＝tanα代换成三角公式，得x＝24sin2α，y＝cos2α.都能得到8x2＋y2＝1且y≠－1，是少一点的椭圆．第10页探究1消去参数的方法一般有三种：①利用解方程的技巧求出参数的表达式，然后用代入法消去参数，如本例中的(1)和(2)；②利用三角恒等式消去参数，如本例中的(2)；③根据参数方程本身的结构特征，选用一些灵活的方法从整体上消去参数，如本例中的(3)．将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x和y取值范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定参数f(t)和g(t)的值域，即x和y的取值范围．第11页思考题1将下列参数方程化成普通方程．(1)x＝t＋1t－1，y＝2tt3－1；(2)x＝2t2－t－3，y＝t2－t－1；(3)x＝pt2＋pt2，y＝pt－pt.第12页【解析】(1)由x＝t＋1t－1，得t＝x＋1x－1代入y＝2tt3－1化简得y＝（x＋1）（x－1）23x2＋1(x≠1)．(2)由x－2y＝t－1，得t＝x－2y＋1，代入y＝t2－t－1化简，得x2－4xy＋4y2＋x－3y－1＝0.(3)将y＝pt－pt的两边平方，得y2＝p2t2＋p2t2－2p2＝p(pt2＋pt2)－2p2.将x＝pt2＋pt2代入上式，得y2＝p(x－2p)．第13页题型二普通方程与参数方程互化的应用例2(2013·江苏)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x＝t＋1，y＝2t(t为参数)，曲线C的参数方程为x＝2tan2θ，y＝2tanθ(θ为参数)．试求直线l和曲线C的普通方程，并求出它们的公共点的坐标．第14页【解析】因为直线l的参数方程为x＝t＋1，y＝2t(t为参数)，由x＝t＋1，得t＝x－1，代入y＝2t，得到直线l的普通方程为y＝2(x－1)．同理得到曲线C的普通方程为y2＝2x.联立方程组y＝2（x－1），y2＝2x，解得公共点的坐标为(2，2)，(12，－1)．第15页探究2将参数方程转化为普通方程是解决此类问题的关键．第16页思考题2(2016·山东潍坊质检)设曲线C的参数方程为x＝2＋3cosθ，y＝－1＋3sinθ(θ为参数)，直线l的方程为x－3y＋2＝0，则曲线C上到直线l距离为71010的点的个数为()A．1B．2C．3D．4第17页【解析】因为曲线C的参数方程为x＝2＋3cosθ，y＝－1＋3sinθ(θ为参数)，所以(x－2)2＋(y＋1)2＝9，表示圆心为(2，－1)，半径为3的圆，又直线l的方程为x－3y＋2＝0，第18页所以圆心(2，－1)到直线l的距离d＝|2＋3＋2|1＋9＝71010.又因为710103，1410103，所以有2个点满足题意．故选B.【答案】B第19页题型三极坐标与参数方程的综合应用例3(2015·福建)在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为x＝1＋3cost，y＝－2＋3sint(t为参数)．在极坐标系(与平面直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴)中，直线l的方程为2ρsin(θ－π4)＝m(m∈R)．(1)求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程；(2)设圆心C到直线l的距离等于2，求m的值．第20页【解析】(1)消去参数t，得到圆C的普通方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝9.由2ρsin(θ－π4)＝m，得ρsinθ－ρcosθ－m＝0.所以直线l的直角坐标方程为x－y＋m＝0.(2)依题意，圆心C到直线l的距离等于2，即|1－（－2）＋m|2＝2，解得m＝－3±22.第21页思考题3(2015·陕西)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x＝3＋12t，y＝32t(t为参数)．以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C的极坐标方程为ρ＝23sinθ.(1)写出⊙C的直角坐标方程；(2)P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标．第22页【解析】(1)由ρ＝23sinθ，得ρ2＝23ρsinθ，从而有x2＋y2＝23y，所以x2＋(y－3)2＝3.(2)设P(3＋12t，32t)，又C(0，3)，则|PC|＝（3＋12t）2＋（32t－3）2＝t2＋12，故当t＝0时，|PC|取得最小值，此时，P点的直角坐标为(3，0)．第23页课后巩固第24页1．将参数方程x＝sinφ，y＝cos2φ(φ为参数)化为普通方程是()A．y＝1－2x2B．y＝1－2x2(－1≤x≤1)C．y＝2x2－1D．y＝2x2－1(－1≤x≤1)第25页答案B解析依题意：y＝cos2φ＝1－2sin2φ＝1－2x2，又x＝sinφ∈[－1，1]，所以y＝1－2x2(－1≤x≤1)．故选B.第26页2．(2016·河南新乡模拟)曲线x＝cosφ，y＝1＋sinφ(φ为参数)的极坐标方程为()A．ρ＝sinθB．ρsin＝sin2θC．ρ＝2sinθD．ρ＝2cosθ第27页答案C解析曲线x＝cosφ，y＝1＋sinφ(φ为参数)的普通方程为x2＋(y－1)2＝1，即x2＋y2＝2y.化为极坐标方程为ρ＝2sinθ.第28页3．曲线x＝2cosθ－1，y＝2sinθ＋2(θ为参数)的一条对称轴的方程为()A．y＝0B．x＋y＝0C．x－y＝0D．2x＋y＝0答案D第29页4．已知F是曲线x＝22cosθ，y＝1＋cos2θ(θ∈R)的焦点，A(1，0)，则|AF|的值等于________．第30页答案2解析曲线的参数方程为x＝22cosθ，y＝1＋cos2θ，即x＝22cosθ，y＝2cos2θ化为普通方程为x2＝4y，焦点F(0，1)，由于A(1，0)，则|AF|＝2.第31页5．将下列参数方程化为普通方程：(1)x＝3＋cosθ，y＝2－sinθ(θ为参数)；(2)x＝2cost，y＝2sint(t为参数，π≤t≤2π)．第32页解析(1)由已知cosθ＝x－3，sinθ＝2－y，∴(x－3)2＋(y－2)2＝1.(2)∵π≤t≤2π，∴－2≤x≤2，－2≤y≤0.∴普通方程为x2＋y2＝4(－2≤x≤2，－2≤y≤0)即下半圆．第33页