2019-2020学年高中数学 第二章 变化率与导数 3 计算导数课件 北师大版选修2-2

[自主梳理]一、计算函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的步骤1．通过自变量在x0处的改变量Δx，确定函数在x0处的改变量：Δy＝________________.2．确定函数y＝f(x)在x0处的平均变化率：ΔyΔx＝________________.3．当Δx趋于0时，得到导数：f′(x0)＝________________________.f(x0＋Δx)－f(x0)fx0＋Δx－fx0Δx0limxfx0＋Δx－fx0Δx二、导函数一般地，如果一个函数f(x)在区间(a，b)上的每一点x处都有导数，导数值记为f′(x)：f′(x)＝____________________，则f′(x)是关于x的函数，称f′(x)为f(x)的________，通常也简称为________．0limxfx＋Δx－fxΔx导函数导数三、导数公式表(其中三角函数的自变量单位是弧度)函数导函数y＝c(c是常数)y′＝0y＝xα(α是实数)y′＝αxα－1y＝ax(a0，a≠1)y′＝axlna特别地(ex)′＝exy＝logax(a0，a≠1)y′＝1xlna特别地(lnx)′＝1x函数导函数y＝logax(a0，a≠1)y′＝1xlna特别地(lnx)′＝1xy＝sinxy′＝cosxy＝cosxy′＝－sinxy＝tanxy′＝1cos2xy＝cotxy′＝－1sin2x[双基自测]1．若f(x)＝3x，则f′(x)等于()A.13x2B.133x2C.3x23D.13xx解析：f(x)＝x13，∴f′(x)＝13x13－1＝13x－23＝133x2.答案：B2．f(x)＝0的导数是()A．0B．1C．不存在D．不确定解析：常数函数的导数为0，故选A.答案：A3．若f(x)＝cosπ4，则f′(x)＝()A．－sinπ4B．sinπ4C．0D．－cosπ4解析：f(x)＝cosπ4＝22，故f′(x)＝0.答案：C4．给出下列结论：①若y＝1x3，则y′＝－3x4；②若y＝3x，则y′＝133x；③若y＝1x2，则y′＝－2x－3；④若y＝f(x)＝3x，则f′(1)＝3；⑤若y＝cosx，则y′＝sinx；⑥若y＝sinx，则y′＝cosx.其中正确的个数是()A．3B．4C．5D．6解析：由求导公式可知，①③④⑥正确．答案：B5．若函数f(x)＝xn在x＝2处的导数值为12，则n＝________.解析：f′(2)＝n·2n－1＝12，所以n＝3.3探究一利用导函数定义求导数[例1]求函数f(x)＝x2＋5x在x＝3处的导数和它的导函数．[解析]f′(x)＝0limxx＋Δx2＋5x＋Δx－x2＋5xΔx＝0limx2Δx·x＋Δx2＋5ΔxΔx＝0limx(2x＋Δx＋5)＝2x＋5.∴f′(3)＝2×3＋5＝11.利用定义求函数y＝f(x)的导函数的一般步骤：(1)确定函数y＝f(x)在其对应区间上每一点是否都有导数；(2)计算Δy＝f(x＋Δx)－f(x)；(3)当Δx趋于0时，得到导函数f′(x)＝0limxfx＋Δx－fxΔx.1．利用导数定义求f(x)＝1的导函数，并求f′(2)，f′(3)．解析：f′(x)＝f(x＋Δx)－f(x)＝1－1＝0，ΔyΔx＝0.Δx趋于0时，ΔyΔx趋于0.所以f′(x)＝0.所以有f′(2)＝0，f′(3)＝0.探究二利用导数公式求导数[例2]求下列函数的导数：(1)y＝x8；(2)y＝1x3；(3)y＝log2x.[解析](1)y′＝(x8)′＝8x7.(2)y′＝(1x3)′＝(x－3)′＝－3x－3－1＝－3x－4.(3)y′＝(log2x)′＝1xln2.1．用导数的定义求导是求导数的基本方法，但运算较烦琐．利用常用函数的导数公式，可以简化求导过程，降低运算难度．2．利用导数公式求导，应根据所给问题的特征，恰当地选择求导公式将题中函数的结构进行调整．如将根式、分式转化为指数式，利用幂函数的求导公式求导．2．求下列函数的导数：(1)y＝32x；(2)y＝31x；(3)y＝2e3；(4)y＝2cosx.解析：(1)y′＝(32x)′＝3212x.(2)y′＝(31x)′＝(x－13)′＝－13x－43.(3)y′＝(2e3)′＝0.(4)y′＝(2cosx)′＝2(cosx)′＝－2sinx.探究三导数的综合应用[例3]点P是曲线y＝ex上任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离．[解析]根据题意设平行于直线y＝x的直线与曲线y＝ex相切于点(x0，y0)，该切点即为与y＝x距离最近的点，如图．则在点(x0，y0)处的切线斜率为1，即f′(x0)＝1.∵y′＝(ex)′＝ex，∴ex0＝1，得x0＝0，代入y＝ex，得y0＝1，即P(0,1)．利用点到直线的距离公式得最小距离为22.利用基本初等函数的求导公式，结合导数的几何意义可以解决一些与距离、面积相关的最值问题．解题的关键是将问题转化为切点或切线的相关问题，利用导数求解．3．已知直线y＝kx是y＝lnx的一条切线，求k的值．解析：设切点坐标为(x0，y0)．∵y＝lnx，∴y′＝1x.∴f′(x0)＝1x0＝k.∵点(x0，y0)既在直线y＝kx上，也在曲线y＝lnx上，∴y0＝kx0，①y0＝lnx0，②把k＝1x0代入①式得y0＝1，再把y0＝1代入②式求出x0＝e.∴k＝1x0＝1e.利用分类讨论思想处理两曲线的公切线问题[例4]求曲线C1：y＝x2与曲线C2：y＝x3的公切线的斜率．[解析](1)当公切线切点相同时，对C1，C2分别求导得y1′＝2x，y2′＝3x2.令2x＝3x2，解得x＝0或x＝23.①当x＝0时，2x＝3x2＝0；②当x＝23时，2x＝3x2＝43.此时C1的切线方程为y－49＝43x－23，而C2的切线方程为y－827＝43x－23.显然两者不是同一条切线，所以x＝23舍去．(2)当公切线切点不同时，在曲线C1，C2上分别任取一点A(x1，y1)、B(x2，y2)，则有y1′＝2x1，y2′＝3x22，因为AB的斜率为kAB＝x21－x32x1－x2，所以有2x1＝3x22＝x21－x32x1－x2.由2x1＝3x22，得x1＝32x22，代入3x22＝x21－x32x1－x2中，解得x2＝89，x1＝3227.此时公切线的斜率为2x1＝6427.综上所述，曲线C1，C2有两条公切线，其斜率分别为0，6427.[感悟提高]解答此类问题，应考虑切点是否相同，从而应分类讨论：切点同与不同两种情况．对于切点相同时，应先求出两函数的导数，令两导数相等，求出切点坐标，写出切线方程、并检验两方程是否相同；对于切点不同时，可设出两切点A(x1，y1)，B(x2，y2)，根据kC1＝kC2＝kAB，列出关于x1，x2的方程(组)，解出x1，x2，求出公切线的斜率．