2019-2020学年高中数学 第二章 变化率与导数 2 导数的概念及其几何意义课件 北师大版选修2

[自主梳理]一、导数的概念当Δx趋于0时，如果平均变化率趋于一个________，那么这个值就是函数y＝f(x)在________的瞬时变化率．在数学中，称瞬时变化率为函数y＝f(x)在__________的导数，通常用符号____________表示，记作f′(x0)＝limx1→x0fx1－fx0x1－x0＝______________________.固定的值x0x0点f′(x0)limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx二、导数的几何意义函数y＝f(x)在x0处的导数，是曲线y＝f(x)在点__________处的切线的________．函数y＝f(x)在点(x0，f(x0))处切线的斜率反映了导数的几何意义．(x0，f(x0))斜率1．设函数f(x)＝ax3＋2，若f′(－1)＝3，则a＝()A．－1B.12C．1D.13解析：因为f′(－1)＝0limxf－1＋Δx－f－1Δx＝0limx[a(Δx)2－3aΔx＋3a]＝3a＝3，所以a＝1.答案：C2．设f(x)在x＝1处有导数且满足0limxf1－f1－2x2x＝－1，则过曲线y＝f(x)上点(1，f(1))处的切线斜率为()A．2B．－1C．1D．1解析：0limxf1－f1－2x2x＝0limxf1－2x－f1－2x＝20limxf[1＋－2x]－f1－2x＝f′(1)＝－1.答案：B3．已知f(x)＝2x2－x，则f′(x)＝__________，f′(1)＝________.解析：因为Δy＝2(x＋Δx)2－(x＋Δx)－(2x2－x)＝4xΔx－Δx＋2(Δx)2，所以ΔyΔx＝4xΔx－Δx＋2Δx2Δx＝4x－1＋2Δx.故f′(x)＝0limxΔyΔx＝0limx(4x－1＋2Δx)＝4x－1.所以f′(1)＝4×1－1＝3.34x－14．曲线f(x)＝13x3－2在－1，－73处切线的倾斜角为________．解析：因为k＝0limxf－1＋Δx－f－1Δx＝0limx13－1＋Δx3－2－13－13－2Δx＝0limx－12Δx－Δx2＋13Δx3Δx＝0limx1－Δx＋13Δx2＝1，所以直线的倾斜角为45°.45°探究一求函数在某点处的导数[例1]求函数y＝f(x)＝4x2在x＝2处的导数．[解析]∵Δy＝4Δx＋22－422＝4Δx＋22－1＝－Δx2＋4ΔxΔx＋22，∴ΔyΔx＝－Δx＋4Δx＋22.∴f′(2)＝0limxΔyΔx＝－0limxΔx＋4Δx＋22＝－1.由导数的定义可知，求函数y＝f(x)在点x0处的导数的步骤(1)求函数值的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；(2)求平均变化率ΔyΔx＝fx0＋Δx－fx0Δx；(3)取极限，得导数f′(x0)＝0limxΔyΔx.1．求函数f(x)＝1x在x＝1处的导数．解析：∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝11＋Δx－1＝1－1＋Δx1＋Δx＝－Δx1＋Δx1＋1＋Δx，∴ΔyΔx＝－11＋Δx1＋1＋Δx.当Δx无限趋近于0时，1＋Δx无限趋近于1，∴ΔyΔx无限趋近于－12，∴f′(1)＝－12.探究二求曲线的切线方程[例2]求曲线y＝2x2＋1在点P(1,3)处的切线方程．[解析]曲线y＝f(x)＝2x2＋1在点P(1,3)处的斜率为：k＝0limxf1＋Δx－f1Δx＝0limx21＋Δx2＋1－3Δx＝0limx2Δx2＋4ΔxΔx＝4.∴切线方程为y－3＝4(x－1)，即4x－y－1＝0.求曲线在点(x0，f(x0))处的切线方程的步骤：(1)求出函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)；(2)根据直线的点斜式方程，得切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)．2．已知f(x)＝x3在点P处的切线斜率为3，求点P的坐标及切线方程．解析：设点P的坐标为(x0，x30)，∴斜率k＝0limxfx0＋Δx－fx0Δx＝0limxx0＋Δx3－x30Δx＝0limx3x20Δx＋3x0Δx2＋Δx3Δx＝0limx[3x20＋3x0Δx＋(Δx)2]＝3x20.∴3x20＝3，x0＝±1.∴P点的坐标是(1,1)或(－1，－1)，则切线方程为y－1＝3(x－1)或y＋1＝3(x＋1)，即为3x－y－2＝0或3x－y＋2＝0.探究三导数几何意义的综合应用[例3]已知抛物线y＝2x2＋1，求：(1)抛物线上哪一点处的切线的倾斜角为45°？(2)抛物线上哪一点处的切线平行于直线4x－y－2＝0?(3)抛物线上哪一点处的切线垂直于直线x＋8y－3＝0?[解析]设点的坐标为(x0，y0)，则Δy＝2(x0＋Δx)2＋1－2x20－1＝4x0·Δx＋2(Δx)2.∴ΔyΔx＝4x0＋2Δx.当Δx趋于零时，ΔyΔx趋于4x0.即f′(x0)＝4x0.(1)∵抛物线的切线的倾斜角为45°，∴切线的斜率为tan45°＝1，即f′(x0)＝4x0＝1，得x0＝14，该点为14，98.(2)∵抛物线的切线平行于直线4x－y－2＝0，∴切线的斜率为4，即f′(x0)＝4x0＝4，得x0＝1，该点为(1,3)．(3)∵抛物线的切线与直线x＋8y－3＝0垂直，∴切线的斜率为8，即f′(x0)＝4x0＝8，得x0＝2，该点为(2,9)．解答此类题目时，所给的直线的倾斜角或斜率是解题的关键，由这些信息得知函数在某点处的导数、进而可求此点的横坐标．解题时注意解析几何中直线方程知识的应用，如直线的倾斜角与斜率的关系，直线的平行、垂直等．3．求经过点(2,0)且与曲线y＝1x相切的直线方程．解析：可以验证点(2,0)不在曲线上，设切点为P(x0，y0)．由f′(x0)＝0limx1x0＋Δx－1x0Δx＝0limx－ΔxΔx·x0＋Δx·x0＝0limx－1x0x0＋Δx＝－1x20.故所求直线方程为y－y0＝－1x20(x－x0)．由点(2,0)在所求的直线上，得x20y0＝2－x0，再由P(x0，y0)在曲线y＝1x上，得x0y0＝1，联立可解得x0＝1，y0＝1，所以直线方程为x＋y－2＝0.因对导数的概念理解不透彻而致误[例4]已知f(x)在x＝x0处的导数为4，则0limxfx0＋2Δx－fx0Δx＝________.[答案]8[解析]0limxfx0＋2Δx－fx0Δx＝0limxfx0＋2Δx－fx02Δx×2＝20limxfx0＋2Δx－fx02Δx＝2f′(x0)＝2×4＝8.[错因与防范]本例易因对导数概念不理解，乱套用定义致错．注意本题分子中x0的增量是2Δx，即(x0＋2Δx)－x0＝2Δx，解决此类问题关键是变形分母中x0的增量，使与分子中的增量一致(包括符号)，归结为c0limxfx0＋kΔx－fx0kΔx(c，k为常数且kc≠0)的形式．