2019-2020学年高中数学 第5章 数系的扩充与复数的引入 2 2.1 复数的加法与减法 2.2

第五章数系的扩充与复数的引入§2复数的四则运算2.1复数的加法与减法2.2复数的乘法与除法学习目标核心素养1．理解共轭复数的概念．(重点)2．掌握复数的四则运算法则与运算律．(重、难点)1．借助坐标系理解共轭复数，提升学生的直观想象的核心素养.2．通过复数代数形式的运算的学习，培养学生的数学运算的核心素养.自主预习探新知1．复数的加法与减法(1)复数的加法设a＋bi(a，b∈R)和c＋di(c，d∈R)是任意两个复数，定义复数的加法如下：(a＋bi)＋(c＋di)＝.(2)复数的减法设a＋bi(a，b∈R)和c＋di(c，d∈R)是任意两个复数，定义复数的减法如下：(a＋bi)－(c＋di)＝.(a＋c)＋(b＋d)i(a－c)＋(b－d)i2．复数的乘法与除法(1)复数的乘法法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝.(2)复数乘法的运算律对任意复数z1，z2，z3∈C，有交换律z1·z2＝_______结合律(z1·z2)·z3＝________乘法对加法的分配律z1(z2＋z3)＝________(ac－bd)＋(ad＋bc)iz2·z1z1·(z2·z3)z1z2＋z1z32．复数的乘法与除法(3)共轭复数如果两个复数的，那么这样的两个复数叫作互为共轭复数．复数z的共轭复数用z来表示，即z＝a＋bi，则z＝.(4)复数的除法法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(c＋di≠0)，则z1z2＝a＋bic＋di＝______________.实部相等，虚部互为相反数a－biac＋bdc2＋d2＋bc－adc2＋d2i1．复数2＋i1－2i的共轭复数是()A．－35IB．35iC．－ID．iD[2＋i1－2i＝2＋i1＋2i1－2i1＋2i＝5i5＝i.]2．复数z1＝2－12i，z2＝12－2i，则z1＋z2等于()A．0B.32＋52iC.52－52iD.52－32iC[z1＋z2＝2＋12＋－12－2i＝52－52i.]3．(1＋i)2－2－i2＋i＝________.－35＋145i[∵(1＋i)2－2－i2＋i＝2i－2－i25＝－35＋145i.]合作探究提素养复数的加法与减法运算【例1】(1)13＋12i＋(2－i)－43－32i＝________.(2)已知复数z满足z＋1－3i＝5－2i，求z.(3)已知复数z满足|z|＋z＝1＋3i，求z.思路探究：(1)根据复数的加法与减法法则计算．(2)设z＝x＋yi(x，y∈R)，根据复数相等计算或把等式看作z的方程，通过移项求解．(3)设z＝x＋yi(x，y∈R)，则|z|＝x2＋y2，再根据复数相等求解．(1)1＋i[13＋12i＋(2－i)－43－32i＝13＋2－43＋12－1＋32i＝1＋i.](2)[解]法一：设z＝x＋yi(x，y∈R)，因为z＋1－3i＝5－2i，所以x＋yi＋(1－3i)＝5－2i，即x＋1＝5且y－3＝－2，解得x＝4，y＝1，所以z＝4＋i.法二：因为z＋1－3i＝5－2i，所以z＝(5－2i)－(1－3i)＝4＋i.(3)设z＝x＋yi(x，y∈R)，则|z|＝x2＋y2，又|z|＋z＝1＋3i，所以x2＋y2＋x＋yi＝1＋3i，由复数相等得x2＋y2＋x＝1，y＝3，解得x＝－4，y＝3，所以z＝－4＋3i.1．复数加法与减法运算法则的记忆(1)复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减．(2)把i看作一个字母，类比多项式加、减法中的合并同类项．2．当一个等式中同时含有|z|与z时，一般要用待定系数法，设z＝a＋bi(a，b∈R)．1．(1)复数(1－i)－(2＋i)＋3i等于()A．－1＋iB．1－iC．iD．－i(2)已知|z|＝3，且z＋3i是纯虚数，则z＝________.(1)A(2)3i[(1)(1－i)－(2＋i)＋3i＝(1－2)＋(－i－i＋3i)＝－1＋i.故选A.(2)设z＝x＋yi(x，y∈R)，∴x2＋y2＝3①，且z＋3i＝x＋yi＋3i＝x＋(y＋3)i是纯虚数，则x＝0，y＋3≠0，由①可得y＝3.∴z＝3i.]复数的乘法与除法运算【例2】已知复数z1＝1＋i，z2＝3－2i.试计算：(1)z1·z2和z41；(2)z1÷z2和z22÷z1．思路探究：按照复数的乘法和除法法则进行．[解](1)z1·z2＝3－2i＋3i－2i2＝5＋i.z41＝[(1＋i)2]2＝(2i)2＝4i2＝－4.(2)z1÷z2＝1＋i3－2i＝1＋i3＋2i3－2i3＋2i＝1＋5i13＝113＋513i.z22÷z1＝3－2i21＋i＝5－12i1＋i＝5－12i1－i1＋i1－i＝－7－17i2＝－72－172i.复数运算中的几点结论1．a＋bic＋di∈R⇒ac＝bd(cd≠0)⇒ad－bc＝0；a＋bic＋di为纯虚数⇒ac＋bd＝0且bc－ad≠0.2．(a＋bi)(c＋di)∈R⇔a＋bic－di∈R⇒ac＝b－d(cd≠0)⇒ad＋bc＝0；(a＋bi)(c＋di)为纯虚数⇔a＋bic－di为纯虚数⇒ac－bd＝0且ad＋bc≠0.可以类比向量共线(实数)与垂直(纯虚数)来记忆上述两个结论．注意：以上结论中：c＋di≠0.2．(1)满足z＋iz＝i(i为虚数单位)的复数z＝()A．12＋12iB．12－12iC．－12＋12iD．－12－12i(2)若复数z满足z(1＋i)＝2i(i为虚数单位)，则|z|＝()A．1B．2C．2D．3(1)B(2)C[(1)∵z＋iz＝i，∴z＋i＝zi，∴i＝z(i－1)．∴z＝ii－1＝i－1－i－1＋i－1－i＝1－i2＝12－12i.(2)∵z(1＋i)＝2i，∴z＝2i1＋i＝2i1－i2＝1＋i，∴|z|＝12＋12＝2.]共轭复数[探究问题]1．两个共轭复数的和一定是实数吗？两个共轭复数的差一定是纯虚数吗？[提示]若z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＝a－bi，则z＋z＝2a∈R.因此，和一定是实数；而z－z＝2bi.当b＝0时，两共轭复数的差是实数，而当b≠0时，两共轭复数的差是纯虚数．2．若z1与z2是共轭复数，则|z1|与|z2|之间有什么关系？[提示]|z1|＝|z2|.【例3】已知z∈C，z为z的共轭复数，若z·z－3iz＝1＋3i，求z.思路探究：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＝a－bi.代入所给等式，利用复数的运算及复数相等的充要条件转化为方程组求解．[解]设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＝a－bi(a，b∈R)，由题意得(a＋bi)(a－bi)－3i(a－bi)＝1＋3i，即a2＋b2－3b－3ai＝1＋3i，则有a2＋b2－3b＝1，－3a＝3，解得a＝－1，b＝0或a＝－1，b＝3.所以z＝－1或z＝－1＋3i.解此类题的常规思路为：设z＝a＋bia，b∈R，则z＝a－bi，代入所给等式，利用复数相等的充要条件，转化为方程组求解.3．已知复数z1＝(－1＋i)(1＋bi)，z2＝a＋2i1－i，其中a，b∈R.若z1与z2互为共轭复数，求a，b的值．[解]z1＝(－1＋i)(1＋bi)＝－1－bi＋i－b＝(－b－1)＋(1－b)i，z2＝a＋2i1－i＝a＋2i1＋i1－i1＋i＝a＋ai＋2i－22＝a－22＋a＋22i，由于z1和z2互为共轭复数，所以有a－22＝－b－1，a＋22＝－1－b，解得a＝－2，b＝1.1．复数的加法法则可以推广到多个复数相加的情形：各复数的实部分别相加，虚部分别相加．2．复数减法的几何意义也可叙述为：连接两个复数对应的向量的终点，方向指向被减向量的终点的向量，就是两个复数的差所对应的向量．3．实数集内乘法、乘方的一些重要结论和运算法则在复数集内不一定成立，如：(1)当z∈R时，有|z|2＝z2；当z∈C时，有|z|2∈R，而z2∈C，故|z|2和z2不能进行比较．例如，当z＝1＋i时，|z|2＝2，z2＝2i，此时2和2i不能进行比较．(2)当m，n∈R时，有m2＋n2＝0⇔m＝n＝0；当z1，z2∈C时，z21＋z22＝0D/⇒z1＝z2＝0，但z1＝z2＝0⇒z21＋z22＝0.4．复数除法的一般做法：通常先把(a＋bi)÷(c＋di)写成a＋bic＋di的形式，再把分子与分母同乘分母的共轭复数，最后将结果化简，即(a＋bi)÷(c＋di)＝a＋bic＋dia＋bic－dic＋dic－diac＋bd＋bc－adic2＋d2ac＋bdc2＋d2＋bc－adc2＋d2i.5．复数运算常见小结论(1)(1＋i)2＝2i⇔2i1＋i＝1＋i；(2)(1－i)2＝－2i⇔－2i1－i＝1－i⇔2i1－i＝－1＋i；(3)(1＋i)(1－i)＝2⇔21＋i＝1－i⇔21－i＝1＋i；(4)1＋i1－i＝i⇔1－i1＋i＝－i；(5)i4n＋1＝i；i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1(n∈Z)．6．常用公式(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2；(a±bi)2＝a2－b2±2abi；(a±bi)3＝a3－3ab2±(3a2b－b3)i.7．共轭复数的运算小结论(1)若z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＋z＝2a；(2)若z＝a＋bi(a，b∈R)，则z－z＝2bi；(3)若z＝a＋bi(a，b∈R)，则z·z＝|z|2＝|z|2＝a2＋b2，z2＝(z)2；(4)对于复数z1，z2，z1±z2＝z1±z2，z1·z2＝z1·z2，＝z1z2(z2≠0)．当堂达标固双基1．(2019·全国卷Ⅰ)设z＝－3＋2i，则在复平面z对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限C[由z＝－3＋2i，∴z＝－3－2i，z在复平面内对应的点为(－3，－2)，在第三象限，故选C.]2．设复数z1＝1＋i，z2＝x＋2i(x∈R)，若z1z2∈R，则x＝______.－2[∵z1＝1＋i，z2＝x＋2i(x∈R)，∴z1z2＝(1＋i)(x＋2i)＝(x－2)＋(x＋2)i.∵z1z2∈R，∴x＋2＝0，即x＝－2．]3．若21－i＝a＋bi(i为虚数单位，a，b∈R)，则a＋b＝______.2[因为21－i＝21＋i1－i1＋i＝1＋i，所以1＋i＝a＋bi，所以a＝1，b＝1，所以a＋b＝2．]4．已知复数z满足|z|＝5，且(1－2i)z是实数，求z.[解]设z＝a＋bi(a，b∈R)，则(1－2i)z＝(1－2i)·(a＋bi)＝(a＋2b)＋(b－2a)i，又因为(1－2i)z是实数，所以b－2a＝0，即b＝2a，又|z|＝5，所以a2＋b2＝5，解得a＝±1，b＝±2，∴z＝1＋2i或－1－2i，∴z＝1－2i或－1＋2i，∴z＝±(1－2i)．