2019-2020学年高中数学 第4章 圆与方程 4.1.2 圆的一般方程课件 新人教A版必修2

第四章圆与方程4.1圆的方程4.1.2圆的一般方程学习目标核心素养1.正确理解圆的方程的形式及特点，会由一般式求圆心和半径．(重点)2．会在不同条件下求圆的一般式方程．(重点)1.通过圆的一般方程的推导，提升逻辑推理、数学运算的数学素养．2.通过学习圆的一般方程的应用，培养数学运算的数学素养.自主预习探新知圆的一般方程(1)圆的一般方程的概念：当____________________时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程．D2＋E2－4F＞0(2)圆的一般方程对应的圆心和半径：圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)表示的圆的圆心为_____________，半径长为_________________．－D2，－E212D2＋E2－4F[提示]不是，只有当D2＋E2－4F0时才表示圆．思考：所有形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程都表示圆吗？1．圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是()A．(2，3)B．(－2，3)C．(－2，－3)D．(2，－3)D[－D2＝2，－E2＝－3，∴圆心坐标是(2，－3)．]2．方程x2＋y2－x＋y＋k＝0表示一个圆，则实数k的取值范围为()A．k≤12B．k＝12C．k≥12D．k12D[方程表示圆⇔1＋1－4k0⇔k12.]3．经过圆x2＋2x＋y2＝0的圆心，且与直线x＋y＝0垂直的直线方程是()A．x＋y＋1＝0B．x＋y－1＝0C．x－y－1＝0D．x－y＋1＝0D[由题意知圆心坐标是(－1，0)，故所求直线方程为y＝x＋1，即x－y＋1＝0.]4．圆x2＋y2＋2x－4y＋m＝0的直径为3，则m的值为________．114[因(x＋1)2＋(y－2)2＝5－m，∴r＝5－m＝32，∴m＝114.]合作探究提素养圆的一般方程的概念【例1】(1)若x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0表示圆，则实数k的取值范围是()A．RB．(－∞，1)C．(－∞，1]D．[1，＋∞)(2)已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．(1)B(2)(－2，－4)5[(1)由方程x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0可得(x－2)2＋(y＋1)2＝5－5k，此方程表示圆，则5－5k0，解得k1.故实数k的取值范围是(－∞，1)．故选B.(2)由题可得a2＝a＋2，解得a＝－1或a＝2.当a＝－1时，方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，表示圆，故圆心为(－2，－4)，半径为5.当a＝2时，方程不表示圆．]形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程，判定其是否表示圆时可有如下两种方法：(1)由圆的一般方程的定义令D2＋E2－4F＞0，成立则表示圆，否则不表示圆．(2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解，应用这两种方法时，要注意所给方程是不是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0这种标准形式，若不是，则要化为这种形式再求解．1．下列方程能否表示圆？若能表示圆，求出圆心和半径．(1)2x2＋y2－7y＋5＝0；(2)x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0；(3)x2＋y2－2x－4y＋10＝0；(4)2x2＋2y2－5x＝0.[解](1)∵方程2x2＋y2－7y＋5＝0中x2与y2的系数不相同，∴它不能表示圆．(2)∵方程x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0中含有xy这样的项．∴它不能表示圆．(3)方程x2＋y2－2x－4y＋10＝0化为(x－1)2＋(y－2)2＝－5，∴它不能表示圆．(4)方程2x2＋2y2－5x＝0化为x－542＋y2＝542，∴它表示以54，0为圆心，54为半径长的圆．求圆的一般方程【例2】已知△ABC的三个顶点为A(1，4)，B(－2，3)，C(4，－5)，求△ABC的外接圆方程、外心坐标和外接圆半径．[解]法一：设△ABC的外接圆方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，∵A，B，C在圆上，∴1＋16＋D＋4E＋F＝0，4＋9－2D＋3E＋F＝0，16＋25＋4D－5E＋F＝0，∴D＝－2，E＝2，F＝－23，∴△ABC的外接圆方程为x2＋y2－2x＋2y－23＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝25.∴外心坐标为(1，－1)，外接圆半径为5.法二：∵kAB＝4－31＋2＝13，kAC＝4＋51－4＝－3，∴kAB·kAC＝－1，∴AB⊥AC.∴△ABC是以角A为直角的直角三角形，∴外心是线段BC的中点，坐标为(1，－1)，r＝12|BC|＝5.∴外接圆方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝25.待定系数法求圆的方程的解题策略：(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r.(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D、E、F.2．求经过点A(－2，－4)且与直线x＋3y－26＝0相切于点B(8，6)的圆的方程．[解]设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则圆心坐标为－D2，－E2.∵圆与x＋3y－26＝0相切于点B，∴6＋E28＋D2·－13＝－1，即E－3D－36＝0.①∵(－2，－4)，(8，6)在圆上，∴2D＋4E－F－20＝0，②8D＋6E＋F＋100＝0.③联立①②③，解得D＝－11，E＝3，F＝－30，故所求圆的方程为x2＋y2－11x＋3y－30＝0.与圆有关的轨迹方程问题[探究问题]1．已知点A(－1，0),B(1，0)，则线段AB的中点的轨迹是什么？其方程又是什么？[提示]线段AB的中点轨迹即为线段AB的垂直平分线，其方程为x＝0.2．已知动点M到点(8，0)的距离等于点M到点(2，0)的距离的2倍，你能求出点M的轨迹方程吗？[提示]设M(x，y)，由题意有（x－8）2＋y2＝2（x－2）2＋y2，整理得点M的轨迹方程为x2＋y2＝16.【例3】点A(2，0)是圆x2＋y2＝4上的定点，点B(1，1)是圆内一点，P，Q为圆上的动点．(1)求线段AP的中点M的轨迹方程；(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ的中点N的轨迹方程．思路探究：(1)设点P坐标→用P，A坐标表示点M坐标→求轨迹方程(2)设点N坐标→探求点N的几何条件→建方程→化简得轨迹方程[解](1)设线段AP的中点为M(x，y)，由中点公式得点P坐标为P(2x－2，2y)．∵点P在圆x2＋y2＝4上，∴(2x－2)2＋(2y)2＝4，故线段AP的中点M的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.(2)设线段PQ的中点为N(x，y)，在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|.设O为坐标原点，连接ON(图略)，则ON⊥PQ，∴|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，∴x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4，故线段PQ的中点N的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.求轨迹方程的一般步骤：(1)建立适当坐标系，设出动点M的坐标(x，y)；(2)列出点M满足条件的集合；(3)用坐标表示上述条件，列出方程；(4)将上述方程化简；(5)证明化简后的以方程的解为坐标的点都是轨迹上的点．3．已知△ABC的边AB长为4，若BC边上的中线为定长3，求顶点C的轨迹方程．[解]以直线AB为x轴，AB的中垂线为y轴建立坐标系(如图)，则A(－2，0)，B(2，0)，设C(x，y)，BC中点D(x0，y0)．∴2＋x2＝x0，0＋y2＝y0.①∵|AD|＝3，∴(x0＋2)2＋y20＝9.②将①代入②，整理得(x＋6)2＋y2＝36.∵点C不能在x轴上，∴y≠0.综上，点C的轨迹是以(－6，0)为圆心，6为半径的圆，去掉(－12，0)和(0，0)两点．轨迹方程为(x＋6)2＋y2＝36(y≠0)．1．圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，来源于圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2.在应用时，注意它们之间的相互转化及表示圆的条件．2．圆的方程可用待定系数法来确定，在设方程时，要根据实际情况，设出方程，以便简化解题过程，体现数学运算的核心素养．3．涉及到的曲线的轨迹问题，要求作简单的了解，能够求出简单的曲线的轨迹方程，并掌握求轨迹方程的一般步骤．当堂达标固双基1．方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0表示的图形是()A．一个点B．一个圆C．一条直线D．不存在A[方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0，可化为x2＋y2－2x＋4y＋5＝0，即(x－1)2＋(y＋2)2＝0，∴方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0表示点(1，－2)．]2．点P(1，－2)和圆C：x2＋y2＋m2x＋y＋m2＝0的位置关系是________．点P在圆C外部[将点P(1，－2)代入圆的方程，得1＋4＋m2－2＋m2＝2m2＋30，∴点P在圆C外部．]3．圆心是(－3，4)，经过点M(5，1)的圆的一般方程为________．x2＋y2＋6x－8y－48＝0[只要求出圆的半径即得圆的标准方程，再展开化为一般式方程即可．]4．若方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示以(2，－4)为圆心，4为半径的圆，则F＝________．4[由题意，知D＝－4，E＝8，r＝（－4）2＋82－4F2＝4，∴F＝4.]5．已知A(2，2)，B(5，3)，C(3，－1)，求△ABC的外接圆的方程．[解]设△ABC外接圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，由题意得2D＋2E＋F＋8＝0，5D＋3E＋F＋34＝0，3D－E＋F＋10＝0，解得D＝－8，E＝－2，F＝12，即△ABC的外接圆方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝