2019-2020学年高中数学 第4章 圆的方程 4.1.1 圆的标准方程课件 新人教A版必修2

数学必修②·人教A版新课标导学第四章圆的方程4.1圆的方程4.1.1圆的标准方程1自主预习学案2互动探究学案3课时作业学案自主预习学案有一座圆拱桥，当水面在如图所示位置时，拱顶离水面2m，水面宽12m．当水面下降1m后，水面宽多少米？1．圆圆心基本要素当圆心的位置与半径的大小确定后，圆就唯一确定了，因此，确定一个圆的基本要素是____和________标准方程圆心为C(a，b)，半径为r的圆的标准方程是____________________________半径(x－a)2＋(y－b)2＝r2图示说明若点M(x，y)在圆C上，则点M的________适合方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2；反之，若点M(x，y)的坐标适合方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则点M在圆C上坐标2．点与圆的位置关系圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r0)，其圆心为(a，b)，半径为r，点P(x0，y0)，设d＝|PC|＝x0－a2＋y0－b2.位置关系d与r的大小图示点P的坐标的特点点在圆外d_______r(x0－a)2＋(y0－b)2r2点在圆上d________r(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2点在圆内d________r(x0－a)2＋(y0－b)2r2＝B1．圆(x－1)2＋(y＋2)2＝2的半径为()A．1B．2C．2D．4[解析]圆(x－1)2＋(y＋2)2＝2的半径r＝2.2．以(2，－1)为圆心，4为半径的圆的方程为()A．(x＋2)2＋(y－1)2＝4B．(x＋2)2＋(y＋1)2＝4C．(x－2)2＋(y＋1)2＝16D．(x－2)2＋(y－1)2＝16[解析]圆心为(2，－1)，半径为4的圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝16.C3．圆心C在直线2x－y－7＝0上且与y轴交于两点A(0，－4)、B(0，－2)，则圆C的方程为___________________________.(x－2)2＋(y＋3)2＝5[解析]由圆的几何性质，得圆心坐标为(2，－3)，半径r＝2－02＋－3＋22＝5，∴圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝5.4．圆C与直线3x＋4y－14＝0相切于点(2,2)，其圆心在直线x＋y－11＝0上，求圆C的方程．[解析]设与3x＋4y－14＝0垂直的直线方程为4x－3y＋m＝0，又∵过点(2,2)，∴m＝－2.由4x－3y－2＝0x＋y－11＝0，得x＝5y＝6.∴圆的半径r＝5－22＋6－22＝5，∴圆C的方程为(x－5)2＋(y－6)2＝25.互动探究学案(2018·浙江省杭州市高三月考)已知圆C与圆(x－1)2＋y2＝1关于直线y＝－x对称，则圆C的标准方程为()A．(x＋1)2＋y2＝1B．x2＋y2＝1C．x2＋(y＋1)2＝1D．x2＋(y－1)2＝1命题方向1⇨求圆的标准方程C典例1[解析]由已知圆(x－1)2＋y2＝1得圆心C1(1,0)，半径r1＝1.设C(a，b)，由两圆关于直线y＝－x对称，得圆心C1(1,0)与C(a，b)关于直线y＝－x对称，则ba－1·－1＝－1，－a＋12＝b2，解得a＝0，b＝－1，故圆C的标准方程为x2＋(y＋1)2＝1.『规律方法』(1)要确定圆的标准方程需要两个条件(包含三个代数量)：圆的圆心坐标和圆的半径长；反之如果已知圆的标准方程也能直接得到圆的圆心坐标和半径；(2)求解圆的标准方程时，一般先求出圆心和半径，再写方程．〔跟踪练习1〕(2018·江苏省苏州市高二检测)过点A(5,2)和点B(3，－2)，且圆心C在直线2x－y－3＝0上的圆的标准方程为___________________________.(x－2)2＋(y－1)2＝10[思路点拨]思路一根据圆心C在直线上，设圆心坐标为a，2a－3→根据|CA|＝|CB|列方程→求a及半径→得方程思路二根据弦AB的垂直平分线与直线的交点就是所求圆的圆心求圆心→求半径→得方程[解析]方法一由于点C在直线2x－y－3＝0上，所以可设点C的坐标为(a,2a－3)．∵圆C过点A，B，∴|CA|＝|CB|，即a－52＋2a－3－22＝a－32＋2a－3＋22，解得a＝2，∴圆心C的坐标为(2,1)，半径r＝|CA|＝10，故所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝10.方法二∵圆过A(5,2)，B(3，－2)两点，∴圆心在线段AB的垂直平分线上．∵线段AB的垂直平分线的方程为y－2＋－22＝－5－32－－2x－5＋32，即x＋2y－4＝0，∴圆心C为直线2x－y－3＝0与x＋2y－4＝0的交点．解方程组2x－y－3＝0，x＋2y－4＝0，得x＝2，y＝1，∴圆心坐标为C(2,1)，半径r＝|CA|＝2－52＋1－22＝10，故所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝10.已知两点P1(3,8)和P2(5,4)，求以线段P1P2为直径的圆的方程，并判断点M(5,3)、N(3,4)、P(3,5)是在此圆上，在圆内，还是在圆外？命题方向2⇨判断点与圆的位置关系典例2[解析]设圆心C(a，b)，半径长为r，则由C为线段P1P2的中点得a＝3＋52＝4，b＝8＋42＝6，即圆心坐标为C(4,6)又由两点间的距离公式得r＝|CP1|＝4－32＋6－82＝5，故所求圆的标准方程为(x－4)2＋(y－6)2＝5.分别计算点M、N、P到圆心C的距离：|CM|＝4－52＋6－32＝105，|CN|＝4－32＋6－42＝5，|CP|＝4－32＋6－52＝25，所以点M在此圆外，点N在此圆上，点P在此圆内．『规律方法』点与圆的位置关系的判断方法：(1)几何法：利用圆心到该点的距离d与圆的半径r比较；(2)代数法：直接利用下面的不等式判定：①(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2，点在圆外；②(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2，点在圆上；③(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2，点在圆内．〔跟踪练习2〕(2019·北京市怀柔区段考)若点(3，a)在圆x2＋y2＝16的内部，则a的取值范围是()A．[0,7)B．(－∞，7)C．{7}D．(7，＋∞)A[解析]由已知得a≥0，且(3－0)2＋(a－0)2＜16，所以0≤a＜7.求过点A(1，－1)、B(－1,1)，且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的标准方程．命题方向3⇨圆的标准方程的综合应用典例3[解析]解法一：设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，由已知条件知1－a2＋－1－b2＝r2－1－a2＋1－b2＝r2a＋b－2＝0，解此方程组，得a＝1b＝1r2＝4.故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.解法二：设点C为圆心，∵点C在直线x＋y－2＝0上，∴可设点C的坐标为(a,2－a)．又∵该圆经过A、B两点，∴|CA|＝|CB|.∴a－12＋2－a＋12＝a＋12＋2－a－12，解得a＝1.∴圆心坐标为C(1,1)，半径长r＝|CA|＝2.故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.解法三：由已知可得线段AB的中点坐标为(0,0)，kAB＝1－－1－1－1＝－1，∴弦AB的垂直平分线的斜率为k＝1，∴AB的垂直平分线的方程为y－0＝1·(x－0)，即y＝x，则圆心是直线y＝x与x＋y－2＝0的交点由y＝xx＋y－2＝0，得x＝1y＝1.即圆心为(1,1)，圆的半径为1－12＋[1－－1]2＝2，故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.『规律方法』1.直接代入法已知圆心坐标和半径大小，直接代入圆的标准方程即可．2．待定系数法(1)根据题意，设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)；(2)根据已知条件，建立关于a，b，r的方程组；(3)解方程组，求出a，b，r的值；(4)将a，b，r代入所设的方程中，即可得到所求圆的方程．3．几何性质法如果在求解圆的方程问题时能够结合圆的有关几何性质来考虑，可以更加直观地解决问题，这就是我们所说的“数形结合”思想．常用的圆的几何性质：(1)圆心与切点的连线垂直于圆的切线；(2)圆心到切线的距离等于圆的半径；(3)圆的半径r，弦长的一半h，弦心距d满足r2＝h2＋d2；(4)圆的弦的垂直平分线过圆心；(5)一般地，三角形有唯一的外接圆，圆心为三角形三边垂直平分线的交点；(6)已知圆心所在的直线及圆上两点，则两点连线(圆的弦)的垂直平分线与圆心所在直线的交点即为圆心．〔跟踪练习3〕已知圆C经过A(0,0)，B(2,0)，且圆心在第一象限，△ABC为直角三角形，则圆C的方程为()A．(x－1)2＋(y－1)2＝4B．(x－2)2＋(y－2)2＝2C．(x－1)2＋(y－1)2＝2D．(x－1)2＋(y－2)2＝5C[解析]由题知，设圆心C(1，b)，b＞0，半径为r，则2r2＝4r2－1＝b2，解得r＝2b＝1，∴圆C的标准方程为：(x－1)2＋(y－1)2＝2.故选C．1．若点P在⊙C外；直线PC交⊙C于A、B两点，Q是⊙C上任一点，则有|PC|－r≤|PQ|≤|PC|＋r.如图．由于在△PQC中，|PQ|＋|QC||PC|＝|PA|＋|CA|＝|PA|＋|QC|，∴|PQ||PA|＝|PC|－r.又|PB|＝|PC|＋|CB|＝|PC|＋|CQ||PQ|.∴|PC|＋r|PQ|.数形结合思想2．若点P在⊙C内，直线PC交⊙C于A，B两点，Q是⊙C上任一点，则总有|PA|≤|PQ|≤|PB|.如图，由于|PA|＋|PC|＝|AC|＝|CQ||PC|＋|PQ|，∴|PA||PQ|.作CD⊥PQ，垂足为D，则由半径大于半弦知|BC||MD|.又Rt△PCD中，|PC||PD|，∴|PB||PM||PQ|.故仍有r－|PC|≤|PQ|≤r＋|PC|.典例4已知x，y满足(x－1)2＋(y－2)2＝16，则x2＋y2的取值范围是______________________.[21－85，21＋85][解析]x2＋y2表示圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝16的动点P(x，y)与原点O(0,0)连线段长度d的平方，由于r－|OC|≤d≤r＋|OC|，∴4－5≤d≤4＋5，∴21－85≤d2≤21＋85.∴21－85≤x2＋y2≤21＋85.〔跟踪练习4〕(2018·四川省成都外国语学校月考)圆(x＋2)2＋y2＝5关于原点(0,0)对称的圆的方程为______________________.(x－2)2＋y2＝5[解析]因为所求圆的圆心与圆(x＋2)2＋y2＝5的圆心(－2,0)关于原点(0,0)对称，故所求圆的圆心为(2,0)，半径为5，故所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝5.已知某圆圆心在x轴上，半径为5，且截y轴所得线段长为8，求该圆的标准方程．对圆心位置考虑不全致错典例5[错解]如图，由题设知|AB|＝8，|AC|＝5.在Rt△AOC中，|OC|＝|AC|2－|OA|2＝52－42＝3.∴C点坐标(3,0)，∴所求圆的标准方程为(x－3)2＋y2＝25.[错因分析]由题意知，|OC|＝4，C在x轴上，则C可能在x轴正半轴上，也可能在x轴负半轴上，错解只考虑了在x轴正半轴上的情况．[正解]正解一：如图，由题设|AC|＝r＝5，|AB|＝8，∴|AO|＝4.在Rt△AOC中，|OC|＝|AC|2－|AO|2＝52－42＝3.设点C坐标为(a,0)，则|OC|＝|a|＝3，∴a＝±3.∴所求圆的标准方程为(x＋3)2＋y2＝25或(x－3)2＋y2＝25.正解二：由题意设所求圆的标准方程为(x－a)2＋y2＝25.∵圆截y轴所得线段长为8，∴圆过点A(0,4)．代入方程得a2＋16＝25，∴a＝±3，∴所求圆的标准方程为(x＋3)2＋y2＝25或