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第3章指数函数、对数函数和幂函数3.1指数函数3.1.2指数函数第2课时指数函数的图象与性质的应用学习目标核心素养1.能掌握指数函数的图象和性质,会用指数函数的图象和性质解决相关的问题.(重点、难点)2.能应用指数函数及其性质解决实际应用题.(难点)通过学习本节内容,培养学生的逻辑推理核心素养,提升学生的数学运算核心素养.自主预习探新知指数函数形如y=kax(k∈R,且k≠0,a0且a≠1)的函数是一种______函数,这是一种非常有用的函数模型.设原有量为N,每次的增长率为p,经过x次增长,该量增长到y,则y=_________________.指数型N(1+p)x(x∈N)某人于今年元旦到银行存款a万元,银行利率为月息p,则该人9月1日取款时,连本带利共可以取出金额为________.a(1+p)8[一个月后a(1+p),二个月后a(1+p)(1+p)=a(1+p)2,…9月1日取款时共存款8个月,则本利和为a(1+p)8.]合作探究提素养求函数的定义域、值域【例1】求下列函数的定义域和值域:(1)y=21x-4;(2)y=1-2x;(3)y=12x2-2x-3.思路点拨:使式子的每个部分有意义,即可求得各自的定义域,求值域时要把函数予以分解,求指数的范围,再求整个函数的值域.[解](1)由x-4≠0,得x≠4,故y=21x-4的定义域为{x|x≠4}.又1x-4≠0,即21x-4≠1,故y=21x-4的值域为{y|y0,且y≠1}.(2)由1-2x≥0,得2x≤1,∴x≤0,∴y=1-2x的定义域为(-∞,0].由02x≤1,得-1≤-2x0,∴0≤1-2x1,∴y=1-2x的值域为[0,1).(3)y=12x2-2x-3的定义域为R.∵x2-2x-3=(x-1)2-4≥-4,∴12x2-2x-3≤12-4=16.又∵12x2-2x-30,故函数y=12x2-2x-3的值域为(0,16].1.对于y=af(x)这类函数(1)定义域是指使f(x)有意义的x的取值范围.(2)值域问题,应分以下两步求解:①由定义域求出u=f(x)的值域;②利用指数函数y=au的单调性或利用图象求得函数的值域.2.对于y=m(ax)2+n(ax)+p(m≠0)这类函数值域问题.利用换元法,借助二次函数求解.1.(1)函数f(x)=1-2x+1x+3的定义域为________.(2)求函数y=4-x-21-x+1在x∈[-3,2]上的最大值和最小值.(-3,0][(1)由1-2x≥0,x+30,得-3x≤0.所以函数的定义域是(-3,0].](2)[解]y=4-x-21-x+1=122x-2·12x+1=12x-12,∵x∈[-3,2],∴12x∈14,8,令t=12x,得y=(t-1)2,其中t∈14,8,∴y∈[0,49],即最大值为49,最小值为0.指数函数的应用题【例2】某市现有人口总数为100万人,如果年平均增长率为1.2%,试解答下列问题:(1)试写出x年后该城市人口总数y(万人)与年份x(年)之间的函数关系式;(2)计算10年后该城市人口总数(精确到1万人).思路点拨:本题考查有关增长率的问题,若设原来人口总数为N,年平均增长率为p,则对于x年后的人口总数y,可以用y=N(1+p)x表示.[解](1)1年后城市人口总数为:y=100+100×1.2%=100(1+1.2%).2年后城市人口总数为:y=100×(1+1.2%)+100×(1+1.2%)×1.2%=100(1+1.2%)2,同理3年后城市人口总数为y=100(1+1.2%)3,…故x年后的城市人口总数为y=100(1+1.2%)x.(2)10年后该城市人口总数为:y=100(1+1.2%)10=100×1.01210≈100×1.127≈113(万人).故10年后该城市人口总数约为113万人.解决实际应用题的步骤1领会题意,并把题中的普通语言转化为数学语言;2根据题目要求,分析量与量之间的关系,建立恰当的函数模型,并注意对变量的限制条件,加以概括;3对已经“数学化”的问题用所学的数学知识处理,求出解;4检验:将数学问题的解代入实际问题检查,舍去不符合题意的解,并作答.2.某乡镇现在人均一年占有粮食360千克,如果该乡镇人口平均每年增长1.2%,粮食总产量平均每年增长4%,那么x年后若人均一年占有y千克粮食,求出y关于x的函数解析式.[解]设该乡镇现在人口数量为M,则该乡镇现在一年的粮食总产量为360M千克.经过1年后,该乡镇粮食总产量为360M(1+4%)千克,人口数量为M(1+1.2%).则人均占有粮食为360M1+4%M1+1.2%千克,经过2年后,人均占有粮食为360M1+4%2M1+1.2%2千克,…经过x年后,人均占有粮食为y=360M1+4%xM1+1.2%x千克,即所求函数解析式为y=3601.041.012x(x∈N*).指数函数性质的综合应用[探究问题]通过指数函数y=2x,y=12x的图象,可以抽象出指数函数的性质有哪些?[提示]指数函数y=ax(a0,且a≠1)的图象和性质a10a1图象定义域R值域(0,+∞)过定点过点(0,1),即x=0时,y=1函数值的变化当x0时,y1;当x0时,0y1当x0时,0y1;当x0时,y1性质单调性是R上的增函数是R上的减函数【例3】已知定义域为R的函数f(x)=-2x+b2x+1+a是奇函数.(1)求a,b的值;(2)若对任意的t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)0恒成立,求k的取值范围;(3)求f(x)在[-1,2]上的值域.思路点拨:(1)根据奇函数的定义,求出a,b.(2)利用单调性和奇偶性去掉f解不等式求k的范围.(3)利用(2)中单调性求f(x)的值域.[解](1)∵函数y=f(x)是定义域R上的奇函数,∴f0=0,f-1=-f1,∴-1+b2+a=0,-2-1+b20+a=--21+b22+a,∴b=1,a=2.(2)由(1)知f(x)=1-2x22x+1=-12+12x+1,设x1,x2∈R且x1x2,则f(x2)-f(x1)=12x2+1-12x1+1=2x1-2x22x2+12x1+10,∴f(x)在定义域R上为减函数,由f(t2-2t)+f(2t2-k)0恒成立,可得f(t2-2t)-f(2t2-k)=f(k-2t2),∴t2-2tk-2t2,∴3t2-2t-k0恒成立,∴Δ=(-2)2+12k0,解得k-13,∴k的取值范围为-∞,-13.(3)由(2)知f(x)在R上单调递减,∴f(x)在[-1,2]上单调递减,∴f(x)max=f(-1)=-12+11+12=16,f(x)min=f(2)=-12+14+1=-310,∴f(x)的值域为-310,16.与指数函数有关的综合应用问题往往涉及到指数函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、最值值域等问题,求解时可充分借助已学的知识逐项求解.3.设a0,函数f(x)=4xa+a4x是定义域为R的偶函数.(1)求实数a的值;(2)证明:f(x)在(0,+∞)上是增函数.[解](1)由f(x)=f(-x)得4xa+a4x=4-xa+a4-x,即4x1a-a+14xa-1a=0,所以4x-14x1a-a=0,根据题意,可得1a-a=0,又a0,所以a=1.(2)由(1)可知f(x)=4x+14x,设任意的x1,x2∈(0,+∞),且x1x2,则f(x1)-f(x2)=4x1+14x1-4x2-14x2=(4x1-4x2)1-14x1+x2.因为0x1x2,所以4x14x2,所以4x1-4x20.又x1+x20,所以4x1+x21,所以1-14x1+x2=4x1+x2-14x1+x20,所以f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2).于是知f(x)在(0,+∞)上是增函数.复合函数的单调性[探究问题]1.y=2x的单调性如何?y=x+1呢?y=2x+1呢?[提示]y=2x在R上单调递增,y=x+1在R上单调递增,y=2x+1在R上单调递增.2.y=12x与y=12x+1的单调性分别如何?[提示]y=12x单调递减,y=12x+1单调递减.3.y=-x与y=2-x的单调性如何?[提示]y=-x单调递减,y=2-x=12x单调递减.4.由以上3个探究,我们可以对由y=f(u),u=g(x)复合而成的函数y=f(g(x))的单调性做出什么猜想.[提示]y=f(g(x))可以由y=f(u),u=g(x)复合而成,复合而成的函数单调性与y=f(u),u=g(x)各自单调的关系为“同增异减”.即f与g单调性相同,复合后单调递增,f与g单调性不同,复合后单调递减.5.用单调性的定义证明:当y=f(u),u=g(x)均单调递减时y=f(g(x))单调递增.[提示]任取x1,x2∈D且x1x2.∵g(x)单调递减,∴g(x1)g(x2),即u1u2,又f(x)单调递减,∴f(u1)f(u2),即f(g(x1))f(g(x2)),∴y=f(g(x))单调递增.【例4】判断f(x)=13x2-2x的单调性,并求其值域.思路点拨:先确定u=x2-2x的值域、单调性,再确定f(x)=13u的单调性和值域.[解]令u=x2-2x,则原函数变为y=13u.∵u=x2-2x=(x-1)2-1在(-∞,1]上递减,在[1,+∞)上递增,又∵y=13u在(-∞,+∞)上递减,∴y=13x2-2x在(-∞,1]上递增,在[1,+∞)上递减.∵u=x2-2x=(x-1)2-1≥-1,∴y=13u,u∈[-1,+∞),∴013u≤13-1=3,∴原函数的值域为(0,3].1.(变条件)本例中“x∈R”变为“x∈[-1,2]”.判断f(x)的单调性,并求其值域.[解]由本例解析知,又x∈[-1,2],∴f(x)=13x2-2x(x∈[-1,2])在[-1,1]上是增函数,在(1,2]上是减函数.∵u=x2-2x(x∈[-1,2])的最小值、最大值分别为umin=-1,umax=3,∴f(x)的最大值、最小值分别为f(1)=13-1=3,f(-1)=133=127.∴函数f(x)的值域为127,3.2.(变设问)在本例条件下,解不等式f(x)f(1).[解]∵f(x)f(1),即13x2-2x13-1,∴x2-2x-1,∴(x-1)20,∴x≠1,∴不等式的解集为{x|x≠1}.1.关于指数型函数y=af(x)(a0,且a≠1),它由两个函数y=au,u=f(x)复合而成.其单调性由两点决定,一是底数a1还是0a1;二是f(x)的单调性.2.求这种指数型函数的单调区间,首先求出函数的定义域,然后把函数分解成y=f(u),u=φ(x),通过考查f(u)和φ(x)的单调性,求出y=f(φ(x))的单调性,其规则是“同增异减”.1.比较两个指数式值大小的主要方法(1)比较形如am与an的大小,可运用指数型函数y=ax的单调性.(2)比较形如am与bn的大小,一般找一个“中间值c”,若amc且cb
本文标题:2019-2020学年高中数学 第3章 指数函数、对数函数和幂函数 3.1.2 指数函数(第2课时)
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