2019-2020学年高中数学 第3章 指数函数、对数函数和幂函数 3.1.1 分数指数幂课件 苏教

第3章指数函数、对数函数和幂函数3.1指数函数3.1.1分数指数幂学习目标核心素养1.理解根式、分数指数幂的意义，掌握根式与分数指数幂的互化．(重点)2.掌握有理指数幂的运算法则．(重点)3.了解实数指数幂的意义.通过学习本节内容提升学生的数学运算核心素养.自主预习探新知1．平方根与立方根的概念如果x2＝a，那么x称为a的______；如果x3＝a，那么x称为a的______．根据平方根、立方根的定义，正实数的平方根有__个，它们互为相反数，一个数的立方根________．平方根立方根2只有一个2．a的n次方根(1)定义：一般地，如果一个实数x满足xn＝a(n1，n∈N*)，那么称x为a的____________，式子na叫做根式，其中n叫做______，a叫做________．n次实数方根根指数被开方数(2)几个规定：①当n为奇数时，正数的n次实数方根是一个____，负数的n次实数方根是一个____，这时，a的n次实数方根只有一个，记作x＝___；②当n为偶数时，正数的n次实数方根有__个，它们互为______，这时，正数a的正的n次实数方根用符号_____表示，负的n次实数方根用符号_____表示，它们可以合并写成______(a0)形式；③0的n次实数方根等于__(无论n为奇数，还是为偶数)．正数负数2相反数0nana－na±na3．根式的性质(1)n0＝__(n∈N*，且n1)；(2)(na)n＝__(n∈N*，且n1)；(3)(nan)＝a(n为大于1的奇数)；(4)(nan)＝|a|＝__a≥0，____a0(n为大于1的偶数)．0aa－a4．分数指数幂的意义一般地，我们规定：(1)amn＝______(a0，m，n均为正整数)；(2)a－mn＝1amn(a0，m，n均为正整数)；(3)0的正分数指数幂为___，0的负分数指数幂________．nam0没有意义5．有理数指数幂的运算性质(1)asat＝________；(2)(as)t＝______；(3)(ab)t＝________，(其中s，t∈Q，a0，b0)．as＋tastatbt1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)16的四次方根为2.()(2)π－42＝π－4.()(3)4－16＝－2.()[答案](1)×(2)×(3)×[提示](1)16的四次方根有两个，是±2；(2)π－42＝|π－4|＝4－π；(3)4－16没意义．2．若n是偶数，nx－1n＝x－1，则x的取值范围为________．[1，＋∞)[x－1≥0，∴x≥1.]3．下列根式与分数指数幂的互化正确的是________．(填序号)(1)354＝543；(2)2－12＝1212；(3)－22＝(－2)22；(4)353＝533.(1)(2)[根据根式与分数指数幂的互化关系，(1)(2)正确，(3)(4)错误．]4．设5x＝4,5y＝2，则52x－y＝________.8[52x－y＝52x5y＝5x25y＝422＝8.]合作探究提素养根式的性质【例1】求下列各式的值．(1)3－23；(2)4－32；(3)83－π8；(4)a6；(5)x2－2x＋1－x2＋6x＋9，x∈(－3,3)．思路点拨：利用根式的性质进行求解．[解](1)3－23＝－2.(2)4－32＝432＝3.(3)83－π8＝|3－π|＝π－3.(4)a6＝a32＝|a3|＝a3，a≥0，－a3，a0.(5)原式＝x－12－x＋32＝|x－1|－|x＋3|，当－3x≤1时，原式＝1－x－(x＋3)＝－2x－2；当1x3时，原式＝x－1－(x＋3)＝－4.因此，原式＝－2x－2，－3x≤1，－4，1x3.1．解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值．2．注意nan与(na)n的区别(na)n＝a(当n为奇数时，a∈R，当n为偶数时，a≥0)；nan＝a，n为奇数，|a|＝aa≥0，－aa0n为偶数.1．(1)化简：(a－1)2＋1－a2＋31－a3＝________.(2)若x2－2x＋1＋y2＋6y＋9＝0，则yx＝________.(1)a－1(2)－3[(1)易知a－1≥0，原式＝(a－1)＋|a－1|＋1－a＝a－1＋(a－1)＋1－a＝a－1.(2)由题知0＝|x－1|＋|y＋3|，∴x－1＝0，y＋3＝0⇒x＝1，y＝－3，∴yx＝(－3)1＝－3.]根式与分数指数幂的互化【例2】将下列根式化成分数指数幂的形式．思路点拨：利用分数指数幂的意义以及有理指数幂的运算性质进行转化．1．根式和分数指数幂互化时应熟练应用amn＝nam和a－mn＝1nam(a0，m，n∈N*，且n1)．当所求根式含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向外用分数指数幂写出，然后再用性质进行化简．2．分数指数幂不表示相同因式的乘积，而是根式的另一种写法，但二者在应用时各有所侧重，分数指数幂计算较为灵活，而根式求字母的范围更常用．2．将下列根式化成分数指数幂的形式．分数指数幂的运算【例3】(1)计算：0.064－13－－780＋[(－2)3]－43＋16－0.75＋|－0.01|12；思路点拨：将各个根式化成指数幂的形式，按照幂的运算性质进行运算．指数幂与根式运算的技巧1有理数指数幂的运算技巧①运算顺序：有括号的，先算括号里面的，无括号的先做指数运算.②指数的处理：负指数先化为正指数.底数互为倒数③底数的处理：底数是负数，先确定幂的符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数，先化成假分数，然后再把底数尽可能用幂的形式表示.2根式运算技巧①各根式尤其是根指数不同时要先化成分数指数幂，再运算.②多重根式可以从内向外逐层变换为分数指数幂.3．(1)化简：＝____.条件求值问题[探究问题]1．x12＋x－12与x＋x－1有什么关系？x＋x－1与x2＋x－2有什么关系？[提示]x＋x－1＝x12＋x－122－2，x2＋x－2＝(x＋x－1)2－2.2．立方和(差)公式是什么？[提示]a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)，a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2)．【例4】已知a12＋a－12＝5，求下列各式的值：(1)a＋a－1；(2)a2＋a－2.思路点拨：考虑到如何由a12＋a－12得到a＋a－1.[解](1)将a12＋a－12＝5两边平方，得a＋a－1＋2＝5，即a＋a－1＝3.(2)将a＋a－1＝3两边平方，得a2＋a－2＋2＝9，∴a2＋a－2＝7.1．(变结论)在本例条件下，则a2－a－2＝________.±35[令y＝a2－a－2，两边平方，得y2＝a4＋a－4－2＝(a2＋a－2)2－4＝72－4＝45，∴y＝±35，即a2－a－2＝±35.]2．(变条件)若本例变为：已知a，b分别为x2－12x＋9＝0的两根，且ab，求的值．条件求值问题的常用方法1整体代入：从已知条件中解出所含字母的值，然后再代入求值，这种方法一般是不可取的，而应设法从整体寻求结果与条件的联系，进而整体代入求值.2求值后代入：所求结果涉及的某些部分，可以作为一个整体先求出其值，然后再代入求最终结果.1．掌握两个公式：(1)(na)n＝a(n∈N*)；(2)n为奇数且n∈N*，nan＝a；n为偶数且n∈N*，nan＝|a|＝aa≥0，－aa0.2．根式一般先转化成分数指数幂，然后利用有理数指数幂的运算性质进行运算．在将根式化为分数指数幂的过程中，一般采用由内到外逐层变换的方法，然后运用运算性质准确求解．当堂达标固双基1．以下说法正确的是________．(填序号)①正数的n次方根是正数；②负数的n次方根是负数；③0的n次方根是0(其中n＞1且n∈N*)；④a的n次方根是na.③[由于正数的偶次方根有互为相反数的两个方根，故①错；由于负数的偶次方根无意义，故②错；③显然正确；当a＜0时，只有n为大于1的奇数时na才有意义，故④错．]2．计算：x2－2x＋1＝________.(x1)1－x[原式＝x－12＝|x－1|＝1－x.]3．计算[(－2)2]－12的结果是________．22[[(－2)2]－12＝2－12＝22.]4．若代数式2x－1＋2－x有意义，化简：4x2－4x＋1＋24x－24.[解]由2x－1＋2－x有意义，则2x－1≥0，2－x≥0，即12≤x≤2.故4x2－4x＋1＋24x－24＝2x－12＋24x－24＝|2x－1|＋2|x－2|＝2x－1＋2(2－x)＝3.