2019-2020学年高中数学 第3章 直线与方程 3.3.3 点到直线的距离 3.3.4 两条平行

数学必修②·人教A版新课标导学第三章直线与方程3.3直线的交点坐标与距离公式3.3.3点到直线的距离3.3.4两条平行直线间的距离1自主预习学案2互动探究学案3课时作业学案自主预习学案在铁路的附近，有一大型仓库．现要修建一条公路与之连接起来，易知从仓库垂直于铁路方向所修的公路最短．将铁路看作一条直线l，仓库看作点P.怎样求得仓库到铁路的最短距离呢？1．点到直线的距离公式点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝_________________.|Ax0＋By0＋C|A2＋B2[归纳总结]点到几种特殊直线的距离：(1)点P(x0，y0)到x轴的距离d＝|y0|；(2)点P(x0，y0)到y轴的距离d＝|x0|；(3)点P(x0，y0)到直线y＝a的距离d＝|y0－a|；(4)点P(x0，y0)到直线x＝b的距离d＝|x0－b|.2．两条平行直线间的距离(1)定义：夹在两条平行直线间________的长叫做这两条平行直线间的距离．(2)求法：转化为求________的距离，即在其中任意一条直线上任取一点，这点到另一条直线的距离就是这两条平行直线间的距离．公垂线段点到直线(3)公式一般地，已知两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)．设P(x0，y0)是直线l2上的任意一点，则Ax0＋By0＋C2＝0，即Ax0＋By0＝－C2，于是P(x0，y0)到直线l1：Ax＋By＋C1＝0的距离d＝|Ax0＋By0＋C1|A2＋B2＝|C1－C2|A2＋B2.此式就是两条平行直线l1与l2间的距离公式．[归纳总结](1)使用两条平行直线间的距离公式的前提条件：①把直线方程化为直线的一般式方程；②两条直线方程中x，y系数必须分别相等．(2)求两条平行直线间的距离通常转化为其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离，且两平行线间距离与其中一条直线上点的选取无关．(3)当两直线都与x轴(或y轴)垂直时，可利用数形结合来解决．①两直线都与x轴垂直时，l1：x＝x1，l2：x＝x2，则d＝|x2－x1|；②两直线都与y轴垂直时，l1：y＝y1，l2：y＝y2，则d＝|y2－y1|.A1．点(1,2)到直线y＝2x＋1的距离为()A．55B．255C．5D．25[解析]点(1,2)到直线y＝2x＋1的距离为d＝|2－2＋1|4＋1＝55.2．已知两点A(3,2)和B(－1,4)到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，则m为()A．0或－12B．12或－6C．－12或12D．0或12B[解析]由题知直线mx＋y＋3＝0与AB平行或过AB的中点，则有－m＝4－2－1－3或m×3－12＋2＋42＋3＝0，∴m＝12或m＝－6.3．两平行直线x＋y＋2＝0与x＋y－3＝0的距离等于()A．522B．22C．52D．2A[解析]直线x＋y＋2＝0与x轴的交点是P(－2,0)，点P到直线x＋y－3＝0的距离d＝|－2＋0－3|12＋12＝522，即这两条平行线间的距离为522.4．经过点M(3，－2)且与原点距离为3的直线l的方程为___________________.x－3＝0或5x－12y－39＝0[解析]若直线l的斜率存在，设为k，则l的方程为y＋2＝k(x－3)，即kx－y－(3k＋2)＝0，由点到直线的距离公式，得|3k＋2|k2＋1＝3，解得k＝512，故直线l的方程为512x－y－(54＋2)＝0即5x－12y－39＝0，当直线的斜率不存在时，x＝3也符合题意，∴所求直线方程为5x－12y－39＝0或x－3＝0.互动探究学案命题方向1⇨点到直线的距离公式典例1求点P(3，－2)到下列直线的距离．(1)y＝34x＋14；(2)y＝6;(3)x＝4.[思路分析]解答本题可先把直线方程化为一般式(特殊直线可以不化)，然后再利用点到直线的距离公式及特殊形式求出相应的距离．[解析](1)把方程y＝34x＋14写成3x－4y＋1＝0，由点到直线的距离公式得d＝|3×3－4×－2＋1|32＋－42＝185.(2)解法一：把方程y＝6写成0·x＋y－6＝0，由点到直线的距离公式得d＝|0×3＋－2－6|02＋12＝8.解法二：因为直线y＝6平行于x轴，所以d＝|6－(－2)|＝8.(3)因为直线x＝4平行于y轴，所以d＝|4－3|＝1.『规律方法』1.求点到直线的距离，首先要把直线方程化成一般式方程，然后再套用点到直线的距离公式．2．当点与直线有特殊位置关系时，也可以用公式求解，但是这样会把问题变复杂了，要注意数形结合．3．几种特殊情况的点到直线的距离：(1)点P0(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|；(2)点P0(x0，y0)到直线y＝b的距离d＝|y0－b|.〔跟踪练习1〕(2019·辽宁省鞍山市高一期末)已知直线l在两坐标轴上的截距相等，且点P(1,3)到直线l的距离为2，则直线l的方程为_______________________________________________.x－y＝0或7x＋y＝0或x＋y－2＝0或x＋y－6＝0[思路点拨]先设出适当的直线方程，然后根据点到直线的距离公式列出等式，从而求得直线l的方程．[解析]由题意知，若截距为0，则设所求直线l的方程为y＝kx(k≠0)．由题意知|k－3|k2＋1＝2，解得k＝1或－7，此时直线l的方程为x－y＝0或7x＋y＝0.若截距不为0，则设所求直线l的方程为x＋y－a＝0(a≠0)．由题意知|1＋3－a|2＝2，解得a＝2或a＝6，此时直线l的方程为x＋y－2＝0或x＋y－6＝0.综上，所求直线l的方程为x－y＝0或7x＋y＝0或x＋y－2＝0或x＋y－6＝0.命题方向2⇨求两平行直线的距离典例2(2019·山东省烟台市期末)与直线2x－y－1＝0平行，且距离为2的直线方程为___________________________________________2x－y＋25－1＝0或2x－y－25－1＝0.[思路点拨]思路一由直线平行设出方程→利用平行线间的距离公式求解思路二设出直线上任意一点的坐标→利用点到直线的距离公式求出直线上的点满足的方程即可[解析]方法一由已知可设所求直线的方程为2x－y＋C＝0(C≠－1)，则它与直线2x－y－1＝0的距离为d＝|C－－1|22＋－12＝|C＋1|5＝2，∴|C＋1|＝25，C＝±25－1，故所求直线的方程为2x－y＋25－1＝0或2x－y－25－1＝0.方法二设P(x，y)为所求直线上任意一点，则点P到直线2x－y－1＝0的距离d＝|2x－y－1|22＋－12＝|2x－y－1|5＝2，即2x－y－1＝±25，故所求直线的方程为2x－y＋25－1＝0或2x－y－25－1＝0.『规律方法』1.求两平行直线间距离的两种思路：(1)转化为求其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离．(2)利用两条平行直线间距离公式d＝|C1－C2|A2＋B2.2．当两直线都与x轴(或y轴)垂直时，可利用数形结合来解决．(1)两直线都与x轴垂直时，l1：x＝x1，l2：x＝x2，则d＝|x2－x1|；(2)两直线都与y轴垂直时，l1：y＝y1，l2：y＝y2，则d＝|y2－y1|.〔跟踪练习2〕(2019·益阳高一检测)直线2x＋3y＋1＝0与4x＋my＋7＝0平行，则它们之间的距离为()A．4B．21313C．51326D．71020C[解析]由题意，得2m－3×4＝0，∴m＝6.故两直线2x＋3y＋1＝0与4x＋6y＋7＝0的距离d＝|1－72|22＋32＝51326.一、数形结合思想两互相平行的直线分别过A(6,2)、B(－3，－1)，并且各自绕着A、B旋转，如果两条平行线间的距离为d.(1)求d的变化范围；(2)求当d取得最大值时的两条直线方程．空间典例3[解析]解法一：(1)设两条直线方程分别为y＝kx＋b1和y＝kx＋b2，则2＝6k＋b1－1＝－3k＋b2，即b1＝2－6kb2＝3k－1.而d＝|b2－b1|1＋k2＝|9k－3|1＋k2，两边平方整理得即(81－d2)k2－54k＋9－d2＝0，由于k∈R，所以Δ＝542－4(81－d2)(9－d2)≥0，整理得4d2(d2－90)≤0，∴0d≤310.(2)因d＝310时，k＝5481－90×2＝－3，故两直线方程分别为3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0.解法二：(1)由图形可知，当两平行线均与线段AB垂直时，距离d＝|AB|＝310最大，当两直线都过A、B点时距离d＝0最小，但平行线不能重合．∴0d≤310.(2)两直线方程分别是：3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0.『规律方法』上面我们用两种思路作了解答，不难发现解法二比解法一简捷的多，这足以显示数形结合的威力，在学习解析几何过程中，一定要有意识的往形上联系，以促进数形结合能力的提高和思维能力的发展．〔跟踪练习3〕若A(1,4)、B(－3,1)，过点B的直线l与点A的距离为d.(1)d的取值范围为________；(2)当d取最大值时，直线l的方程为__________________；(3)当d＝4时，直线l的方程为___________________.[0,5]4x＋3y＋9＝07x＋24y－3＝0[解析](1)用数形结合法容易得到，当直线l⊥AB时，d取最大值，当l经过A、B时，d取最小值，∴0≤d≤5.(2)当d＝5时，kl＝－1kAB，kAB＝4－11－－3＝34，∴直线l的方程y－1＝－43(x＋3)，即：4x＋3y＋9＝0.(3)设l：y－1＝k(x＋3)，即：kx－y＋3k＋1＝0，由A(1,4)到l距离为4知|k－4＋3k＋1|1＋k2＝4，∴k＝－724，当斜率k不存在时，x＝－3也满足题意．故所求直线方程为：7x＋24y－3＝0.二、对称问题(关于x，y的二元方程可记作f(x，y)＝0)1．中心对称，由中点坐标公式知，点A(x0，y0)关于点P(m，n)的对称点坐标为(2m－x0,2n－y0)，所以曲线(直线)f(x，y)＝0关于点P(m，n)对称的曲线(直线)方程为f(2m－x,2n－y)＝0，特别地，点P(x0，y0)关于原点的对称点为(－x0，－y0)．2．轴对称：(1)点关于直线的对称点的求法点P(x，y)关于直线Ax＋By＋C＝0的对称点P0(x0，y0)，满足关系A·x＋x02＋B·y＋y02＋C＝0，y－y0x－x0＝BA，解方程组可得点P0的坐标．其中主要抓两个关键点：一是两对称点的中点在对称轴上；二是两对称点连线与轴垂直．(2)特殊的轴对称问题．点P(x0，y0)关于x轴、y轴，x＝m、y＝n、y＝x、y＝－x、y＝x＋m、y＝－x＋n的对称点的坐标依次为(x0，－y0)、(－x0，y0)、(2m－x0，y0)、(x0,2n－y0)、(y0，x0)、(－y0，－x0)、(y0－m，x0＋m)、(－y0＋n，－x0＋n)，于是曲线(直线)f(x，y)＝0关于x轴、y轴、x＝m、y＝n、y＝x、y＝－x、y＝x＋m、y＝－x＋n对称的曲线(直线)方程依次为：f(x，－y)＝0、f(－x，y)＝0、f(2m－x，y)＝0、f(x,2n－y)＝0、f(y，x)＝0、f(－y，－x)＝0、f(y－m，x＋m)＝0、f(－y＋n，－x＋n)＝0.光线通过点A(2,3)在直线l：x＋y＋1＝0上反射，反射光线经过点B(1,1)，则反射光线所在直线的方程为____________________.[思路分析]点A关于直线l的对称点A′在反射光线所在直线上，又反射光线通过点B，则反射光线所在直线为A′B．典例44x－5y＋1＝0[解析]点A(2,3)关于l：x＋y＋1＝0的对称点A′坐标x＝－3－1＝－4，y＝－2－1＝－3，即A′(－4，－3)．由题意反射光线所在直线为A′B．∵kA′B＝1＋31＋4＝45，∴直线方程为y－1＝45(x－1)，整理得4x－5y＋1＝0.〔跟