2019-2020学年高中数学 第3章 数学归纳法与贝努利不等式章末复习课课件 新人教B版选修4-5

第三章数学归纳法与贝努利不等式章末复习课[自我校对]①柯西不等式②贝努利不等式归纳递推要用好归纳假设数学归纳法中两步缺一不可，第一步归纳奠基，第二步起到递推传递作用，在第二步的证明中，首先进行归纳假设，而且必须应用归纳假设(n＝k时，命题成立)，推出n＝k＋1时，命题成立．【例1】用数学归纳法证明，对于n∈N＋，11×2＋12×3＋13×4＋…＋1nn＋1＝nn＋1.[精彩点拨]按照数学归纳法的步骤证明即可．[规范解答](1)当n＝1时，左边＝11×2＝12，右边＝12，所以等式成立．(2)假设n＝k时等式成立，即11×2＋12×3＋13×4＋…＋1kk＋1＝kk＋1，当n＝k＋1时，11×2＋12×3＋13×4＋…＋1kk＋1＋1k＋1k＋2＝kk＋1＋1k＋1k＋2＝k2＋2k＋1k＋1k＋2＝k＋1k＋2，所以当n＝k＋1时，等式也成立．由(1)(2)可知对于任意n∈N＋，等式都成立．1．用数学归纳法证明：对任意的n∈N＋，11×3＋13×5＋…＋12n－12n＋1＝n2n＋1.[证明](1)当n＝1时，左边＝11×3＝13，右边12×1＋1＝13，左边＝右边，等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N＋且k≥1)时等式成立，即有11×3＋13×5＋…＋12k－12k＋1＝k2k＋1，则当n＝k＋1时，11×3＋13×5＋…＋12k－12k＋1＋12k＋12k＋3＝k2k＋1＋12k＋12k＋3＝k2k＋3＋12k＋12k＋3＝2k2＋3k＋12k＋12k＋3＝k＋12k＋3＝k＋12k＋1＋1，所以当n＝k＋1时，等式也成立．由(1)(2)可知，对一切x∈N＋等式都成立.归纳——猜想——证明不完全归纳的作用在于发现规律，探求结论，但结论是否为真有待证明，因而数学中我们常用归纳——猜想——证明的方法来解决与正整数有关的归纳型和存在型问题．【例2】设数列{an}满足an＋1＝a2n－nan＋1，n＝1,2,3，….(1)当a1＝2时，求a2，a3，a4，并由此猜想出数列{an}的一个通项公式；(2)当a1≥3时，证明对所有的n≥1，有①an≥n＋2；②11＋a1＋11＋a2＋…＋11＋an≤12.[精彩点拨](1)通过观察数列{an}的前4项，归纳猜想得到数列{an}的通项公式，(2)利用数学归纳法证明．[规范解答](1)由a1＝2，得a2＝a21－a1＋1＝3；由a2＝3，得a3＝a22－2a2＋1＝4；由a3＝4，得a4＝a23－3a3＋1＝5.由此猜想：an＝n＋1(n∈N＋)．(2)①用数学归纳法证明：当n＝1时，a1≥3＝1＋2，不等式成立；假设当n＝k时，不等式成立，即ak≥k＋2，那么当n＝k＋1时，ak＋1＝a2k－kak＋1＝ak(ak－k)＋1≥(k＋2)(k＋2－k)＋1＝2(k＋2)＋1≥k＋3＝(k＋1)＋2，也就是说，当n＝k＋1时，ak＋1≥(k＋1)＋2.综上可得，对于所有n≥1，有an≥n＋2.②由an＋1＝an(an－n)＋1及①，对k≥2，有ak＝ak－1(ak－1－k＋1)＋1≥ak－1(k－1＋2－k＋1)＋1＝2ak－1＋1≥2·(2ak－2＋1)＋1＝22ak－2＋2＋1≥23ak－3＋22＋2＋1≥…∴ak≥2k－1a1＋2k－2＋…＋2＋1＝2k－1a1＋2k－1－1＝2k－1(a1＋1)－1，于是1＋ak≥2k－1(a1＋1)，11＋ak≤11＋a1·12k－1，k≥2.∴11＋a1＋11＋a2＋…＋11＋an≤11＋a1＋11＋a112＋122＋…＋12n－1＝11＋a11＋12＋122＋…＋12n－1＝21＋a1·1－12n＜21＋a1≤21＋3＝12.因此，原不等式成立．2．对于一切正整数n，先猜出使tn＞n2成立的最小的正整数t，然后用数学归纳法证明，并再证明不等式：n(n＋1)·lg34＞lg(1·2·3·…·n)．[解]猜想当t＝3时，对一切正整数n使3n＞n2成立．下面用数学归纳法进行证明．当n＝1时，31＝3＞1＝12，命题成立．假设n＝k(k≥1，k∈N＋)时，3k＞k2成立，则有3k≥k2＋1.对n＝k＋1,3k＋1＝3·3k＝3k＋2·3k≥k2＋2(k2＋1)＞3k2＋1.∵(3k2＋1)－(k＋1)2＝2k2－2k＝2k(k－1)≥0，∴3k＋1＞(k＋1)2，∴对n＝k＋1，命题成立．由上知，当t＝3时，对一切n∈N＋，命题都成立．再用数学归纳法证明：n(n＋1)·lg34＞lg(1·2·3·…·n)．当n＝1时，1·(1＋1)·lg34＝lg32＞0＝lg1，命题成立．假设n＝k(k≥1，k∈N＋)时，k(k＋1)·lg34＞lg(1·2·3·…·k)成立．当n＝k＋1时，(k＋1)(k＋2)·lg34＝k(k＋1)·lg34＋2(k＋1)·lg34＞lg(1·2·3·…·k)＋12lg3k＋1＞lg(1·2·3·…·k)＋12lg(k＋1)2＝lg[1·2·3·…·k·(k＋1)]，命题成立．由上可知，对一切正整数n，命题成立.数学归纳法证题的常用技巧在使用数学归纳法证明时，一般说来，第一步，验证比较简明，而第二步归纳步骤情况较复杂．因此，熟悉归纳步骤的证明方法是十分重要的，其实归纳步骤可以看作是一个独立的证明问题，归纳假设“P(k)”是问题的条件，而命题P(k＋1)成立就是所要证明的结论，因此，合理运用归纳假设这一条件就成了归纳步骤中的关键，下面简要分析一些常用技巧．1．分析综合法用数学归纳假设证明关于自然数n的不等式，从“P(k)”到“P(k＋1)”，常常可用分析综合法．【例3】求证：11×2＋12×3＋…＋1nn＋1n，n∈N＋.[精彩点拨]要证不等式左边是n项，右边是一项，当n＝k＋1时，要结合归纳假设，利用分析综合法证明不等式．[规范解答](1)当n＝1时，因为11×2＝121，所以原不等式成立．(2)假设n＝k(k∈N＋，且k≥1)时，原不等式成立，即有11×2＋12×3＋…＋1kk＋1k.则当n＝k＋1时，11×2＋12×3＋…＋1kk＋1＋1k＋1k＋2k＋1k＋1k＋2.因此，欲证明当n＝k＋1时，原不等式成立，只需证明k＋1k＋1k＋2k＋1成立．即证明k＋1－k1k＋1k＋2.从而转化为证明1k＋1＋k1k2＋3k＋2，也就是证明k2＋3k＋2k＋1＋k.而(k2＋3k＋2)2－(k＋1＋k)2＝k2＋k＋1－2kk＋1＝(kk＋1－1)20.从而k2＋3k＋2k＋1＋k.于是当n＝k＋1时，原不等式也成立．由(1)(2)可知，当n是任意正整数时，原不等式都成立．3．用数学归纳法证明：1＋122＋132＋…＋1n2≥3n2n＋1(n∈N＋)．[证明]①当n＝1时，左边＝1，右边＝1，左边≥右边，结论成立；②假设n＝k时，不等式成立，即1＋122＋132＋…＋1k2≥3k2k＋1.当n＝k＋1时，1＋122＋132＋…＋1k2＋1k＋12≥3k2k＋1＋1k＋12，下面证3k2k＋1＋1k＋12≥3k＋12k＋1＋1.作差得3k2k＋1＋1k＋12－3k＋12k＋1＋1＝kk＋2k＋122k＋12k＋3＞0，得结论成立，即当n＝k＋1时，不等式也成立，由①和②知，不等式对一切n∈N＋都成立．2．放缩法涉及关于正整数n的不等式，从“k”过渡到“k＋1”，有时也考虑用放缩法．【例4】用数学归纳法证明：1＋12＋13＋…＋12n－1n(n∈N＋，n1)．[精彩点拨]n＝k＋1时，12k＋12k＋1＋…＋12k＋1－1＝12k[规范解答](1)当n＝2时，左边＝1＋12＋132，不等式成立．(2)假设n＝k(k∈N＋，且k≥2)时不等式成立，即1＋12＋13＋…＋12k－1k，则当n＝k＋1时，左边＝1＋12＋13＋…＋12k－1＋12k＋…＋12k＋1－1∴当n＝k＋1时，不等式也成立．由(1)(2)知，对n取任意大于1的自然数时不等式都成立．4．用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数n，不等式1＋131＋15…1＋12n－12n＋12成立．[证明](1)当n＝2时，左边＝1＋13＝43，右边＝52，左边右边，∴不等式成立．(2)假设n＝k(k∈N＋，k≥2)时，不等式成立，即1＋131＋15…1＋12k－12k＋12.那么当n＝k＋1时，1＋131＋15…1＋12k－11＋12k＋1－12k＋12×2k＋22k＋1＝2k＋222k＋1＝4k2＋8k＋422k＋14k2＋8k＋322k＋1＝2k＋3×2k＋12×2k＋1＝2k＋1＋12.∴n＝k＋1时，不等式也成立．由(1)(2)知，对一切大于1的自然数n，不等式都成立．3．递推法用数学归纳法证明与数列有关的问题时，有时要利用an与an＋1的关系，实现从“k”到“k＋1”的过渡．【例5】设0＜a＜1，定义a1＝1＋a，an＋1＝1an＋a，求证：对一切n∈N＋，有1＜an＜11－a.[精彩点拨]由归纳假设1＜ak＜11－a，当n＝k＋1时，由递推公式ak＋1＝1ak＋a，只要证明1＜1ak＋a＜11－a即可．[规范解答]用数学归纳法．(1)当n＝1时，a1＞1，又a1＝1＋a＜11－a，显然命题成立．(2)假设n＝k(k≥1，k∈N＋)时，命题成立，即1＜ak＜11－a.当n＝k＋1时，由递推公式，知ak＋1＝1ak＋a＞(1－a)＋a＝1，同时，ak＋1＝1ak＋a＜1＋a＝1－a21－a＜11－a，当n＝k＋1时，命题也成立．即1＜ak＋1＜11－a.综合(1)(2)可知，对一切正整数n，有1＜an＜11－a.5．设{xn}是由x1＝2，xn＋1＝xn2＋1xn(n∈N＋)定义的数列，求证：不等式2＜xn＜2＋1n(n∈N＋)．[证明]由于对于任意的k∈N＋，xk＋1＝xk2＋1xk＞2xk2·1xk＝2.所以xn＞2(n∈N＋)显然成立．下面证明：xn＜2＋1n(n∈N＋)．(1)当n＝1时，x1＝2＜2＋1，不等式成立．(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N＋)时，不等式成立，即xk＜2＋1k，那么，当n＝k＋1时，xk＋1＝xk2＋1xk.由归纳假设，xk＜2＋1k，则xk2＜22＋12k，1xk＞12＋1k.∵xk＞2，∴1xk＜22，∴xk＋1＝xk2＋1xk＜22＋12k＋22＝2＋12k≤2＋1k＋1，即xk＋1＜2＋1k＋1.从特殊到一般的数学思想方法探索性命题是近几年高考试题中经常出现的一种题型，此种问题未给出结论，需要从特殊情况入手，猜想，探索出结论，再对结论进行证明，主要是应用数学归纳法．【例6】已知f(x)＝1－2x2n＋1，g(n)＝n2－1n2＋1，当n≥4时，试比较f(2)与g(n)的大小，并说明理由．[精彩点拨]f(2)＝1－22n＋1，g(n)＝n2－1n2＋1＝1－2n2＋1，把比较f(2)与g(n)的大小转化为比较2n与n2的大小．[规范解答]由f(2)＝1－222n＋1＝1－22n＋1，g(n)＝1－2n2＋1.∴要比较f(2)与g(n)的大小，只需比较2n与n2的大小．当n＝4时，24＝16＝42，当n＝5时，25＝3252＝25，当n＝6时，26＝6462＝36.故猜测当n≥5(n∈N＋)时，2nn2，下面用数学归纳法加以证明．(1)当n＝5时，命题显然成立．(2)假设n＝k(k≥5，且k∈N＋)时，不等式成立，即2kk2(k≥5)，则当n＝k＋1时，2k＋1＝2·2k2·k2＝k2＋k2＋2k＋1－2k＋1－2＝(k＋1)2＋(k－1)2－2(k＋1)2((