2019-2020学年高中数学 第3章 数系的扩充与复数的引入 3.1.1 实数系 3.1.2 复数

第三章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充与复数的引入3.1.1实数系3.1.2复数的引入第1课时复数系学习目标核心素养1．了解数系的扩充过程.2．理解复数相等的基本概念及复数相等的充要条件．(重点)3．掌握复数的代数形式，分类等有关概念．(难点、易混点)通过复数的引入及相关概念的学习，培养学生的数学抽象素养.自主预习探新知一、复数的有关概念1．复数(1)定义：设a，b都是实数，形如a＋bi的数叫做复数，其中i叫做满足i2＝，a叫做复数的，b叫做复数的．(2)表示方法：复数通常用表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式．小写字母z虚数单位－1实部虚部2．复数集(1)定义：所构成的集合叫做复数集．(2)表示：通常用大写字母C表示．3．复数相等的充要条件设a，b，c，d都是实数，则a＋bi＝c＋di⇔，a＋bi＝0⇔.a＝0且b＝0全体复数a＝c且b＝d二、复数的分类1．复数z＝a＋bi(a，b∈R)b＝0，b≠0纯虚数，非纯虚数.2．复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系：a≠0，b≠0实数虚数a＝0，b≠01．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若a，b为实数，则z＝a＋bi为虚数．()(2)若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数．()(3)两个虚数不能比较大小．()[解析](1)错误．若b＝0，则z＝a＋bi为实数．(2)错误．当a＝－1时，(a＋1)i不是纯虚数．(3)正确．[答案](1)×(2)×(3)√2．若复数2－bi(b∈R)的实部与虚部互为相反数，则b的值为()A．－2B．23C．－23D．2[解析]2－bi的实部为2，虚部为－b，由题意知2＝－(－b)，所以b＝2.[答案]D3．已知(2m－5n)＋3i＝3n－(m＋5)i，m，n∈R，则m＋n＝________.[解析]由复数相等的条件，得2m－5n＝3n，3＝－m＋5，解得m＝－8，n＝－2，∴m＋n＝－10.[答案]－10合作探究提素养复数的有关概念【例1】(1)下列命题中，真命题的个数是()①若x，y∈C，则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1；②若a，b∈R且ab，则a＋ib＋i；③若x2＋y2＝0，则x＝y＝0.A．0B．1C．2D．3(2)给出下列三个命题：①若z∈C，则z2≥0；②2i－1虚部是2i；③2i的实部是0.其中真命题的个数为()A．0B．1C．2D．3[思路探究]首先将所给的复数化简为复数的代数形式，然后根据实部与虚部的概念确定实部、虚部．[解](1)①由于x，y∈C，所以x＋yi不一定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件，所以①是假命题．②由于两个虚数不能比较大小，所以②是假命题．③当x＝1，y＝i时，x2＋y2＝0成立，所以③是假命题．(2)对于①，当z∈R时，z2≥0成立，否则不成立，如z＝i，z2＝－10，所以①为假命题；对于②，2i－1＝－1＋2i，其虚部为2，不是2i，所以②为假命题；对于③，2i＝0＋2i,其实部是0，所以③为真命题．[答案](1)A(2)B正确理解复数的有关概念是解答复数概念题的关键，另外在判断命题的正确性时，需通过逻辑推理加以证明，但否定一个命题的正确性时，只需举一个反例即可，所以在解答这类题型时，可按照“先特殊，后一般”、“先否定，后肯定”的方法进行解答.1．复数a＋bi(a，b∈R)为纯虚数是a＝0的________条件．[解析]若a＋bi为纯虚数，则必有a＝0，故为充分条件；但若a＝0且b＝0时，a＋bi＝0为实数，故不是必要条件．[答案]充分不必要复数的分类【例2】已知复数z＝a2－7a＋6a2－1＋(a2－5a－6)i(a∈R)，试求实数a分别取什么值时，z分别为：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．[思路探究]根据复数z为实数、虚数及纯虚数的充要条件列方程(不等式)组求解．[解](1)当z为实数时，则a2－5a－6＝0，a2－1≠0，∴a＝－1或a＝6，a≠±1，∴当a＝6时，z为实数．(2)当z为虚数时，则a2－5a－6≠0，a2－1≠0，∴a≠－1且a≠6，a≠±1，∴当a≠±1且a≠6时，z为虚数．(3)当z为纯虚数时，则a2－5a－6≠0，a2－1≠0，a2－7a＋6＝0，∴a≠－1且a≠6，a≠±1，a＝6或a＝1，∴不存在实数a使z为纯虚数．若本例中的复数z改为“z＝lg(m2＋2m＋1)＋(m2＋3m＋2)i”，如何求解相应的问题？[解](1)由m2＋2m＋10，m2＋3m＋2＝0，得m＝－2，∴当m＝－2时，z是实数．(2)由m2＋2m＋10，m2＋3m＋2≠0，得m≠－1且m≠－2，∴当m≠－1且m≠－2时，z是虚数．(3)由题意得m2＋3m＋2≠0，lgm2＋2m＋1＝0，即m2＋3m＋2≠0，m2＋2m＋1＝1，解得m＝0.∴当m＝0时，z是纯虚数．利用复数的代数形式对复数分类时，关键是根据分类标准列出实部、虚部应满足的关系式(等式或不等式(组))，求解参数时，注意考虑问题要全面.复数相等的条件【例3】已知2x－1＋(y＋1)i＝x－y＋(－x－y)i，求实数x，y的值．[思路探究]根据复数相等的充要条件列方程组求解．[解]∵x，y为实数，∴2x－1，y＋1，x－y，－x－y均为实数．由复数相等的定义知2x－1＝x－y，y＋1＝－x－y，∴x＝3，y＝－2.应用复数相等的充要条件时，要注意：1必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部的相等，虚部与虚部相等列方程组.2利用这一结论，可以把“复数相等”这一条件转化为两个实数等式，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现，这一思想在解决复数问题中非常重要.3．若(2x2－3x－2)＋(x2－5x＋6)i＝0，求实数x的值．[解]∵(2x2－3x－2)＋(x2－5x＋6)i＝0，∴2x2－3x－2＝0，x2－5x＋6＝0，解得x＝2.复数的不相等关系[探究问题]1．4＋2i3＋i正确吗？[提示]不正确，如果两个复数不全是实数．那么它们就不能比较大小．2．若(a－2)＋bi0，则实数a，b满足什么条件？[提示]b＝0，a2.【例4】已知复数x2－1＋(y＋1)i大于复数2x＋3＋(y2－1)i，试求实数x，y的取值范围．[思路探究]两复数若能比较大小，则两复数的虚部都为零．只需满足一复数的实部大于另一复数的实部．[解]因为x2－1＋(y＋1)i2x＋3＋(y2－1)i，所以y＋1＝0，y2－1＝0，x2－12x＋3，即y＝－1，x2－2x－40，解不等式x2－2x－40，得x1＋5或x1－5.所以实数x，y的取值范围分别是{x|x1－5或x1＋5}，{y|y＝－1}．实数属于复数，但复数不一定是实数，因此实数的有些性质不适用于复数，如实数能比较大小，而复数中只有等与不等的关系，不能比较大小.只有当两个复数都是实数时才能比较大小.换言之，若两个复数能比较大小，则它们必为实数，即若a＋bic＋dia，b，c，d∈R，则ac，b＝d＝0.3．已知复数z＝3x－1－x＋(x2－4x＋3)i0，求实数x的值．[解]∵z0，∴z∈R.∴x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3.∵z0，∴3x－1－x0.对于不等式3x－1－x0，x＝1适合，x＝3不适合．∴x＝1.当堂达标固双基1．复数2－32i的虚部为()A．2B．－32C．2－32D．0[解析]由复数定义知C正确．[答案]C2．设集合A＝{实数}，B＝{纯虚数}，C＝{复数}，若全集S＝C，则下列结论正确的是()A．A∪B＝CB．A＝BC．A∩(SB)＝∅D．(SA)∪(SB)＝C[解析]集合A，B，C的关系如图，可知只有(SA)∪(SB)＝C正确．[答案]D3．若复数4－3a－a2i与复数a2＋4ai相等，则实数a的值为()A．1B．1或－4C．－4D．0或－4[解析]由复数相等的条件得4－3a＝a2，－a2＝4a，∴a＝－4.[答案]C4．已知z1＝m2－3m＋mi，z2＝4＋(5m＋4)i，其中m∈R，i为虚数单位，若z1＝z2，则m的值为________．[解析]由题意得m2－3m＋mi＝4＋(5m＋4)i，从而m2－3m＝4，m＝5m＋4，解得m＝－1.[答案]－15．已知m∈R，复数z＝mm＋2m－1＋(m2＋2m－3)i，当m为何值时：(1)z∈R；(2)z是虚数；(3)z是纯虚数；(4)z＝12－4i?[解](1)∵z∈R，∴m2＋2m－3＝0，m－1≠0，即m＝1或m＝－3，m≠1.∴当m＝－3时，z∈R.(2)∵z是虚数，∴m2＋2m－3≠0，m－1≠0，即m≠1且m≠－3，m≠1.∴当m≠1且m≠－3时，z是虚数．(3)∵z是纯虚数，∴m2＋2m－3≠0，mm＋2m－1＝0，即m≠1且m≠－3，m＝0或m＝－2，∴当m＝0或m＝－2时，z是纯虚数．(4)∵z＝12－4i，∴mm＋2m－1＝12，m2＋2m－3＝－4，即m＝－1或－12，m＝－1.∴m＝－1时，z＝12－4i.