2019-2020学年高中数学 第3章 三角恒等变形 2 两角和与差的三角函数 2.3 两角和与差的

第三章三角恒等变形§2两角和与差的三角函数2.3两角和与差的正切函数自主学习梳理知识课前基础梳理|学习目标|能够利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式，并能灵活运用公式及变形解决相关问题.两角和与差的正切公式(1)T(α＋β)：tan(α＋β)＝__________________.(2)T(α－β)：tan(α－β)＝__________________.以上两公式成立的条件是_________________________________________．tanα＋tanβ1－tanαtanβtanα－tanβ1＋tanαtanβα±β≠kπ＋π2，且α，β≠kπ＋π2(k∈Z)练一练已知1－tanα1＋tanα＝2，则tanα＋π4的值是()A．2B．－2C.12D．－12解析：解法一：由1－tanα1＋tanα＝2，得tanα＝－13，∴tanα＋π4＝tanα＋tanπ41－tanαtanπ4＝－13＋11－1－3×1＝12.解法二：∵1－tanα1＋tanα＝2，∴tanα＋π4＝tanα＋11－tanα＝12.答案：C1．公式S(α±β)，C(α±β)，T(α±β)之间有无联系？答：在公式的推导过程中，我们可以清楚地看到这些公式之间的内在联系，这种联系反映了一种重要的数学思想——代换，通过这一联系我们可以从本质上去认识这些公式．其联系如下：2．T(α＋β)的变形主要有哪几种形式？答：(1)1－tanαtanβ＝tanα＋tanβtanα＋β；(2)tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)；(3)tanαtanβtan(α＋β)＝tan(α＋β)－tanα－tanβ.典例精析规律总结课堂互动探究1化简求值类型计算：(1)1＋tan75°1－tan75°；(2)cos15°－sin15°cos15°＋sin15°；(3)tan15°＋tan30°＋tan15°tan30°.【解】(1)解法一：tan75°＝tan(45°＋30°)＝tan45°＋tan30°1－tan45°tan30°＝1＋331－33＝3＋33－3＝12＋636＝2＋3.∴1＋tan75°1－tan75°＝1＋2＋31－2－3＝3＋3－1－3＝－232＝－3.解法二：1＋tan75°1－tan75°＝tan45°＋tan75°1－tan45°·tan75°＝tan(45°＋75°)＝tan120°＝－tan60°＝－3.(2)cos15°－sin15°cos15°＋sin15°＝1－sin15°cos15°1＋sin15°cos15°＝1－tan15°1＋tan15°＝tan45°－tan15°1＋tan45°·tan15°＝tan(45°－15°)＝tan30°＝33.(3)公式tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanα·tanβ可变形为tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)，∴tan15°＋tan30°＋tan15°·tan30°＝tan45°(1－tan15°·tan30°)＋tan15°·tan30°＝tan45°＝1.【方法总结】在三角函数的化简、求值过程中，通常存在着两种形式的逆用：公式的逆用和特殊角三角函数的逆用．当式子中出现12，1，32，3这些特殊角的三角函数值时，往往就是“由值变角”的一种提示，可以根据问题的需要，将常数用三角函数式表示出来，以构成适合公式的形式，从而达到化简的目的．(1)1－3tan75°3＋tan75°＝________；(2)tan19°＋tan26°＋tan19°tan26°＝________.解析：(1)1－3tan75°3＋tan75°＝1－tan60°tan75°tan60°＋tan75°＝1tan60°＋75°＝1tan135°＝1－1＝－1.(2)因为tan45°＝tan(19°＋26°)＝tan19°＋tan26°1－tan19°tan26°＝1，所以tan19°＋tan26°＝1－tan19°tan26°，则tan19°＋tan26°＋tan19°tan26°＝1.答案：(1)－1(2)12给值求值类型已知tanπ12＋α＝2，tanβ－π3＝22，求：(1)tanα＋β－π4；(2)tan(α＋β)．【解】(1)tanα＋β－π4＝tanα＋π12＋β－π3＝tanα＋π12＋tanβ－π31－tanα＋π12·tanβ－π3＝2＋221－2·22＝－2.(2)tan(α＋β)＝tanα＋β－π4＋π4＝tanα＋β－π4＋tanπ41－tanα＋β－π4·tanπ4＝－2＋11－－2×1＝22－3.【方法总结】“给值求值”即给出某些角的三角函数的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于先用公式分析待求问题需要什么，然后利用化归的思想，把未知向已知转化．解题过程中须多加注意角的范围，必要时实行拆分角．(2018·全国卷Ⅱ)已知tanα－5π4＝15，则tanα＝________.解析：由tanα－5π4＝tanα－tan5π41＋tanα·tan5π4＝tanα－11＋tanα＝15，解得tanα＝32.答案：323给值求角类型已知tanα＝13，tanβ＝－2，且0＜α＜π2＜β＜π，求：(1)tan(α－β)的值；(2)角α＋β的值．【解】(1)因为tanα＝13，tanβ＝－2，所以tan(α－β)＝tanα－tanβ1＋tanαtanβ＝13＋21－23＝7.(2)tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝13－21＋23＝－1，因为0＜α＜π2＜β＜π，所以π2＜α＋β＜3π2，所以α＋β＝3π4.【方法总结】在求角问题中，常常出现忽视角的范围而出现增根不能排除的错误，因此在解答该类问题时，应尽量缩小角的范围，使得该范围内的角和所求得的函数值一一对应．已知：A、C均为锐角，且tanA，tanC是方程x2－3px＋1－p＝0(p≠0)的两个实根．求A＋C的值．解：∵tanA＋tanC＝3p，tanA·tanC＝1－p，∴tan(A＋C)＝tanA＋tanC1－tanA·tanC＝3p1－1－p＝3，又∵A、C为锐角，∴A＋C＝π3.已知tanα，tanβ是方程x2＋33x＋4＝0的两根，若α，β∈－π2，π2，则α＋β等于多少？【错解】因为tanα，tanβ是方程x2＋33x＋4＝0的两根，所以tanα＋tanβ＝－33，tanαtanβ＝4，所以tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝－331－4＝3.又α，β∈－π2，π2，所以－πα＋βπ，所以α＋β＝π3或－2π3.【错因分析】错解中未注意到隐含条件tanα＋tanβ＝－330，tanαtanβ0，即tanα0，tanβ0.∴－π2α0，－π2β0.【正解】由题意得tanα＋tanβ＝－330，tanαtanβ＝40，∴tanα0，tanβ0.又∵α，β∈－π2，π2，∴－π2α0，－π2β0.∴－πα＋β0.又∵tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝－331－4＝3，∴α＋β＝－2π3.即学即练稳操胜券基础知识达标知识点一给值求值1．若tanπ4－α＝3，则tanα的值为()A．－2B．－12C.12D．2解析：tanα＝tanπ4－π4－α＝1－tanπ4－α1＋tanπ4－α＝1－31＋3＝－12.答案：B2．已知tan(α＋β)＝25，tanβ－π4＝14，那么tanα＋π4＝()A.1318B．322C.1322D．518解析：∵tan(α＋β)＝25，tanβ－π4＝14，∴tan(α＋β)＝tanα＋π4＋β－π4＝tanα＋π4＋tanβ－π41－tanα＋π4tanβ－π4＝tanα＋π4＋141－14tanα＋π4＝25，∴5tanα＋π4＋54＝2－12tanα＋π4，∴tanα＋π4＝322.或tanα＋π4＝tanα＋β－β－π4＝tanα＋β－tanβ－π41＋tanα＋βtanβ－π4＝25－141＋25×14＝322.答案：B3．已知tanα＝12，则tanπ4＋α－11＋tanπ4＋α的值是()A．－3B．－1C．12D．2解析：tanπ4＋α－11＋tanπ4＋α＝tanπ4＋α－tanπ41＋tanπ4＋αtanπ4＝tanπ4＋α－π4＝tanα＝12.答案：C知识点二给值求角4．设tanα＝12，tanβ＝13，且α，β均为锐角，则α＋β的值是()A.π4B．3π4C.5π4D．π4或3π4解析：∵tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝12＋131－12×13＝1，又∵0απ2，0βπ2，∴0α＋βπ，∴α＋β＝π4.答案：A5．设α，β∈0，π2，且tanα＝17，tanβ＝43，则α－β等于()A.π3B．π4C.3π4D．－π4解析：tan(α－β)＝tanα－tanβ1＋tanαtanβ＝17－431＋17×43＝－1.∵tanα＜tanβ且α，β∈0，π2，∴α＜β.∴α－β＝－π4.答案：D