2019-2020学年高中数学 第3章 空间向量与立体几何 3.2.3 直线与平面的夹角课件 新人教

第三章空间向量与立体几何3．2空间向量在立体几何中的应用3．2.3直线与平面的夹角学习目标核心素养1.理解斜线和平面所成的角的定义，体会夹角定义的唯一性、合理性.2.会求直线与平面的夹角．(重点、难点)通过空间线面角提升学生的数学运算、逻辑推理素养.自主预习探新知1．直线和平面所成的角射影90°0°思考：直线l的方向向量s与平面的法向量n的夹角一定是直线和平面的夹角吗？[提示]不是．直线和平面的夹角为π2－〈s，n〉.2．最小角定理射影最小的角cosθ=cosθ1﹒cosθ21．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l与平面α所成的角等于()A．120°B．60°C．30°D．以上均错C[设直线l与平面α所成的角为θ，则sinθ＝|cos120°|＝12，又∵0θ≤90°，∴θ＝30°.]2．已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量、法向量，若cos〈m，n〉＝－12，则直线l与平面α所成的角为()A．30°B．60°C．120°D．150°A[由cos〈m，n〉＝－12，得〈m，n〉＝120°，∴直线l与平面α所成的角为|90°－120°|＝30°.]3．如图所示，在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为CC1的中点，则直线A1B与平面BDE所成的角为()A.π6B.π3C.π2D.5π6B[以D为原点，DA→，DC→，DD1→的方向为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系(图略)，则D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，E0，1，12，所以DB→＝(1,1,0)，DE→＝0，1，12，易得平面BDE的法向量n＝(1，－1,2)，而BA1→＝(0，－1,1)，∴cos〈n，BA1→〉＝1＋223＝32，∴〈n，BA1→〉＝π6.∴直线A1B与平面BDE所成角为π2－π6＝π3.]合作探究提素养用向量求直线与平面所成的角【例1】已知三棱锥P­ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA＝AC＝12AB，N为AB上一点，AB＝4AN，M，S分别是PB，BC的中点．(1)证明：CM⊥SN；(2)求SN与平面CMN所成的角的大小．[思路探究]建立空间直角坐标系，写出有关点的坐标，向量的坐标，计算CM→，SN→的数量积，证明(1)；求出平面CMN的法向量，求线面角的余弦，求得线面角．[解]如图，设PA＝1，以A为原点，直线AB，AC，AP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．则P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(2,0,0)，M1，0，12，N12，0，0，S1，12，0.(1)证明：CM→＝1，－1，12，SN→＝－12，－12，0，因为CM→·SN→＝－12＋12＋0＝0，所以CM⊥SN.(2)NC→＝－12，1，0，设a＝(x，y，z)为平面CMN的一个法向量．由a·CM→＝0，a·NC→＝0，得x－y＋12z＝0，－12x＋y＝0，令x＝2，得a＝(2,1，－2)，∵|cos〈a，SN→〉|＝－1－123×22＝22，∴SN与平面CMN所成角为45°.用向量法求线面角的步骤(1)建立空间直角坐标系；(2)求直线的方向向量AB→；(3)求平面的法向量n；(4)计算：设线面角为θ，则sinθ＝|n·AB→||n|·|AB→|.1．如图所示，在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，P是侧棱CC1上的一点，CP＝m，试确定m，使直线AP与平面BDD1B1所成角的正切值为32.[解]建立如图所示的空间直角坐标系．则A(1,0,0)，B(1,1,0)，P(0,1，m)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，B1(1,1,1)，D1(0,0,1)，所以BD→＝(－1，－1,0)，BB1→＝(0,0,1)，AP→＝(－1,1，m)，AC→＝(－1,1,0)，又由AC→·BD→＝0，AC→·BB1→＝0，知AC→为平面BB1D1D的一个法向量，设AP与平面BB1D1D所成的角为θ.则sinθ＝|AP→·AC→||AP→||AC→|＝22＋m2·2＝22＋m2.cosθ＝1－sin2θ＝m2＋m2，依题意2m＝32，解得m＝13，故当m＝13时，直线AP与平面BDD1B1所成角的正切值为32.用定义法解决直线与平面的夹角问题[探究问题]1．用定义法求直线与平面夹角的关键是什么？[提示]寻找直线与平面的夹角，即准确确定直线在平面内的投影．2．定义法求直线与平面夹角的基本思路是什么？[提示]①若直线与平面平行或直线在平面内，则直线与平面的夹角为0；②若直线与平面垂直，则直线与平面的夹角为π2；③若直线与平面相交但不垂直，设直线与平面的交点为O，在直线上任取异于O点的另一点P，过P作平面的垂线PA，A为垂足，则OA即为直线在平面内的投影，∠AOP即为直线与平面的夹角，然后通过解三角形求出直线与平面夹角的大小．【例2】如图所示，在三棱锥P­ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB，∠ABC＝60°，∠BCA＝90°.(1)求证：BC⊥平面PAC；(2)若D为PB的中点，试求AD与平面PAC夹角的正弦值．[思路探究](1)证明BC和平面PAC内的两条相交直线垂直．(2)作出AD在平面PAC内的射影后，构造三角形求解．[解](1)因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC.又∠BCA＝90°，所以AC⊥BC，又AC⊂平面PAC，PA⊂平面PAC，PA∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC.(2)取PC的中点E，连接DE.因为D为PB的中点，所以DE∥BC，所以DE⊥平面PAC.连接AE，AD，则AE是AD在平面PAC内的投影，所以∠DAE是直线AD与平面PAC的夹角．设PA＝AB＝a，在直角三角形ABC中．因为∠ABC＝60°，∠BCA＝90°，所以BC＝a2，DE＝a4，在直角三角形ABP中，AD＝22a，所以sin∠DAE＝DEAD＝a422a＝24.即AD与平面PAC夹角的正弦值为24.1．(改变问法)若本例条件不变，问题(2)改为：D为PB上的一点，且BD＝13PB，试求AD与平面PAC夹角的正弦值．[解]由已知BC⊥AC，BC⊥PA，AC∩PA＝A，所以BC⊥平面PAC，BC⊥PC，过PB的三等分点D作DE∥BC，则DE⊥平面PAC，连接AE，AD，则∠DAE为AD与平面PAC的夹角，不妨设PA＝AB＝1，因为∠ABC＝60°，所以BC＝12，DE＝23×12＝13，PB＝2，BD＝23.在△ABD中AD2＝AB2＋BD2－2AB·BD·cos45°＝59，AD＝53，所以sin∠DAE＝DEAD＝1353＝55.即AD与平面PAC夹角的正弦值为55.2．(改变问法)若本例的题(2)条件不变，求AD与平面PBC的夹角的正弦值，结果如何？[解]由例题(1)知BC⊥平面PAC，所以平面PAC⊥平面PBC.过A作AE⊥PC.所以AE⊥平面PBC.连接ED，则∠ADE为AD与平面PBC的夹角．设PA＝2a，AB＝2a，所以PB＝22a.故AD＝2a.在△APC中AP＝2a，AC＝AB·sin60°＝2a×32＝3a，所以PC＝3a2＋4a2＝7a，设∠ACP＝θ，则AE＝AC·sinθ＝AC×APPC＝3a×2a7a＝237a＝2217a，所以sin∠ADE＝AEAD＝221a72a＝427.即AD与平面PBC夹角的正弦值为427.作直线与平面夹角的一般方法：在直线上找一点，通过这个点作平面的垂线，从而确定射影，找到要求的角.其中关键是作平面的垂线，此方法简称为“一作，二证，三计算”.公式cosθ＝cosθ1·cosθ2的应用【例3】∠BOC在平面α内，OA是平面α的一条斜线，若∠AOB＝∠AOC＝60°，OA＝OB＝OC＝a，BC＝2a，求OA与平面α所成的角．[思路探究]根据定义或cosθ＝cosθ1·cosθ2求解．[解]法一：∵OA＝OB＝OC＝a，∠AOB＝∠AOC＝60°，∴AB＝AC＝a.又∵BC＝2a，∴AB2＋AC2＝BC2.∴△ABC为等腰直角三角形．同理△BOC也为等腰直角三角形．取BC中点为H，连接AH，OH，∴AH＝22a，OH＝22a，AO＝a，AH2＋OH2＝AO2.∴△AHO为等腰直角三角形．∴AH⊥OH.又∵AH⊥BC，OH∩BC＝H，∴AH⊥平面α.∴OH为AO在α平面内的射影，∠AOH为OA与平面α所成的角．在Rt△AOH中，∴sin∠AOH＝AHAO＝22.∴∠AOH＝45°.∴OA与平面α所成的角为45°.法二：∵∠AOB＝∠AOC＝60°，∴OA在α内的射影为∠BOC的平分线，作∠BOC的角平分线OH交BC于H.又OB＝OC＝a，BC＝2a，∴∠BOC＝90°.故∠BOH＝45°，由公式cosθ＝cosθ1·cosθ2，得cos∠AOH＝cos∠AOBcos∠BOH＝22，∴OA与平面α所成的角为45°.求线面角关键是确定斜线在平面上射影的位置，只有确定了射影，才能将空间角转化为平面角．在本例中，也可以直接作AH⊥BC于H，进而证明AH⊥平面α，从而证明H是点A在平面α内的射影．解法二则灵活应用公式cosθ＝cosθ1·cosθ2求线面角，也是常用的方法．2．如图所示，四棱锥P­ABCD中，ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD.若∠PBC＝60°，求直线PB与平面ABCD所成的角θ.[解]由题意得∠CBD＝45°，∠PBD即为直线PB与平面ABCD所成的角θ.∵cos∠PBC＝cosθ·cos∠CBD，∠PBC＝60°.即cos60°＝cosθ·cos45°，∴cosθ＝22，θ＝45°.当堂达标固双基1．思考辨析(1)直线与平面的夹角不是锐角就是直角．()(2)斜线和它在平面内的射影所成的角是锐角．()(3)直线与平面的夹角的范围是[0°，90°]．()[提示](1)×角的度数还可以是零度．(2)√(3)√2．若直线l与平面α所成角为π3，直线a在平面α内，且与直线l异面，则直线l与直线a所成角的取值范围是()A.0，2π3B.π2，2π3C.π3，2π3D.π3，π2D[由最小角定理知直线l与直线a所成的最小角为π3，又l，a为异面直线，则所成角的最大值为π2.]3．正方体ABCD­A1B1C1D1中，O为侧面BCC1B1的中心，则AO与平面ABCD所成角的正弦值为()A.33B.12C.66D.36C[取BC中点M，连接AM，OM，易知∠OAM即为AO与平面ABCD所成的角，可求得sin∠OAM＝66.]4．若平面α的一个法向量n＝(2,1,1)，直线l的一个方向向量为a＝(1,2,3)，则l与α所成角的正弦值为________．216[cos〈a，n〉＝a·n|a||n|＝1×2＋2×1＋3×11＋4＋9·4＋1＋1＝2＋2＋314×6＝216，所以l与平面α所成角的正弦值为216.]