2019-2020学年高中数学 第3章 空间向量与立体几何 3.1.5 空间向量的数量积课件 苏教版

第3章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.1.5空间向量的数量积学习目标核心素养1.掌握空间向量的夹角的概念，掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律．(重点)2.掌握空间向量数量积的坐标形式，会用向量的方法解决有关垂直、夹角和距离的简单问题．(重点、难点)3.了解向量夹角与直线所成角的区别．(易错点)1.通过数量积的概念、性质和运算律的学习，培养逻辑推理素养．2.借助空间角、距离等问题，提升数学运算素养.自主预习探新知1．空间向量的夹角a，b是空间两个非零向量，过空间任意一点O，作OA→＝a，OB→＝b，则_______叫做向量a与向量b的夹角，记作______，a，b的范围是_______，如果〈a，b〉＝π2，则称a与b__________，记作_____.∠AOB〈a，b〉[0，π]互相垂直a⊥b2．空间向量的数量积(1)数量积的定义设a，b是空间两个非零向量，我们把数量______________叫做向量a，b的数量积，记作a·b，即___________________．规定：零向量与任一向量的数量积为__.|a||b|·cos〈a，b〉a·b＝|a||b|cos〈a，b〉0(2)数量积的性质a，b＝_____(a，b是两个非零向量)．(2)a⊥b⇔a·b＝0(a，b是两个非零向量)．(3)|a|2＝____＝___.(3)数量积的运算律(1)a·b＝_____；(2)(λa)·b＝________(λ∈R)；(3)a·(b＋c)＝_________.a·b|a||b|a·aa2b·aλ(a·b)a·b＋a·c3．数量积的坐标表示(1)若a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则(1)a·b＝_______________.(2)a⊥b⇔a·b＝0⇔__________________(a≠0，b≠0)．(3)|a|＝a·a＝______________.(4)cos〈a，b〉＝_______________________(a≠0，b≠0)．x1x2＋y1y2＋z1z2x1x2＋y1y2＋z1z2＝0x21＋y21＋z21x1x2＋y1y2＋z1z2x21＋y21＋z21·x22＋y22＋z22(2)空间两点间距离公式设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则AB＝___________________________.x1－x22＋y1－y22＋z1－z22思考：(1)若a·b＝0，则一定有a⊥b吗？(2)若a·b0，则〈a，b〉一定是锐角吗？[提示](1)若a·b＝0，则不一定有a⊥b，也可能a＝0或b＝0(2)当〈a，b〉＝0时，也有a·b0，故当a·b0时，〈a·b〉不一定是锐角．D[△B′D′C是等边三角形，〈A′B→，B′D′→〉＝〈D′C→，B′D′→〉＝120°.]1．已知正方体ABCD­A′B′C′D′的棱长为a，设AB→＝a，AD→＝b，AA′→＝c，则〈A′B→，B′D′→〉等于()A．30°B．60°C．90°D．120°D[ka＋b＝(k－1，k,2)，2a－b＝(3,2，－2)，且(ka＋b)·(2a－b)＝3(k－1)＋2k－4＝0，解得k＝75.]2．已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k＝()A.1B.15C.35D.75(1，－1，－1)3[AB→＝(1，－1，－1)，|AB→|＝12＋－12＋－12＝3.]3．若点A(0,1,2)，B(1,0,1)，则AB→＝_________，|AB|→＝__________.23π[cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝－33×2＝－12.所以〈a，b〉＝23π.]4．已知|a|＝3，|b|＝2，a·b＝－3，则〈a，b〉＝________.合作探究提素养求空间向量的数量积【例1】已知长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为侧面AA1B1B的中心，F为A1D1的中点．求下列向量的数量积．(1)BC→·ED1→；(2)BF→·AB1→.[思路探究]法一(基向量法)：BC→与ED1→，BF→与AB1→的夹角不易求，可考虑用向量AB→，AD→，AA1→表示向量BC→，ED1→，BF→，AB1→，再求结论即可．法二(坐标法)：建系→求相关点坐标→向量坐标→数量积．[解]法一(基向量法)：如图所示，设AB→＝a，AD→＝b，AA1→＝c，则|a|＝|c|＝2，|b|＝4，a·b＝b·c＝c·a＝0.(1)BC→·ED1→＝BC→·(EA1→＋A1D1→)＝b·12c－a＋b＝|b|2＝42＝16.(2)BF→·AB1→＝(BA1→＋A1F→)·(AB→＋AA1→)＝c－a＋12b·(a＋c)＝|c|2－|a|2＝22－22＝0.法二(坐标法)：以A为原点建立空间直角坐标系，如上图所示，则B(2,0,0)，C(2,4,0)，E(1,0,1)，D1(0,4,2)，F(0，2,2)，A(0,0,0)，B1(2,0,2)，∴BC→＝(0,4,0)，ED1→＝(－1,4,1)，BF→＝(－2,2,2)，AB1→＝(2,0,2)，(1)BC→·ED1→＝0×(－1)＋4×4＋0×1＝16.(2)BF→·AB1→＝－2×2＋2×0＋2×2＝0.解决此类问题的常用方法1．基向量法：首先选取基向量，然后用基向量表示相关的向量，最后利用数量积的定义计算．注意：基向量的选取要合理，一般选模和夹角都确定的向量．2．坐标法：对于建系比较方便的题目，采用此法比较简单，只需建系后找出相关点的坐标，进而得向量的坐标，然后利用数量积的坐标公式计算即可．1．在上述例1中，求EF→·FC1→.[解]法一：EF→·FC1→＝12c－a＋12b·12b＋a＝12(－a＋b＋c)·12b＋a＝－12|a|2＋14|b|2＝2.法二：以A为原点建立空间直角坐标系，则E(1,0,1)，F(0，2,2)，C1(2,4,2)，∴EF→＝(－1,2,1)，FC1→＝(2,2,0)，∴EF→·FC1→＝－1×2＋2×2＋1×0＝2.利用数量积求夹角和距离如图所示，在平行六面体ABCD­A′B′C′D′中，AB＝4，AD＝3，AA′＝5，∠BAD＝90°，∠BAA′＝∠DAA′＝60°.(1)求AC′的长；(2)求AC′→与AC→的夹角的余弦值．[思路探究]求线段长，要利用向量的方法求解，关键是找到表示AC′的基向量，只要模与夹角均可知，则问题可求解，求夹角问题则是向量数量积的逆用．[解](1)∵AC′→＝AB→＋AD→＋AA′→，∴|AC′→|2＝(AB→＋AD→＋AA′→)2＝|AB→|2＋|AD→|2＋|AA′→|2＋2(AB→·AD→＋AB→·AA′→＋AD→·AA′→)＝42＋32＋52＋2(0＋10＋7.5)＝85.∴|AC′→|＝85.(2)法一：设AC′→与AC→的夹角为θ，∵ABCD是矩形，∴|AC→|＝32＋42＝5.由余弦定理可得cosθ＝AC′2＋AC2－CC′22AC′·AC＝85＋25－252·85·5＝8510.法二：设AB→＝a，AD→＝b，AA′→＝c，依题意得AC′→·AC→＝(a＋b＋c)·(a＋b)＝a2＋2a·b＋b2＋a·c＋b·c＝16＋0＋9＋4×5×cos60°＋3×5×cos60°＝16＋9＋10＋152＝852，∴cosθ＝AC′→·AC→|AC′→|·|AC→|＝85285×5＝8510.1．求两点间的距离或某线段的长度，就是把此线段用向量表示，然后用|a|2＝a·a，即|a|＝a·a通过向量运算求|a|.2．对于空间向量a，b，有cos〈a，b〉＝a·b|a||b|.利用这一结论，可以较方便地求解异面直线所成角的问题，由于向量的夹角的取值范围为[0，π]，而异面直线所成的角的取值范围为0，π2，故〈a，b〉∈0，π2时，它们相等；而当〈a，b〉∈π2，π时，它们互补．2．如图，正四面体ABCD中，M，N分别为棱BC，AB的中点，设AB→＝a，AC→＝b，AD→＝c.(1)用a，b，c分别表示向量DM→，CN→；(2)求异面直线DM与CN所成角的余弦值．[解](1)DM→＝12(DB→＋DC→)＝12[(AB→－AD→)＋(AC→－AD→)]＝12[(a－c)＋(b－c)]＝12(a＋b－2c)，CN→＝12(CB→＋CA→)＝12[(AB→－AC→)－AC→]＝12[(a－b)－b]＝12(a－2b)．(2)设棱长为1，即|a|＝|b|＝|c|＝1且〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝π3，则|DM→|＝|CN→|＝32.又DM→·CN→＝14(a＋b－2c)·(a－2b)＝14(a2＋a·b－2a·c－2a·b－2b2＋4b·c)＝－18，∴cos〈DM→，CN→〉＝DM→·CN→|DM→||CN→|＝－1832×32＝－16.∴异面直线DM与CN所成角的余弦值为16.利用数量积解决平行和垂直问题已知a＝(λ＋1,1,2λ)，b＝(6,2m－1,2)．(1)若a∥b，分别求λ与m的值；(2)若|a|＝5，且a与c＝(2，－2λ，－λ)垂直，求a.[思路探究]利用向量平行、垂直、向量的模列方程组求解．[解](1)由a∥b，得(λ＋1,1,2λ)＝k(6,2m－1,2)，∴λ＋1＝6k，1＝k2m－1，2λ＝2k，解得λ＝k＝15，m＝3.∴实数λ＝15，m＝3.(2)∵|a|＝5，且a⊥c，∴λ＋12＋12＋2λ2＝5，λ＋1，1，2λ·2，－2λ，－λ＝0，化简，得5λ2＋2λ＝3，2－2λ2＝0，解得λ＝－1.因此，a＝(0,1，－2)．向量平行与垂直问题主要有两种题型1．平行与垂直的判断．2．利用平行与垂直求参数或其他问题，即平行与垂直的应用．3．如图所示，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M是A1B1的中点．求证：A1B⊥C1M.[证明]如图所示，以CA→，CB→，CC1→为正交基底，建立空间直角坐标系C­xyz.依题意得B(0,1,0)，A1(1,0,2)，C10，0，2)，B1(0,1,2)，则M12，12，2，于是A1B→＝(－1,1，－2)，C1M→＝12，12，0，∴A1B→·C1M→＝－12＋12＋0＝0，∴A1B→⊥C1M→，故A1B⊥C1M.1．空间向量运算的两种方法(1)利用定义：利用a·b＝|a||b|cos〈a，b〉并结合运算律进行计算．(2)利用图形：计算两个数量的数量积，可先将各向量移到同一顶点，利用图形寻找夹角，再代入数量积公式进行运算．2．在几何体中求空间向量数量积的步骤(1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式．(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积．(3)代入a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求解．3．空间向量的数量积和夹角有关，经常以空间向量数量积为工具，解决立体几何中与夹角相关的问题，把空间两条直线所成的角问题转化为两条直线对应向量的夹角问题，但要注意空间两条直线所成的角与对应向量的夹角的取值范围．注意：(1)a·b＝a·cb＝c(向量的数量积不满足消去律)；(2)a·b＝ka＝kb或b＝ka(3)(a·b)c≠a(b·c)．当堂达标固双基[答案](1)×(2)×(3)√(4)×1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若a·b＝0，则a＝0或b＝0.()(2)在△ABC中，〈AB→，BC→〉＝∠B.()(3)两个向量的数量积是数量，而不是向量．()(4)若a，b均为非零向量，则a·b＝|a||b|是a与b共线的充要条件．()B[由题意可得a·b＝0，e1·e2＝0，|e1|＝|e2|＝1，∴(2e1＋3e2)·(ke1－4e2)＝0，∴