2019-2020学年高中数学 第3章 空间向量与立体几何 3.1.2 空间向量的数乘运算课件 新人

第三章空间向量与立体几何3．1空间向量及其运算3．1.2空间向量的数乘运算梳理知识夯实基础自主学习导航目标导学1．掌握空间向量的数乘运算．2．理解共线向量定理、共面向量定理及推论．‖知识梳理‖一、数乘的定义及运算律1．实数λ与空间向量a的积仍然是一个向量，记作λa，称为向量的数乘运算．(1)λa的长度是______.(2)λa的方向：当λ＞0时，与a的方向___________；当λ＜0时，与a的方向___________．2．分配律：(λ＋μ)a＝_________，λ(a＋b)＝__________；结合律：λ(μa)＝__________.相同相反|λa|λa＋μaλa＋λb(λμ)a二、共线向量与共面向量1．(1)共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相___________或___________，则这些向量叫做共线向量或平行向量．(2)对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使_________.平行重合a＝λb(3)方向向量：如图，l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，对空间任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使OP→＝OA→＋ta，其中向量a叫做直线l的___________．方向向量2．(1)共面向量：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量．(2)如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使___________.p＝xa＋yb解剖难点探究提高重点难点突破实数与向量可以求积，不可以进行加减运算，比如λ±a都没有意义，实数λ与向量a相乘，所得的结果仍是向量，特别注意λ＝0或a＝0的讨论．空间共线向量与平面共线向量的定义完全一样，当我们说a，b共线时，表示a，b的两条有向线段所在的直线既可能是同一条直线，也可能是平行直线；当我们说a∥b时，也具有相同的意义，且0与任意向量都共线．空间一点P位于平面MAB内的充要条件是：存在有序实数对(x，y)，使MP→＝xMA→＋yMB→.满足这个关系式的点P都在平面MAB内；反之，平面MAB内的任一点P都满足这个关系式．这个充要条件常用以证明四点共面．共面向量的充要条件是判断三个向量是否共面的依据，也可用来把已知共面条件转化为向量式，以便应用向量这一工具．另外，在许多情况下，可以用“若存在有序实数组(x，y，z)，使得对于空间任意一点O，都有OP→＝xOA→＋yOB→＋zOC→，且x＋y＋z＝1成立，则P，A，B，C四点共面”作为判定空间中四点共面的依据．归纳透析触类旁通课堂互动探究题型一空间向量的数乘运算设四面体ABCD的三条棱所表示的向量分别为AB→＝b，AC→＝c，AD→＝d.求四面体其他棱所表示的向量以及△BCD的边BC上的中线对应的向量DM→和向量AQ→，其中Q为△BCD的重心．【思路探索】可用空间向量的加、减法及数乘运算将未知向量用已知向量表示．△BCD的中线DM→＝12(DB→＋DC→)，由Q为△BCD的重心，则DQ→＝23DM→.【解】BD→＝BA→＋AD→＝－AB→＋AD→＝d－b.BC→＝BA→＋AC→＝c－b.CD→＝CA→＋AD→＝d－c.DM→＝12(DB→＋DC→)＝12(b－d＋c－d)＝12(b＋c－2d)．AQ→＝AD→＋DQ→＝AD→＋23DM→＝d＋13(b＋c－2d)＝13(b＋c＋d)．[名师点拨]用已知向量表示未知向量，体现了向量的数乘运算．解题时要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量逐渐转化为已知向量．如图，已知空间四边形OABC，M，N分别是边OA，BC的中点，点G在MN上，且MG＝2GN，设OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，试用a，b，c表示向量OG→.解：OG→＝OM→＋MG→＝12OA→＋23MN→＝12OA→＋23(MA→＋AB→＋BN→)＝12OA→＋2312OA→＋OB→－OA→＋12BC→＝12OA→＋23OB→－12OA→＋12OC→－OB→＝16OA→＋13OB→＋13OC→＝16a＋13b＋13c.题型二共线问题如图所示，在三棱锥S－ABC中，D，E分别为SA，SC的中点，F，G分别在AB，BC上，且BFFA＝BGGC＝12，判断DE→与FG→是否共线．【思路探索】欲判断DE→与FG→是否共线，只需判断是否存在常数t，使得DE→＝tFG→即可．【解】∵DE→＝SE→－SD→，又∵D，E分别为SA，SC的中点，∴SD→＝12SA→，SE→＝12SC→，故DE→＝12(SC→－SA→)＝12AC→.同理，可得FG→＝13AC→.∴DE→＝32FG→，即DE→与FG→共线．[名师点拨]判断两个向量共线，就是寻求一个常数t，使a＝tb，在解题时要充分运用空间向量的运算法则，结合图形求解．特别地当证明(判断)如“A，B，P”三点共线时，若O为线外一点，只需OP→＝OA→＋tAB→＝(1－t)OA→＋tOB→即可，注意OA→与OB→的系数之和为1.如图所示，ABCD，ABEF都是平行四边形且不共面．M，N分别是AC，BF的中点．试判断CE→与MN→是否共线？解：∵M，N分别是AC，BF的中点，而四边形ABCD，ABEF都是平行四边形．∴MN→＝MA→＋AF→＋FN→＝12CA→＋AF→＋12FB→.又∵MN→＝MC→＋CE→＋EB→＋BN→＝12AC→＋CE→＋FA→＋12BF→＝－12CA→＋CE→－AF→－12FB→，∴12CA→＋AF→＋12FB→＝－12CA→＋CE→－AF→－12FB→，∴CE→＝CA→＋2AF→＋FB→＝2(MA→＋AF→＋FN→)＝2MN→，∴CE→∥MN→，∴CE→与MN→共线．题型三共面问题对于空间任一点O和不共线的三点A，B，C，有OP→＝xOA→＋yOB→＋zOC→(x，y，z∈R)，则x＋y＋z＝1是P，A，B，C四点共面的()A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【思路探索】欲证四点共面，可证向量共面，再说明有公共点即可．【解析】∵OP→＝xOA→＋yOB→＋zOC→＝xOA→＋yOB→＋(1－x－y)OC→，∴OP→－OC→＝x(OA→－OC→)＋y(OB→－OC→)，∴CP→＝xCA→＋yCB→，∴CP→，CA→，CB→共面．又∵CP→，CA→，CB→有公共点C，∴点P，A，B，C共面．反之也成立．【答案】C[名师点拨]证明三个向量(或四点共面)，只需利用共面向量的定理即可，也可以根据共面向量的定义求解.已知三个向量a，b，c不共面，并且p＝a＋b－c，q＝2a－3b－5c，r＝－7a＋18b＋22c，向量p，q，r是否共面？解：假设存在实数λ，μ，使p＝λq＋μr，则a＋b－c＝λ(2a－3b－5c)＋μ(－7a＋18b＋22c)＝(2λ－7μ)a＋(－3λ＋18μ)b＋(－5λ＋22μ)c，∴2λ－7μ＝1，－3λ＋18μ＝1，－5λ＋22μ＝－1，解得λ＝53，μ＝13.∴存在实数λ＝53，μ＝13，使p＝53q＋13r，∴p，q，r共面．如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，且M，N分别为BD，AE的中点，求证：MN∥平面CDE.【思路探索】欲证MN∥平面CDE，可用共面向量的定理，结合线面平行的判定定理求解．【证明】证法一：∵M为BD的中点，∴MB→＝12DB→＝12(DC→＋DA→)．又∵N为AE的中点，∴AN→＝12(AD→＋AF→)＝12(－DA→＋DE→)．又∵MN→＝MB→＋BA→＋AN→＝12DC→＋12DA→－DC→－12DA→＋12DE→＝12DE→－12DC→.又DE→与DC→不共线，根据向量共面的充要条件，可知MN→，CD→，DE→共面．又MN⊄平面CDE，∴MN∥平面CDE.证法二：如图，连接AC，∵四边形ABCD为矩形，∴M在AC上，且为AC的中点．∵MN→＝AN→－AM→，又∵M，N分别为AC，AE的中点，∴AN→＝12AE→，AM→＝12AC→，故MN→＝12(AE→－AC→)＝12CE→.∴MN→与CE→共线；又CE⊂平面CDE，MN⊄平面CDE，∴MN∥面CDE.[名师点拨]利用向量判断线面平行的方法常见的有两种：一种是利用共线向量定理，找出平面内的一个向量与直线上的向量共线；另一种是利用共面向量定理，找出平面内不共线的两个向量表示出直线上的向量．这两种方法都要注意说明直线不在平面内．如图所示，若P为平行四边形ABCD所在平面外一点，点H为PC上的点，且PHHC＝12，点G在AH上，且AGAH＝m.若G，B，P，D四点共面，求m的值．解：连接BD，BG.∵AB→＝PB→－PA→，AB→＝DC→，∴DC→＝PB→－PA→.∵PC→＝PD→＋DC→，∴PC→＝PD→＋PB→－PA→.∵PHHC＝12，∴PH→＝13PC→，∴PH→＝13(－PA→＋PB→＋PD→)＝－13PA→＋13PB→＋13PD→.又∵AH→＝PH→－PA→，∴AH→＝－43PA→＋13PB→＋13PD→，∵AGAH＝m，∴AG→＝mAH→＝－4m3PA→＋m3PB→＋m3PD→，∴BG→＝BA→＋AG→＝PA→－PB→＋AG→＝1－4m3PA→＋m3－1PB→＋m3PD→.又∵G，B，P，D四点共面，∴1－4m3＝0，解得m＝34.即学即练稳操胜券课堂基础达标1．若空间中任意四点O，A，B，P满足OP→＝mOA→＋nOB→，其中m＋n＝1，则()A．P∈ABB．P∉ABC．点P可能在直线AB上D．以上都不对解析：因为m＋n＝1，所以m＝1－n，所以OP→＝(1－n)OA→＋nOB→，即OP→－OA→＝n(OB→－OA→)，即AP→＝nAB→，所以AP→与AB→共线．又AP→，AB→有公共起点A，所以P，A，B三点在同一直线上，即P∈AB.答案：A2．对空间一点O，若OP→＝18OA→＋34OB→＋18OC→，则A，B，C，P四点()A．一定不共面B．一定共面C．不一定共面D．四点共线解析：∵18＋34＋18＝1，∴P，A，B，C四点共面．故选B.答案：B3．下列命题中，正确的命题个数为()①若a∥b，则a与b方向相同或相反；②若AB→∥CD→，则A，B，C，D四点共线；③若a，b不共线，则空间任一向量p＝λa＋μb(λ，μ∈R)．A．0B．1C．2D．3解析：①中，当a，b有零向量时，不正确；②中，当AB→∥CD→时，则A，B，C，D四点共面，不一定共线，不正确；③中，当p，a，b共面时，才能有p＝λa＋μb，故③不正确．答案：A4．已知A，B，C三点不共线，O是平面ABC外任一点，若由OP→＝15OA→＋23OB→＋λOC→确定的一点P与A，B，C三点共面，则λ＝________.解析：∵OP→＝15OA→＋23OB→＋λOC→，又P与A，B，C三点共面，∴15＋23＋λ＝1，∴λ＝215.答案：2155．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E在A1D1上，且A1E→＝2ED1→，F在对角线A1C上，且A1F→＝23FC→.求证：E，F，B三点共线．证明：设AB→＝a，AD→＝b，AA1→＝c.∵A1E→＝2ED1→，A1F→＝23FC→，∴A1E→＝23A1D1→，A1F→＝25A1C→.∴A1E→＝23AD→＝23b，A1F→＝25(AC→－AA1→)＝25(AB→＋AD→－AA1→)＝25a＋25b－25c.∴EF→＝A1F→－A1E→＝25a－415b－25c＝25a－23b－c.又EB→＝EA1→＋A1A→＋AB→＝－23b－c＋a＝a－23b－c，∴EF→＝25EB→.又有公共点B.所以E，F，B三点共线．