2019-2020学年高中数学 第3章 概率 3.1.4 概率的加法公式课件 新人教B版必修3

第三章概率3.1事件与概率3.1.4概率的加法公式学习目标核心素养1.理解互斥事件、对立事件的概念，会判断具体问题中的互斥与对立事件．(重点、难点、易混点)2．会用互斥事件的概率公式求概率．(重点)3．会用对立事件的概率公式求概率．(重点)1.通过互斥事件、对立事件概念的学习，体现了数学抽象的数学核心素养．2．通过互斥事件、对立事件概率公式的学习，培养数学运算的数学核心素养.自主探新知预习1．事件的关系事件定义图形表示互斥事件在同一试验中，________________的两个事件A与B叫做互斥事件不可能同时发生事件的并一般地，由事件A和B中(即A发生，或B发生或所构成的事件C，称为事件A与B的并(或和)，记作A∪B互为对立事件在同一试验中，不能且的两个事件叫做互为对立事件，事件A的对立事件记作____A∪A＝ΩA至少有一个发生A，B都发生C＝A∪B同时发生必有一个发生思考：如果A、B是对立事件，那么它们是互斥事件吗？[提示]是．2．互斥事件的概率加法公式(1)若A，B是互斥事件，则P(A∪B)＝．(2)若A是A的对立事件，则P(A)＝．(3)若A1，A2，…，An两两互斥，则P(A1∪A2∪…∪An)＝________________________．P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)P(A)＋P(B)1－P(A)1．下列说法正确的是()A．如果两个事件是互斥事件，那么这两个事件一定是对立事件B．如果两个事件是对立事件，那么这两个事件一定是互斥事件C．对立事件和互斥事件没有区别，意义相同D．对立事件和互斥事件没有任何联系B[对立事件必互斥，互斥事件未必对立，故选B.]2．P(A)＝0.1，P(B)＝0.2，则P(A∪B)等于()A．0.3B．0.2C．0.1D．不确定D[由于不能确定A与B互斥，则P(A∪B)的值不能确定．]3．一商店有奖促销活动中有一等奖与二等奖两个奖项，其中中一等奖的概率为0.1，中二等奖的概率为0.25，则不中奖的概率为________．0．65[中奖的概率为0.1＋0.25＝0.35，中奖与不中奖互为对立事件，所以不中奖的概率为1－0.35＝0.65.]4．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为0.2，两人下成和棋的概率为0.4，则甲不输的概率是________．0．6[若设甲获胜为事件A，两人下成和棋为事件B，则甲不输为A∪B，因为A、B为互斥事件，故P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.2＋0.4＝0.6.]合作提素养探究互斥事件与对立事件的判定[探究问题]1．事件A∪B中的基本事件与事件A、B中的基本事件有什么关系？[提示]事件A∪B是由事件A或事件B所包含的基本事件所组成的集合．2．事件A、B不可能同时发生时称其为互斥事件，如何从A、B所含的基本事件上理解“不可能同时发生”的含义？[提示]事件A、B的基本事件中没有重复的．(没有交集)3．在一次试验中，对立的两个事件会都不发生吗？它们的和事件是什么事件？[提示]在一次试验中，事件A与它的对立事件只能发生其一，且必然发生其一，不能两个都不发生．其和事件是必然事件．【例1】某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件：(1)“恰有1名男生”与“恰有2名男生”；(2)“至少有1名男生”与“全是男生”；(3)“至少有1名男生”与“全是女生”；(4)“至少有1名男生”与“至少有1名女生”．[思路探究]紧扣互斥事件与对立事件的定义判断．[解]从3名男生和2名女生中任选2人，有如下三种结果：2名男生，2名女生，1男1女．(1)“恰有1名男生”指1男1女，与“恰有2名男生”不能同时发生，它们是互斥事件；但是当选取的结果是2名女生时，该两事件都不发生，所以它们不是对立事件．(2)“至少1名男生”包括2名男生和1男1女两种结果，与事件“全是男生”可能同时发生，所以它们不是互斥事件．(3)“至少1名男生”与“全是女生”不可能同时发生，所以它们互斥，由于它们必有一个发生，所以它们是对立事件．(4)“至少有1名女生”包括1男1女与2名女生两种结果，当选出的是1男1女时，“至少有1名男生”与“至少有1名女生”同时发生，所以它们不是互斥事件．互斥事件和对立事件的判定方法,1利用基本概念,要判断两个事件是不是互斥事件，只需要找出各个事件所包含的所有结果，看它们之间能不能同时发生，在互斥的前提下，看两个事件中是否必有一个发生，可判断是否为对立事件.注意辨析“至少”“至多”等关键词语的含义，明晰它们对事件结果的影响.2利用集合观点,设事件A与B所含的结果组成的集合分别为A，B.,①若事件A与B互斥，则集合A∩B＝∅；,②若事件A与B对立，则集合A∩B＝∅且A∪B＝Ω.1．抽查10件产品，设事件A：至少有两件次品，则A的对立事件为()A．至多两件次品B．至多一件次品C．至多两件正品D．至少两件正品B[“至少有两件次品”的否定是“至多有一件次品”，故选B.]2．把红、黑、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁4个人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是()A．对立事件B．不可能事件C．互斥但不对立事件D．以上答案都不对C[“甲分得红牌”与“乙分得红牌”不会同时发生，但分得红牌的还可能是丙或丁，所以不是对立事件．故选C.]互斥事件的概率【例2】袋中装有红球、黑球、黄球、绿球共12个，这些小球除颜色外完全相同，从袋中任取一球，得到红球的概率为13，得到黑球或黄球的概率是512，得到黄球或绿球的概率也是512，则得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率各是多少？[思路探究]由题意知从袋中取球得到黑球、黄球和绿球的事件是互斥事件，因此摸到两种或两种以上球的概率可以用互斥事件的概率加法公式，本题中是已知和的概率，求各自的概率，我们只需建立方程，便可求出．[解]从袋中任取一球，记事件“得到红球”“得到黑球”“得到黄球”“得到绿球”分别为A，B，C，D，则由题意得PB＋PC＝512，PC＋PD＝512，PB＋PC＋PD＝1－13，解得PB＝14，PC＝16，PD＝14.即得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率分别是14，16，14.1．当一个事件包含几种情况时，可把事件转化为几个互斥事件的并事件，再利用概率的加法公式计算．2．使用概率加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)时，必须判断A，B是互斥事件．3．某地区的年降水量在下列范围内的概率如表所示：年降水量(单位：mm)[100,150)[150,200)[200,250)[250,300)概率0.120.250.160.14(1)求年降水量在[100,200)(mm)范围内的概率；(2)求年降水量在[150,300)(mm)范围内的概率．[解]记这个地区的年降水量在[100,150)(mm)、[150,200)(mm)、[200,250)(mm)、[250,300)(mm)范围内分别为事件A、B、C、D．这四个事件是彼此互斥的，根据互斥事件的概率加法公式，有(1)年降水量在[100,200)(mm)范围内的概率是P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.12＋0.25＝0.37.(2)年降水量在[150,300)(mm)范围内的概率是P(B∪C∪D)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＝0.25＋0.16＋0.14＝0.55.互斥事件和对立事件的概率【例3】某射手在一次射击训练中，射中10环，9环，8环，7环的概率分别为0.21,0.23,0.25,0.28，计算这个射手在一次射击中：(1)射中10环或7环的概率；(2)不够7环的概率．[思路探究]先设出事件，判断是否互斥或对立，然后再使用概率公式求解．[解](1)设“射中10环”为事件A，“射中7环”为事件B，由于在一次射击中，A与B不可能同时发生，故A与B是互斥事件．“射中10环或7环”的事件为A∪B.故P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.21＋0.28＝0.49，∴射中10环或7环的概率为0.49.(2)不够7环从正面考虑有以下几种情况：射中6环，5环，4环，3环，2环，1环，0环，但由于这些概率都未知，故不能直接求解，可考虑从反面入手，不够7环的反面大于等于7环，即7环，8环，9环，10环，由于此两事件必有一个发生，另一个不发生，故是对立事件，可用对立事件的方法处理．设“不够7环”为事件E，则事件E为“射中7环或8环或9环或10环”，由(1)可知“射中7环”、“射中8环”等彼此是互斥事件，∴P(E)＝0.21＋0.23＋0.25＋0.28＝0.97，从而P(E)＝1－P(E)＝1－0.97＝0.03，∴不够7环的概率是0.03.1．对于一个较复杂的事件，一般将其分解成几个简单的事件，当这些事件彼此互斥时，原事件的概率等于这些事件概率的和．并且互斥事件的概率加法公式可以推广为：P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．其使用的前提条件仍然是A1，A2，…，An彼此互斥．故解决此类题目的关键在于分解事件及确立事件是否互斥．2．“正难则反”是解决问题的一种很好的方法，应注意掌握，如本例中的第(2)问，直接求解比较麻烦，则可考虑求其对立事件的概率，再转化为所求．4．甲、乙两人下棋，和棋的概率为12，乙获胜的概率为13，求：(1)甲获胜的概率；(2)甲不输的概率．[解](1)“甲获胜”和“和棋或乙获胜”是对立事件，所以“甲获胜”的概率P＝1－12－13＝16.(2)法一：设事件A为“甲不输”，可看成是“甲获胜”“和棋”这两个互斥事件的并事件，所以P(A)＝16＋12＝23.法二：设事件A为“甲不输”，可看成是“乙获胜”的对立事件，所以P(A)＝1－13＝23.1．本节课的重点是了解事件间的包含关系和相等关系．理解互斥事件和对立事件的概念及关系，难点是了解并利用两个互斥事件的概率加法公式解题．2．本节课要掌握以下几方面的规律方法(1)判断两事件互斥、对立的两个步骤．(2)事件间运算的方法．(3)用概率加法公式解题的步骤及求复杂事件概率的两种方法．3．本节课的易错点有两个：(1)混淆互斥、对立事件概念致错．(2)分不清事件间的关系而错用公式导致解题失误．当堂固双基达标1．思考辨析(1)互斥事件不一定是对立事件．()(2)事件A、B互斥，则有P(A)＝1－P(B)．()(3)两个事件的和事件的概率等于它们各自的概率之和．()[答案](1)√(2)×(3)×2．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是()A．“至少有一个黑球”与“都是黑球”B．“至少有一个黑球”与“都是红球”C．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”D．“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”D[A中的两个事件是包含关系，不是互斥事件；B中的两个事件是对立事件；C中的两个事件都包含“一个黑球一个红球”的事件，不是互斥关系；D中的两个事件是互斥而不对立的关系．]3．从4名男生和2名女生中任选3人去参加演讲比赛，所选3人中至少有1名女生的概率为45，那么所选3人中都是男生的概率为________．15[设A＝{3人中至少有1名女生}，B＝{3人都为男生}，则A，B为对立事件，所以P(B)＝1－P(A)＝15.]4．玻璃盒子里装有各色球12个，其中5红球、4黑球、2白球、1绿球，从中任取1球．记事件A为“取出1个红球”，事件B为“取出1个黑球”，事件C为“取出1个白球”，事件D为“取出1个绿球”．已知P(A)＝512，P(B)＝13，P(C)＝16，P(D)＝112.求：(1)“取出1球为红球或黑球”的概率；(2)“取出1球为红球或黑球或白球”的概率．[解](1)“取出1球为红球或黑球”的概率为P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝512＋13＝34.(2)“取出1球为红球或黑球或白球”的概率为P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝512＋13＋16＝1112.