2019-2020学年高中数学 第3章 导数及其应用 3.2 导数的计算课件 新人教A版选修1-1

第三章导数及其应用3．2导数的计算梳理知识夯实基础自主学习导航目标导学1．能够用导数的定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x，y＝x的导数．2．牢记导数的运算法则．3．能利用给出的基本初等函数的导数公式及导数的运算法则求简单函数的导数．‖知识梳理‖1．基本初等函数的导数公式(1)若f(x)＝c，则f′(x)＝0(c为常数)；(2)若f(x)＝xn(n∈Q*)，则f′(x)＝__________；(3)若f(x)＝sinx，则f′(x)＝________；(4)若f(x)＝cosx，则f′(x)＝________；(5)若f(x)＝ax，则f′(x)＝________(a0，且a≠1)；nxn－1cosx－sinxaxlna(6)若f(x)＝ex，则f′(x)＝_______；(7)若f(x)＝logax，则f′(x)＝_______(a0，且a≠1)；(8)若f(x)＝lnx，则f′(x)＝_______.ex1xlna1x2．导数的运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝_________；(2)[f(x)g(x)]′＝________________；(3)fxgx′＝_______________________(g(x)≠0)；(4)特别的[cf(x)]′＝_______．f′(x)±g′(x)f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)cf′(x)f′xgx－fxg′x[gx]2解剖难点探究提高重点难点突破1．基本初等函数的导数公式的注意事项(1)f(x)＝xn中，x为自变量，n为常数，当n∈Q*时，有f′(x)＝nxn－1.当n∈Q时，也有f′(x)＝nxn－1.如f(x)＝x－2，则f′(x)＝－2x－3＝－2x3；f(x)＝1x＝x－12，则f′(x)＝－12x－32.(2)公式的记忆：公式(6)是公式(5)的特例，当a＝e时，公式(5)就变为公式(6)，同理公式(8)是公式(7)的特例．而公式(6)和(8)简单，容易记忆，利用(6)和(8)可易记住(5)和(7)．(3)基本初等函数的导数公式不要求会推导，只要掌握公式会用就可以了．(4)应用上述公式时，应先化简再求导．应根据自变量所在的位置区分函数形式．如f(x)＝xn与f(x)＝ax(a0，且a≠1)求导，另外在f(x)＝ax和f(x)＝logax(a0，且a≠1)的求导过程中，应注意导数中的lna的位置．2．导数运算法则的注意事项(1)和差的导数运算法则可以推广到有限个可导函数的和与差．即[f1(x)±f2(x)±…±fn(x)]′＝f′1(x)±f′2(x)±…±f′n(x)．(2)对于积与商的导数运算法则．要特别注意两个函数积与商的导数公式中符号的异同，积的导数法则中是“＋\”，而商的导数公式中分子上是“－\”．(3)特殊情况，[af(x)±bg(x)]′＝af′(x)±bg′(x)(a，b为常数).1gx′＝－g′x[gx]2.(4)若两个函数可导，则它们的四则运算必可导，若两个函数不可导，则它们的四则运算不一定可导．归纳透析触类旁通课堂互动探究题型一求函数的导数求下列函数的导数．(1)y＝x6；(2)y＝1x4；(3)y＝3x2；(4)y＝cosπ2－x.【思路探索】将函数解析式进行适当调整，使之能直接应用公式求导．【解】(1)y′＝(x6)′＝6x5.(2)y′＝1x4′＝(x－4)′＝－4x－4－1＝－4x－5＝－4x5.(4)∵y＝cosπ2－x＝sinx，∴y′＝(sinx)′＝cosx.[名师点拨]分式、根式求导时，先将分式、根式化为幂的形式再求导.(2019·重庆铜梁一中月考)函数f(x)＝2x的导函数是()A．f′(x)＝2xB．f′(x)＝12xln2C．f′(x)＝2xln2D．f′(x)＝2xlnx答案：C求下列函数的导数．(1)y＝3x2＋2x＋1x2；(2)y＝3x＋lnx＋2；(3)y＝excosx＋sinx；(4)y＝2x－13x＋3.【思路探索】应用导数公式及导数的运算法则求函数的导数．【解】(1)∵y＝3x2＋2x－1＋x－2，∴y′＝6x－2x－2－2x－3＝6x－2x2－2x3.(2)y′＝(3x)′＋(lnx)′＋2′＝3xln3＋1x.(3)y′＝(excosx)′＋(sinx)′＝excosx＋ex(－sinx)＋cosx＝excosx－exsinx＋cosx.(4)y′＝2x－1′3x＋3－2x－13x＋3′3x＋32＝23x＋3－32x－13x＋32＝99x＋12＝1x＋12.[名师点拨]应用基本初等函数的求导公式及导数的运算法则，可迅速解决一些简单函数的求导问题．要熟记公式，应用公式前应对函数进行恒等变形，再利用公式求导.(2019·吉林月考)求下列函数的导函数．(1)y＝(2x2＋3)(3x－1)；(2)y＝xex；(3)y＝1－2lnxx.解：(1)y′＝4x(3x－1)＋(2x2＋3)×3＝12x2－4x＋6x2＋9＝18x2－4x＋9.(2)y′＝ex＋xex＝ex(1＋x)．(3)y′＝－2xx－1－2lnxx2＝2lnx－3x2.题型二导数几何意义的应用求过点(1，－1)与曲线y＝x3－2x相切的直线方程．【思路探索】解答本题可先设出切点坐标，对函数求导，写出切线方程；再利用切点在曲线上，切线过点(1，－1)代入求解．【解】设切点为P(x0，y0)，则切线斜率为故切线方程为y－y0＝(3x20－2)(x－x0)．①∵(x0，y0)在曲线上，∴y0＝x30－2x0.②又∵(1，－1)在切线上，∴将②式和x＝1，y＝－1代入①式得－1－(x30－2x0)＝(3x20－2)(1－x0)．解得x0＝1或x0＝－12.∴k＝1或k＝－54.故所求的切线方程为y＋1＝x－1或y＋1＝－54(x－1)，即x－y－2＝0或5x＋4y－1＝0.[名师点拨]求曲线的切线方程有两种情况：(1)求曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线方程，这个点P一定是切点，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．(2)求过点P(x0，y0)与曲线y＝f(x)相切的直线方程，不论点P在不在曲线上，都要求出切点坐标，再求切线方程，其步骤是：函数f(x)＝ax2＋sinx的图象在x＝π2处的切线方程为y＝x＋b，则b的值为()A．1＋π4B．1－π4C．1＋4πD．1－4π解析：∵f′(x)＝2ax＋cosx，∴f′π2＝πa，∵f(x)在x＝π2处的切线方程为y＝x＋b，∴f′π2＝1，即πa＝1，∴a＝1π，∴fπ2＝π4＋1，将π2，π4＋1代入切线方程，得b＝π4＋1－π2＝1－π4，故选B.答案：B题型三导数的综合应用已知函数f(x)＝x2a－1(a0)的图象在x＝1处的切线为l，求l与两坐标轴围成的三角形面积的最小值．【思路探索】先求出切线方程，从而得到切线在坐标轴上的截距，建立关于a的面积表达式，然后求最值．【解】∵f(x)＝x2a－1，∴f′(x)＝2xa.∴f′(1)＝2a.又f(1)＝1a－1，∴f(x)在x＝1处的切线l：y－1a＋1＝2a(x－1)．令x＝0，得y＝－1a－1.令y＝0，得x＝a＋12.∴l与坐标轴围成的三角形的面积为S＝12－1a－1·a＋12＝14a＋1a＋2≥14×(2＋2)＝1(a0)，当且仅当a＝1a，即a＝1时，等号成立，即直线l与两坐标轴围成的三角形面积最小，最小值为1.[名师点拨]高考中对导数的考查，往往与其他知识相结合，如与不等式、数列、函数等，解题的关键是能够准确的求出导数，把问题转化为相应的知识点上去.(1)(2019·定远月考)若点P是曲线y＝x2－lnx上任一点，则点P到直线y＝x－1的最小距离是()A.2B．1C.22D．3(2)(2019·罗源月考)若函数f(x)＝f′(1)ex－1－f(0)x＋x2，则f′(1)＝________.解析：(1)设P(x0，y0)，由y′＝2x－1x(x0)，得y′|x＝x0＝2x0－1x0，当在P点处的切线与直线y＝x－1平行时，点P到直线y＝x－1距离最短，则2x0－1x0＝1，解得x0＝1，∴y0＝1，∴点P(1,1)到直线y＝x－1的距离最小，d＝|1－1－1|2＝22，故选C.(2)∵f′(x)＝f′(1)ex－1－f(0)＋2x，∴f′(1)＝f′(1)－f(0)＋2，∴f(0)＝2，∴f(0)＝f′(1)e－1＝2，∴f′(1)＝2e.答案：(1)C(2)2e即学即练稳操胜券课堂基础达标1．下列函数的导函数为奇函数的是()A．f(x)＝1xB．f(x)＝xC．f(x)＝xD．f(x)＝cosx解析：A中f′(x)＝－1x2，是偶函数，B中f′(x)＝12x，是非奇非偶函数，C中f′(x)＝1，是偶函数，D中f′(x)＝－sinx，是奇函数，故选D.答案：D2．(2019·武城期中)已知直线y＝kx是曲线y＝ex的切线，则实数k的值为()A.1eB．－1eC．－eD．e解析：设切点为(x0，y0)，由y＝ex得y′＝ex，则y0＝ex0，y0＝kx0，ex0＝k，解得x0＝1，k＝e，故选D.答案：D3．(2019·邯郸月考)曲线f(x)＝1－2lnxx在点P(1，f(1))处的切线的方程为()A．x＋y－2＝0B．2x＋y－3＝0C．3x＋y＋2＝0D．3x＋y－4＝0解析：由题意得f(1)＝1，∵f′(x)＝2lnx－3x2，∴f′(1)＝－3，∴在点P(1，f(1))处的切线方程为y－1＝－3(x－1)，即3x＋y－4＝0，故选D.答案：D4．(2019·滁州月考)已知函数f(x)＝ax＋bex图象上在点P(－1,2)处的切线与直线y＝－3x平行，则函数f(x)的解析式是____________________．解析：由题意得f′(x)＝a＋bex，由题可得f′－1＝a＋be－1＝－3，f－1＝－a＋be－1＝2.解得a＝－52，b＝－e2.∴f(x)＝－52x－12ex＋1.答案：f(x)＝－52x－12ex＋15．求曲线y＝x(3lnx＋1)在点(1,1)处的切线方程．解：∵y＝x(3lnx＋1)＝3xlnx＋x，∴y′＝3lnx＋3＋1＝3lnx＋4，∴k＝y′x＝1＝4，∴切线方程为y－1＝4(x－1)，即4x－y－3＝0.