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第三章导数及其应用3.1变化率与导数3.1.3导数的几何意义梳理知识夯实基础自主学习导航目标导学1.了解平均变化率与割线之间、瞬时变化率与切线之间的关系.2.通过函数的图象理解导数的几何意义.3.了解导函数的概念,会求导函数.4.利用导数的几何意义,会求曲线上某点处的切线方程.‖知识梳理‖1.导数的几何意义函数y=f(x)在x=x0处的导数f′(x0)的几何意义就是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的___________.即k=f′(x0)=limΔx→0fx0+Δx-fx0Δx.过点(x0,f(x0))的切线方程为________________________.斜率y-f(x0)=f′(x0)(x-x0)2.导函数如果函数f(x)在开区间(a,b)内每一点x的导数都存在,则称f(x)在区间(a,b)内可导,这样对开区间(a,b)内每一个值x,都对应一个确定的导数f′(x),于是在区间(a,b)内f′(x)构成一个新函数,我们把这个函数称为函数y=f(x)的____________,记为f′(x)_______,简称为_________.今后,如果不特别指明某一点的导数,求导数就是指求导函数.导函数或y′导数解剖难点探究提高重点难点突破1.导数的意义函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率.换句话说,函数y=f(x)在点P处的切线的斜率,即为函数y=f(x)在点P处的导数,它反映了曲线在点P处的变化率.一般地,切线斜率的绝对值越大,变化率就越大,曲线的变化就越快,弯曲程度就越大;切线的斜率绝对值越小,曲线的变化就越慢,弯曲程度越小,即曲线比较平缓;反之,由曲线在点P附近的弯曲程度,可以判断函数在点P处的切线的斜率的大小.2.函数y=f(x)“在点x0处的导数”、“导函数”、“导数”之间的区别与联系(1)“函数f(x)在点x0处的导数”是一个数值,不是变量,它是针对一个点x0而言的,只与给定的函数及x0有关,而与Δx无关.(2)“导函数”也简称“导数”,是一个确定的函数,它是相对一个区间而言的,仅与函数本身有关,与x和Δx无关.(3)函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在点x=x0处的导函数值.归纳透析触类旁通课堂互动探究题型一求曲线的切线方程已知曲线C:y=x3.(1)求曲线C上横坐标为1处的切线方程;(2)(1)中的切线与曲线C是否还有其他的公共点?【思路探索】利用导数的定义求曲线C在点x=1处的切线的斜率.可得切线方程,解方程组看交点个数.【解】(1)将x=1代入y=x3,得切点P的坐标(1,1).∵y′=limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0x+Δx3-x3Δx=limΔx→03x2Δx+3xΔx2+Δx3Δx=limΔx→0[3x2+3xΔx+(Δx)2]=3x2,∴y′|x=1=3.∴过点P的切线方程为y-1=3(x-1),即3x-y-2=0.(2)由3x-y-2=0,y=x3,解得x=1,y=1或x=-2,y=-8.从而得公共点为(1,1)和(-2,-8).这说明切线与曲线C的公共点除了切点外,还有其他公共点.[名师点拨]根据导数的几何意义,求曲线上某点处的切线方程时,首先根据导数的定义求出曲线上此点处切线的斜率,即函数在此点处的导数,然后利用点斜式写出切线方程.在求切线方程的题目中,注意判断题目中给出的点是否在曲线上,是否是切点.(2019·淄川月考)曲线y=x3-3x2+1在点(1,-1)处的切线方程为()A.y=-3x+2B.y=-4x+3C.y=3x-4D.y=4x-5解析:y′|x=1=limΔx→01+Δx3-31+Δx2+1-1-3+1Δx=limΔx→0(-3+Δx2)=-3,∴曲线y=x3-3x2+1在点(1,-1)处的切线方程为y+1=-3(x-1),即y=-3x+2,故选A.答案:A题型二求切点坐标已知曲线C:y=2x2+1.(1)曲线C上哪一点处的切线平行于直线4x-y-2=0?(2)曲线C上哪一点处的切线垂直于直线x+8y-3=0?【思路探索】先求y′|x=x0,由已知建立方程求x0,然后代入曲线方程求y0.【解】设切点的坐标为(x0,y0),则Δy=2(x0+Δx)2+1-(2x20+1)=4x0Δx+2(Δx)2.∴y′|x=x0=limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0(4x0+2Δx)=4x0.(1)∵曲线C的切线平行于直线4x-y-2=0,∴切线斜率为4,即4x0=4,∴x0=1,∴y0=2x20+1=3,故该点为(1,3).(2)∵曲线C的切线垂直于直线x+8y-3=0,∴切线斜率为8,即4x0=8,x0=2,∴y0=2x20+1=9,故该点为(2,9).[名师点拨]求切点坐标的方法步骤:(1)设出切点坐标;(2)利用导数或斜率公式求出斜率;(3)利用斜率关系列出方程,求出切点的横坐标;(4)把横坐标代入曲线或切线方程,求出切点的纵坐标.(2019·罗源一中月考)曲线f(x)=x3+x-2在M处的切线垂直于直线x+4y+4=0,则M点的坐标为()A.(1,0)B.(2,8)C.(1,0)和(-1,-4)D.(2,8)和(-1,-4)解析:设M(x0,y0),∵f(x)在M处的切线垂直于直线x+4y+4=0,∴f′(x0)=4,即f′(x0)=limΔx→0x0+Δx3+x0+Δx-2-x30+x0-2Δx=limΔx→0(3x20+1+3x0Δx+Δx2)=3x20+1,∴3x20+1=4,∴x0=1或x0=-1,∴y0=0或y0=-4,∴点M的坐标为(1,0)和(-1,-4),故选C.答案:C题型三导数几何意义与物理意义的应用(1)若曲线y=x2+ax+b在点(0,b)处的切线方程是x-y+1=0,则()A.a=1,b=1B.a=-1,b=1C.a=1,b=-1D.a=-1,b=-1(2)质点运动规律s=t2+3t(其中位移单位:m,时间单位:s),那么该物体在2s时的瞬时速度是()A.5m/sB.6m/sC.7m/sD.8m/s【思路探索】(1)利用函数在x=0处的导数值是切线的斜率及切点(0,b)在切线上,解方程求得a,b;(2)t=2时导数就是该物体的瞬时速度.【解析】(1)由已知点(0,b)是切点.∵Δy=(0+Δx)2+a(0+Δx)+b-b=(Δx)2+aΔx,∴ΔyΔx=Δx+a.∴y′|x=0=limΔx→0ΔyΔx=a.∵切线x-y+1=0的斜率为1,∴a=1.又点(0,b)在切线上,∴b=1.故选A.(2)由导数的物理意义知,v=s′(2)=limΔt→0ΔsΔt=limΔt→02+Δt2+32+Δt-22+3×2Δt=limΔt→07Δt+Δt2Δt=limΔt→0(7+Δt)=7.故选C.【答案】(1)A(2)C[名师点拨](1)若曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的导数f′(x0)不存在,则切线垂直于x轴;若f′(x)0,则切线(向上的方向)与x轴正向的夹角为锐角;若f′(x0)0,则切线与x轴正向的夹角为钝角;若f′(x0)=0,则切线与y轴垂直.(2)位移对时间t的导数s′(t)为瞬时速度.求曲线y=1x和y=x2在它们的交点处的两切线与x轴所围成的三角形的面积.解:由y=1x,y=x2,得x=1,y=1.∴两曲线的交点为(1,1).曲线y=1x在点(1,1)处的切线的斜率为f′(1)=limΔx→011+Δx-11Δx=limΔx→0-11+Δx=-1,∴曲线y=1x在点(1,1)处的切线方程为y-1=-1(x-1),即y=-x+2.曲线y=x2在点(1,1)处的切线的斜率为f′(1)=limΔx→01+Δx2-12Δx=limΔx→0(2+Δx)=2,∴曲线y=x2在点(1,1)处的切线方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1.由y=-x+2,y=2x-1,得两直线的交点为(1,1).又直线y=-x+2与x轴的交点为(2,0),直线y=2x-1与x轴的交点为12,0,此两条直线相交于(1,1)点,∴两切线y=-x+2和y=2x-1与x轴所围成的面积S=12×2-12×1=34.即学即练稳操胜券课堂基础达标1.函数y=f(x)在x=x0处的导数f′(x0)的几何意义是()A.在点(x0,f(x0)处与y=f(x)的曲线只有一个交点的直线的斜率.B.在点(x0,f(x0))处的切线与x轴所夹锐角的正切值C.曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率D.点(x0,f(x0))与点(0,0)连线的斜率答案:C2.(2019·吉林舒兰一中月考)设f(x)为可导函数,且满足limx→0f1-f1-x2x=-1,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率是()A.2B.-1C.12D.-2解析:∵limx→0f1-f1-x2x=12limx→0f1-f1-xx=12f′(1),∴f′(1)=-2,∴曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率是-2,故选D.答案:D3.(2019·分宜中学期中)在曲线y=x2上切线倾斜角为π4的点是()A.(0,0)B.(2,4)C.14,116D.12,14解析:设曲线y=x2上切线倾斜角为π4的点M为(x0,y0),∴f′(x0)=1.又f′(x0)=limΔx→0x0+Δx2-x20Δx=limΔx→0(2x0+Δx)=2x0,∴2x0=1,∴x0=12,∴y0=14,∴M12,14,故选D.答案:D4.如图,函数y=f(x)的图象在点P处的切线方程是y=-x+8,则f(5)+f′(5)等于()A.12B.1C.2D.0解析:由图可知,f(5)+f′(5)=3-1=2.故选C.答案:C5.已知f(x)=x2-2x.(1)求f(x)在点(2,0)处的切线方程;(2)求经过点(0,-1)的f(x)的切线方程.解:(1)f′(2)=limΔx→02+Δx2-22+Δx-4+4Δx=limΔx→0(2+Δx)=2.又f(2)=0,∴经过点(2,0)的切线方程为y-0=2(x-2),即2x-y-4=0.(2)f(0)=0,∴(0,-1)不在f(x)的曲线上,设切点(x0,y0),∴f′(x0)=limΔx→0x0+Δx2-2x0+Δx-x20+2x0Δx=limΔx→0(2x0+Δx-2)=2x0-2.∴y0+1x0=2x0-2,∴y0+1=2x20-2x0,∴x20-2x0+1=2x20-2x0,即x20=1,解得x0=±1,∴k=0或k=-4,故切线方程为y=-1或y=-4x-1.
本文标题:2019-2020学年高中数学 第3章 导数及其应用 3.1.3 导数的几何意义课件 新人教A版选修
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