2019-2020学年高中数学 第3章 不等式 3.1 不等关系课件 北师大版必修5

第1页第三章不等式第2页§1不等关系第3页要点不等式性质(1)对称性：ab⇔bia；(2)传递性：ab，bc⇒a____c；(3)可加性：①ab⇔a＋c____b＋c；②abcd⇒a＋c____b＋d；第4页(4)可乘性：①ab，c0⇒ac____bc；②ab，c0⇒ac____bc；③ab0cd0⇒ac____bd；(5)可方性：①ab0⇒an____bn0(n∈N*，n1)；②ab0⇒na____nb0(n∈N*，n1)．第5页1．对于“甲的年龄大于乙的年龄”，你能换一种方式叙述吗？答：乙的年龄小于甲的年龄．第6页2．如果甲的个子比乙的个子高，乙的个子比丙的个子高，你能得出甲的个子与丙的个子哪一个高吗？答：能．甲的个子高．第7页3．不平衡的天平两边同时加上相等的砝码或同时将两边的砝码加倍或减半会改变天平的状态吗？答：不会．第8页4．如果ab，那么acbc成立吗？答：不成立．第9页由上述问题的研究，你能得出相应的数学结论吗？第10页授人以渔第11页题型一用不等式(组)表示不等关系例1(1)雷电的温度大约是28000℃，比太阳表面温度的4.5倍还要高，设太阳表面温度为t℃，那么t应满足的关系式是________．第12页【解析】由题意得，太阳表面温度的4.5倍小于雷电的温度，即4.5t28000.【答案】4.5t28000第13页(2)某种植物适宜生长的温度为18～20℃的山区，已知山区海拔每升高100m，气温下降0.55℃，现测得山脚下的平均气温为22℃，则该植物种在山区的高度为xm应满足的不等式为________．第14页【解析】因为山区海拔每升高100m，气温下降0.55℃，所以当该植物适宜的种植高度为xm时，温度为22－0.55x100.又因为该植物适宜的种植温度为18～20℃，所以18≤22－0.55x100≤20.【答案】18≤22－0.55x100≤20第15页探究1(1)将不等关系表示成不等式的思路：①读懂题意，找准不等式所联系的量；②用适当的不等号连接；③多个不等关系用不等式组表示．第16页(2)用不等式(组)表示不等关系时应注意的问题：在用不等式(组)表示不等关系时，应注意必须是具有相同性质，可以进行比较时，才可用，没有可比性的两个(或几个)量之间不能用不等式(组)来表示．第17页●思考题1某货运公司由于发展的需要需购进一批汽车，计划使用不超过500万元的资金购买单价分别为40万元，90万元的A型汽车和B型汽车．根据需要，A型汽车至多买5辆，B型汽车至多买4辆，写出满足上述所有不等关系的不等式．第18页【解析】设购买A型汽车和B型汽车分别为x辆，y辆，则40x＋90y≤500，0x≤5，0y≤4，x，y∈N*，即4x＋9y≤50，0x≤5，0y≤4，x，y∈N*.第19页题型二不等式性质例2对于实数a，b，c，有下列结论：①若ab，则acbc；②若ac2bc2，则ab；③若ab0，则a2abb2；④若cab0，则ac－abc－b；⑤若ab，1a1b，则a0，b0.其中正确结论的个数是()A．2B．3C．4D．5第20页【思路分析】判断不等关系的真假，要紧扣不等式的性质，应注意条件与结论之间的联系．第21页【解析】①c的正、负或是否为零未知，因而判断ac与bc的大小缺乏依据，故该结论错误．②由ac2bc2知c≠0，又c20，∴ab，∴②是正确的．③ab0a0⇒a2ab，abb0⇒abb2，a2ababb2⇒a2abb2.故③正确．第22页④ab0⇒－a－b⇒c－ac－b.∵ca，∴c－a0.∴0c－ac－b.两边同乘以1（c－a）（c－b），得1c－a1c－b0.又ab0，∴ac－abc－b.故④正确．第23页⑤由已知条件知：ab⇒a－b0，1a1b⇒1a－1b0⇒b－aab0.∵a－b0，∴b－a0.∴ab0.又ab，∴a0，b0.故⑤正确．综上可知，命题②，③，④，⑤都正确．【答案】C第24页探究2通过本题的练习，可以使我们熟悉不等式的基本性质，更好地掌握各性质的条件．在各性质中，乘法性质的应用最易出错，即在不等式的两边同乘(除)以一个数时，必须能确定该数是正数、负数或零，否则结论不确定．另外，若要判断某结论正确，应说明理由或进行证明，推理过程应紧扣有关定理、性质等，若要说明某结论错误，只需举一反例．第25页●思考题2(2015年西汉中市高二期中测试)若xy，mn，下列不等式正确的是()A．x－my－nB．xmynC.xnymD．m－yn－x第26页【解析】∵xy，∴－y－x.又∵mn，∴m－yn－x.【答案】D第27页题型三比较大小例3(1)比较x2＋3与3x的大小，其中x∈R.(2)已知x3，比较x3＋3与3x2＋x的大小．第28页【解析】(1)∵(x2＋3)－3x＝x2－3x＋3＝(x－32)2＋34≥340，∴x2＋33x.(2)x3＋3－3x2－x＝x2(x－3)－(x－3)＝(x－3)(x＋1)(x－1)．∵x3，∴(x－3)(x＋1)(x－1)0，∴x3＋33x2＋x.第29页探究3(1)作差法比较a与b的大小，归结为判断它们的差a－b的符号(注意是指差的符号，至于差的值究竟是多少，在这里无关紧要)．(2)确定差的符号往往有两种方法(类型)：①将差式化成几个非负数或非正数的和的形式(如(1)题)．②将差式化成几个因式乘积的形式(如(2)题)．(3)作差比较大小的步骤：作差→变形→定号→下结论．第30页●思考题3(1)已知x1，比较x2＋2与3x的大小．(2)已知a∈R，比较a2＋a＋1与2a的大小．第31页【解析】(1)(x2＋2)－3x＝(x－1)(x－2)，∵x1，∴x－10，x－20，∴(x－1)(x－2)0.即(x2＋2)－3x0，∴x2＋23x.(2)(a2＋a＋1)－2a＝a2－a＋1＝(a－12)2＋340，∴a2＋a＋12a.第32页例4已知a0，试比较a与1a的大小．【思路分析】由于a的值不确定，（a＋1）（a－1）a是正还是负由a的取值范围确定，因此需要对a进行讨论．令（a＋1）（a－1）a0是确认分类标准的关键，是寻找分类标准的常用方法．第33页【解析】a－1a＝a2－1a＝（a＋1）（a－1）a.∵a0，令(a＋1)(a－1)0，得a1.∴当a1时，（a＋1）（a－1）a0，此时a1a；当a＝1时，（a＋1）（a－1）a＝0，此时a＝1a；当0a1时，（a＋1）（a－1）a0，此时a1a.综上，当0a1时，a1a；当a＝1时，a＝1a；当a1时，a1a.第34页探究4含参数的比较两个数(式)大小的问题，往往要用到分类讨论的思想，这种思想贯穿于数学的始终，应在平时的教学中有意识地加以培养．第35页●思考题4(2015·潍坊一中期末)设x∈(0，π)，试比较2cosx与sin2x的大小．第36页【解析】2cosx－sin2x＝2cosx－2cosx·sinx＝2cosx·(1－sinx)，当0xπ2时，cosx0，1－sinx0，∴2cosxsin2x；当x＝π2时，cosx＝0，∴2cosx＝sin2x；当π2xπ时，cosx0，1－sinx0.∴2cosxsin2x.第37页题型四不等式性质的应用例5在不等式以及后续的学习中，经常会遇到有关不等式的一个重要问题：若ab(ab≠0)是否有1a1b？(讲清此类问题可以深刻理解不等式的可乘性．)第38页【解析】方法一：1a－1b＝b－aab，而b－a＜0，故当ab＜0，即a＞0＞b时，b－aab＞0，∴1a＞1b；当ab＞0，即a＞b＞0或ba0时，b－aab＜0，∴1a＜1b.第39页方法二：①若a＞b＞0，则将此不等式两边同除以ab得：1b＞1a；②若b＜a＜0，则将不等式两边同除以ab得1b1a；③若a＞0，b＜0，则1a＞1b.综上得：a＞b⇒1a＜1b，（a，b同号）1a＞1b，（a，b异号）第40页探究5(1)本题目的是要学生明确不能冒然由a＞b⇒1a＜1b，这是学生容易出错的地方．(2)本题是不等式性质4的一个典型应用．本例可作为今后有关不等式问题的一个非常重要的定理，请读者引起足够的重视．又如命题：若ab＞0，且a＞b，则1a＜1b.第41页即若a，b同号，且a＞b，其倒数的不等号方向与原不等式的方向(不等号)相反，这一结论在后面的学习中有着广泛的应用，不注意条件a，b同号也是不等式问题中常见错误之一．第42页●思考题5已知ab0，cd0，求证：ba－cab－d.【证明】∵ab0，－c－d0，∴a－cb－d0.∴01a－c1b－d.∵ab0，∴ba－cab－d.第43页课后巩固第44页1．判断下列命题是否正确，并说明理由．(1)若ab，则ac2bc2；(2)若ac2bc2，则ab；(3)若ab，ab≠0，则1a1b；(4)若ab0，则a2abb2.答案(1)×(2)√(3)×(4)√第45页2．下列不等式中不成立的是()A．10≤20B．1020C．10≤10D．1010答案D第46页3．若A＝x2－2x，B＝－6x－4，则A，B的大小关系是()A．A≤BB．A≥BC．A＝BD．与x的值有关答案B第47页4．用不等式表示：某地规定本地最低工资标准x不低于1550元，________．答案x≥1550第48页5．某市政府准备投资1800万元兴办一所中学，经调查，班级数量以20到30个为宜，每个初、高中班硬件配置分别为28万元与58万元，该学校的规模(初、高中班级数量x，y)所满足的条件是________．第49页答案20≤x＋y≤30，28x＋58y≤1800，x，y∈N*第50页6．已知a，b为正实数，试比较ab＋ba与a＋b的大小．第51页解析(ab＋ba)－(a＋b)＝(ab－b)＋(ba－a)＝a－bb－a－ba＝（a－b）（a－b）ab＝（a＋b）（a－b）2ab，∵a，b为正实数，∴（a＋b）（a－b）2ab≥0.∴ab＋ba≥a＋b.第52页