2019-2020学年高中数学 第3讲 柯西不等式与排序不等式 第3课时 排序不等式课件 新人教A版

第3课时排序不等式定理：(排序不等式，又称排序原理)设a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn为两组实数，c1，c2，…，cn是b1，b2，…，bn的任一排列，则a1b1＋a2b2＋…＋anbn≥______________________≥______________________，当且仅当________________或________________时，反序和等于顺序和．a1c1＋a2c2＋…＋ancna1bn＋a2bn－1＋…＋anb1a1＝a2＝…＝anb1＝b2＝…＝bn1．设集合a，b，c＝5，4，6，x，y，z＝3，2，1，则ax＋by＋cz的最小值是()A．20B．22C．25D．28【答案】D【解析】根据排序原理：反序和≤乱序和≤顺序和，所以反序和最小．故(ax＋by＋cz)min＝6×1＋5×2＋4×3＝28.2．下面几个不等式正确的个数是()①a，b，c，d∈R，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2；②a2＋b2＋c2＋d2≥ab＋bc＋cd＋da(a，b，c，d∈R)；③若a，b，c为正数，且a＋b＋c＝1，，则a2＋b2＋c2≥13；④(a＋b)1a＋1b≥4.A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】(1)由二维柯西不等式，得①成立；(2)由排序不等式，得②成立；(3)由三维柯西不等式，得③成立；(4)缺条件a，b大于0，不成立．3．若A＝x21＋x22＋x23＋x24，B＝x1x2＋x2x3＋x3x4＋x4x1(x1，x2，x3，x4均为正数)，则A，B的大小关系是______．【答案】A≥B【解析】由排序不等式知：顺序和≥乱序和≥反序和．不妨设x1≥x2≥x3≥x40，则A＝x21＋x22＋x23＋x24＝x1·x1＋x2·x2＋x3·x3＋x4·x4≥x1·x2＋x2·x3＋x3·x4＋x4·x1＝B，所以A≥B.4．已知两组数：a1＝2，a2＝7，a3＝8，a4＝9，a5＝12；b1＝3，b2＝4，b3＝6，b4＝10，b5＝11，将bi(i＝1,2,3,4,5)重新排列，记为c1，c2，c3，c4，c5，求a1c1＋a2c2＋a3c3＋a4c4＋a5c5的最大值和最小值．【解析】由排序不等式知：顺序和≥乱序和≥反序和，所以最大值为：顺序和＝a1b1＋a2b2＋a3b3＋a4b4＋a5b5＝304，最小值为：反序和＝a1b5＋a2b4＋a3b3＋a4b2＋a5b1＝212.【例1】某班学生要开联欢会，需要买价格不同的礼品4件，5件及2件，现在选择商店中单价为3元，2元和1元的礼品，问最少要花多少钱？最多要花多少钱？【解题探究】这是一道应用问题，可用排序不等式解得．【解析】由排序不等式知：顺序和≥乱序和≥反序和，所以花钱最少为：1×5＋2×4＋3×2＝19(元)，花钱最多为：1×2＋2×4＋3×5＝25(元)．利用排序原理求最值应用排序不等式解答应用题时，首先要确定两组数a1，a2，…，an与b1，b2，…，bn，并排好顺序．1．设0＜a≤b≤c且abc＝1.试求1a3b＋c＋1b3a＋c＋1c3a＋b的最小值．【解析】令S＝1a3b＋c＋1b3a＋c＋1c3a＋b，则S＝abc2a3b＋c＋abc2b3a＋c＋abc2c3a＋b＝bcab＋c·bc＋acba＋c·ac＋abca＋b·ab，由已知可得：1ab＋c≥1ba＋c≥1ca＋b，ab≤ac≤bc.∴S≥bcab＋c·ac＋acba＋c·ab＋abca＋b·bc＝cab＋c＋aba＋c＋bca＋b，又S≥bcab＋c·ab＋acba＋c·bc＋abca＋b·ac＝bab＋c＋cba＋c＋aca＋b，两式相加得：2S≥1a＋1b＋1c≥3·31abc＝3.∴S≥32，即1a3b＋c＋1b3a＋c＋1c3a＋b的最小值为32.利用排序原理证明不等式【例2】设a0，b0，c0，求证：a2b＋b2c＋c2a≥a＋b＋c.【解题探究】本例可以由柯西不等式，也可以由排序不等式进行证明．如何构造出三维柯西不等式的形式或适当的序列是解决问题的关键．【解析】方法一：根据柯西不等式，得ab2＋bc2＋ca2b2＋c2＋a2≥ab·b＋bc·c＋ca·a2＝(a＋b＋c)2，于是有a2b＋b2c＋c2a(a＋b＋c)≥(a＋b＋c)2.∵a，b，c∈R＋，∴a＋b＋c0，∴a2b＋b2c＋c2a≥a＋b＋c.方法二：不妨设0a≤b≤c，则a2≤b2≤c2，且1c≤1b≤1a，乱序和＝a2·1b＋b2·1c＋c2·1a＝a2b＋b2c＋c2a；反序和＝a2·1a＋b2·1b＋c2·1c＝a＋b＋c.由排序不等式知：乱序和≥反序和．∴a2b＋b2c＋c2a≥a＋b＋c.1.关键在于构造出三维柯西不等式或排序不等式的形式，利用不等式的变形形式解决问题．2．本例可以推广为证明：a21a2＋a22a3＋…＋a2n－1an＋a2na1≥a1＋a2＋…＋an(其中a1，a2，a3，…，an为正数)，所用方法与本例一样．2．设c1，c2，…，cn为正数组a1，a2，…，an的某一排列，证明：a1c1＋a2c2＋…＋ancn≥n.【解析】不妨设0a1≤a2≤…≤an，则01an≤1an－1≤…≤1a1.因为c1，c2，…，cn为正数组a1，a2，…，an的一排列，所以1c1，1c2，…，1cn也为1a1，1a2，1a3，…，1an的一个排列．由反序和≤乱序和，得a1·1a1＋a2·1a2＋…＋an·1an≤a1·1c1＋a2·1c2＋…＋an·1cn，即a1c1＋a2c2＋…＋ancn≥n.1．对排序不等式的理解：在排序不等式中，设a1≤a2≤a3≤…≤an，b1≤b2≤b3≤…≤bn，c1，c2，…，cn是b1，b2，…，bn的任意排列．顺序和为S1＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn，乱序和为S2＝a1c1＋a2c2＋…＋ancn，反序和为S3＝a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1，则S1≥S2≥S3，即顺序和≥乱序和≥反序和．2．排序不等式的应用：排序不等式有着广泛的应用．在应用过程中，首先在于能根据需要确定两组数a1，a2，…，an与b1，b2，…，bn，并排好顺序．3．因为柯西不等式和排序不等式中，都有a1b1＋a2b2＋…＋anbn的形式，使得有些问题两种方法都可以解决，有些问题却不能．这就需要在对两种不等式有深入的理解的基础上，对问题的条件进行细致的分析，从而确定用哪种不等式解题．