2019-2020学年高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.3.2 双曲线的简单几何性质 第一课时

第二章圆锥曲线与方程2．3双曲线2．3.2双曲线的简单几何性质第一课时双曲线的简单几何性质梳理知识夯实基础自主学习导航目标导学1．了解双曲线的范围、对称性、顶点、离心率、渐近线等几何性质．2．能利用双曲线的性质解决一些简单的双曲线问题．‖知识梳理‖双曲线的简单几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程x2a2－y2b2＝1(a0，b0)y2a2－x2b2＝1(a0，b0)范围__________________________________顶点__________________________________轴长虚轴长＝___________，实轴长＝___________焦点__________________________x≤－a或x≥ay≥a或y≤－a(－a,0)，(a,0)(0，a)，(0，－a)2b2a(－c,0)，(c,0)(0，－c)，(0，c)焦距_________________对称性对称轴为___________，对称中心为___________离心率e＝_________∈___________渐近线______________________________________________________2c坐标轴坐标原点(1，＋∞)cay＝bax，y＝－baxy＝abx，y＝－abx解剖难点探究提高重点难点突破双曲线与实轴有两个交点即双曲线的顶点，两个顶点的连线为实轴，以双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)为例，A1A2为实轴，为方便画图，把点B1(0，－b)，B2(0，b)也画在y轴上，线段BB1称为虚轴，双曲线的中心，虚轴的一个端点和实轴的一个端点构成一个直角三角形，这个直角三角形的三边满足a2＋b2＝c2.双曲线的离心率e＝ca反映了双曲线开口的大小，e越大，双曲线的开口就越大；e越小，双曲线的开口越小．在学习双曲线的几何性质时，注意与椭圆的几何性质相比较，不可混淆，如椭圆有4个顶点，双曲线有两个顶点；椭圆有长轴、短轴，双曲线有实轴、虚轴；椭圆的离心率e∈(0,1)，双曲线的离心率e∈(1，＋∞)等．双曲线的渐近线是以实轴长，虚轴长为邻边的矩形的对角线，求渐近线方程时，只需将双曲线的标准方程等号右边的1改为0，化简后即可得到双曲线的渐近线方程．归纳透析触类旁通课堂互动探究题型一双曲线的简单的几何性质求双曲线4y2－9x2＝－4的半实轴长、半虚轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程，并画出该双曲线的草图．【思路探索】将双曲线的方程化为标准方程，确定焦点所在的坐标轴，得到几何量a，b的值，从而得出相关的几何性质．【解】将双曲线方程化成标准方程为x249－y2＝1，可知半实轴长a＝49＝23，半虚轴长b＝1.于是有c＝a2＋b2＝49＋1＝133，所以焦点坐标为±133，0，离心率为e＝ca＝132，渐近线方程为y＝±bax，即y＝±32x.其图象如图所示．[名师点拨](1)根据双曲线的标准方程可以得到双曲线的几何性质——六点四线：实轴端点、虚轴端点、焦点；“四线”——对称轴、渐近线；“两比率”——离心率、渐近线的斜率．(2)在双曲线方程中a，b，c之间的关系为c2＝a2＋b2，注意与椭圆的区别，不要混淆.(2019·北京卷)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2－y2b2＝1(b0)经过点(3,4)，则该双曲线的渐近线方程是________．解析：∵双曲线x2－y2b2＝1过点(3,4)，∴9－16b2＝1，∴b2＝2，又a2＝1，焦点在x轴上，∴渐近线方程为y＝±2x.答案：y＝±2x题型二利用双曲线的性质求双曲线的标准方程根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)焦点在y轴上，实轴长为10，离心率为125；(2)焦距为10，实轴长是虚轴长的2倍；(3)与双曲线y23－x2＝1共渐近线，焦点坐标为(±2,0)．【思路探索】对于(1)只需根据题目条件求出b2即可；对于(2)，由于焦点所在的坐标轴不确定，故需分情况讨论；对于(3)，利用两双曲线共渐近线求解．【解】(1)由题意得2a＝10，a＝5，又e＝ca＝125，∴c＝12.∴b2＝c2－a2＝144－25＝119.又焦点在y轴上，∴所求的双曲线的标准方程为y225－x2119＝1.(2)由题意得c＝5，a＝2b，又a2＋b2＝c2，∴5b2＝25，∴b2＝5，a2＝20.当焦点在x轴上时，双曲线的标准方程为x220－y25＝1；当焦点在y轴上时，双曲线的标准方程为y220－x25＝1.(3)设所求的双曲线方程为y23－x2＝λ(λ≠0)，∵焦点在x轴上，∴λ＜0，∴方程再化为x2－λ－y2－3λ＝1.又焦点坐标为(±2,0)，∴－4λ＝4，λ＝－1，故所求双曲线的标准方程为x2－y23＝1.[名师点拨]求双曲线方程时，应先确定焦点所在的坐标轴(若不确定，要分情况讨论)，求出a2，b2即可，另外，与双曲线x2a2－y2b2＝1具有相同渐近线的双曲线可写成x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)的形式，结合题目中的条件求出λ的值即可得到所求的双曲线方程.求适合下列条件的双曲线的标准方程．(1)焦点在x轴上，虚轴长为8，离心率为53；(2)两顶点间的距离为6，两焦点的连线被两顶点和中心四等分．解：(1)由题意，得2b＝8，e＝ca＝53，∴b＝4，c＝53a，代入c2＝a2＋b2，得a2＝9.又该双曲线焦点在x轴上，∴双曲线的标准方程为x29－y216＝1.(2)由已知得2a＝6,2c＝4a，∴a＝3，c＝6.∴b2＝c2－a2＝36－9＝27.∴所求的双曲线方程为x29－y227＝1或y29－x227＝1.题型三双曲线的离心率问题(1)设F1，F2分别为双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左，右焦点，双曲线上存在一点P使得(|PF1|－|PF2|)2＝b2－3ab，则该双曲线的离心率为()A.2B．15C．4D．17(2)双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点为F1，F2，若P为其上一点，且|PF1|＝2|PF2|，则双曲线离心率的取值范围是______________．【思路探索】对于(1)，根据双曲线的定义得到a，b，c的关系式，再求离心率；对于(2)，欲求离心率的取值范围，可利用|PF1|或|PF2|的范围求解．【解析】(1)根据已知条件，知||PF1|－|PF2||＝2a，所以4a2＝b2－3ab，所以b＝4a，所以双曲线的离心率e＝ca＝a2＋b2a2＝17.(2)∵P为双曲线上一点，|PF1|＝2|PF2|，又∵|PF1|－|PF2|＝2a，∴|PF2|＝2a，又∵|PF2|≥c－a，即2a≥c－a，∴e＝ca≤3.又e＞1，∴1＜e≤3.【答案】(1)D(2)1＜e≤3[名师点拨](1)求双曲线离心率的常见方法：一是依据条件求出a，c，再计算e＝ca；二是依据条件建立参数a，b，c的关系式，一种方法是消去b转化成离心率e的方程求解，另一种方法是消去c转化成含ba的方程，求出ba后利用e＝1＋b2a2求离心率．(2)求离心率的范围一般是根据条件建立a，b，c的不等式，通过解不等式得ca或ba的范围，再求得离心率的范围．(1)(2019·北京卷)已知双曲线x2a2－y2＝1(a0)的离心率是5，则a＝()A.6B．4C．2D．12(2)(2019·全国卷Ⅰ)双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的一条渐近线的倾斜角为130°，则双曲线C的离心率为()A．2sin40°B．2cos40°C.1sin50°D．1cos50°解析：(1)由题意，得e＝5＝ca＝a2＋1a＝5，∴5a2＝a2＋1，解得a＝12.(2)由题意，得k＝－ba＝tan130°，∴ba＝tan50°，即c2－a2a2＝sin250°cos250°，∴e2＝sin250°cos250°＋1＝1cos250°，∴e＝1cos50°.答案：(1)D(2)D即学即练稳操胜券课堂基础达标1．(2018·浙江卷)双曲线x23－y2＝1的焦点坐标是()A．(－2，0)，(2，0)B．(－2,0)，(2,0)C．(0，－2)，(0，2)D．(0，－2)，(0,2)解析：由已知，得c＝3＋1＝2，又焦点在x轴上，∴焦点坐标为(－2,0)，(2,0)．答案：B2．已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1的离心率e＝54，且其右焦点为F2(5,0)，则双曲线C的方程为()A.x24－y23＝1B．x216－y29＝1C.x29－y216＝1D．x23－y24＝1解析：由已知，得c＝5，又e＝ca＝54，∴a＝4.∴b2＝c2－a2＝9，故双曲线C的方程为x216－y29＝1.答案：B3．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的焦距为25，且双曲线的一条渐近线与直线2x＋y＝0垂直，则双曲线的方程为()A.x24－y2＝1B．x2－y24＝1C.3x220－3y25＝1D．3x25－3y220＝1解析：由已知，得c＝5，ba＝12，又c2＝a2＋b2，∴4b2＋b2＝5，∴b2＝1，a2＝4.∴双曲线的方程为x24－y2＝1.答案：A4．(2019·天津卷)渐近线方程为x±y＝0的双曲线的离心率是()A.22B．1C.2D．2解析：∵双曲线渐近线方程为y＝±bax或y＝±abx，而本题给出渐近线方程为x±y＝0，即y＝±x，∴ba＝1或ab＝1，∴a＝b，∴c2＝a2＋b2＝2a2，∴e2＝2，∴e＝2.答案：C5．双曲线与椭圆x216＋y264＝1有相同的焦点，它的一条渐近线为y＝x，求双曲线的标准方程和离心率．解：由椭圆x216＋y264＝1，知c2＝64－16＝48，且焦点在y轴上，又双曲线的一条渐近线为y＝x，∴设双曲线的标准方程为y2a2－x2a2＝1.又c2＝2a2＝48，∴a2＝24.∴所求双曲线的标准方程为y224－x224＝1.由a2＝24，c2＝48，得e2＝c2a2＝2，又e1，∴e＝2.