2019-2020学年高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.2.2 双曲线的简单几何性质课件 新人教

第二章圆锥曲线与方程2.2双曲线2．2.2双曲线的简单几何性质梳理知识夯实基础自主学习导航目标导学1．了解双曲线的几何图形，知道它的简单几何性质．2．了解双曲线的一些简单应用．‖知识梳理‖1．双曲线的几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a0，b0)y2a2－x2b2＝1(a0，b0)图形范围|x|≥a，y∈R|y|≥a，x∈R对称性对称轴：x轴、y轴；对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)焦点F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)焦距|F1F2|＝_____2c轴实轴长|A1A2|＝____，虚轴长|B1B2|＝___离心率e＝________(e1)渐近线直线__________直线___________2a2bcay＝±baxy＝±abx2.等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，显然，它的渐近线方程为________，离心率为______，方程可表示为x2－y2＝λ(λ≠0)．y＝±x2解剖难点探究提高重点难点突破1．如何确定双曲线的形状(1)双曲线有两个焦点、两个顶点、虚轴的两个端点，共六个特殊点，双曲线的焦点一定在实轴上．(2)直线x＝±a，y＝±b或x＝±b，y＝±a围成的矩形中没有图形，而双曲线的渐近线即为矩形的两条对角线．依据上述两点可以画出双曲线的大致形状．2．双曲线的渐近线方程已知双曲线的标准方程求渐近线的方法有：(1)画出以实轴长、虚轴长为邻边的矩形，写出其对角线方程．(2)将双曲线标准方程等号右边的1改为0，化简后即得双曲线的渐近线方程，这是常用的方法．3.双曲线的离心率(1)由e＝ca＝1＋b2a2知e1，且e越大，双曲线张口越大，e越小，张口越小．(2)双曲线离心率的求法同椭圆一样，依据已知条件找出a与c的关系式求解．归纳透析触类旁通课堂互动探究题型一双曲线的简单几何性质求双曲线4y2－9x2＝－4的顶点坐标、焦点坐标、实半轴长、虚半轴长、离心率和渐近线方程，并画出该双曲线的草图．【思路探索】将双曲线方程化为标准方程，得到a，b的值，从而得出相关的几何性质．【解】将双曲线方程化为标准方程得x249－y2＝1，∴a2＝49，b2＝1，∴a＝23，b＝1，c＝133.因此，顶点为A1－23，0，A223，0，焦点为F1－133,0，F2133，0，实半轴长a＝23，虚半轴长b＝1，离心率e＝ca＝133×32＝132，渐近线方程为y＝±32x.为了画出双曲线的草图，首先在坐标系中画出直线x＝±23，y＝±1围成的矩形，再画出对角线y＝±32x.草图如图所示．[名师点拨]如果给出的方程不是标准形式，应先化为标准形式，然后根据标准形式求出基本量a，b，c，即可得出双曲线的几何性质(要注意焦点在哪个轴上)．画双曲线的草图，可先画出渐近线，再画出顶点坐标，然后根据双曲线的变化趋势，可画出双曲线的近似图形.(2019·闽侯二中期末)若椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的离心率为13，则双曲线x2a2－y2b2＝1的渐近线方程为()A．y＝±223xB．y＝±32xC．y＝±22xD．y＝±x解析：∵椭圆的离心率为13，∴e2＝a2－b2a2＝19，∴b2a2＝89，∴ba＝223，∴双曲线的渐近线方程为y＝±223x，故选A.答案：A题型二求双曲线的标准方程求适合下列条件的双曲线的标准方程．(1)焦点在x轴上，虚轴长为8，离心率为53；(2)焦距为10，渐近线方程为y＝±12x；(3)过点P(3，－2)，离心率为52.【思路探索】(1)利用2b＝8，c2＝a2＋b2，e＝ca求出a，b即可；(2)与(3)中不知焦点在哪个轴上，应分情况讨论求解．【解】(1)设所求双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)，依据题意，得2b＝8，e＝ca＝53，从而b＝4，c＝53a，代入c2＝a2＋b2，得a2＝9.故双曲线的标准方程为x29－y216＝1.(2)解法一：当焦点在x轴上时，设所求双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)，由渐近线方程为y＝±12x，得ba＝12.又2c＝10，c2＝a2＋b2，得a2＝20，b2＝5.故双曲线的标准方程为x220－y25＝1.当焦点在y轴上时，同理可求得双曲线的标准方程为y25－x220＝1.综上知，所求的双曲线的标准方程为x220－y25＝1或y25－x220＝1.解法二：由渐近线方程为y＝±12x，可设双曲线的标准方程为x24－y2＝λ(λ≠0)，即x24λ－y2λ＝1.由a2＋b2＝c2，得|4λ|＋|λ|＝25，∴λ＝±5.故所求的双曲线的标准方程为x220－y25＝1或y25－x220＝1.(3)依题意知，焦点可能在x轴上，也可能在y轴上，因此，应讨论求解．当焦点在x轴上时，可设双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)，由点P(3，－2)在双曲线上，得9a2－2b2＝1.①由e＝ca＝52，得c2a2＝54.②又c2＝a2＋b2，③由①②③解得，a2＝1，b2＝14.∴双曲线的标准方程为x2－y214＝1.当焦点在y轴上时，设双曲线的标准方程为y2a2－x2b2＝1(a0，b0)，同理，有c2a2＝54，2a2－9b2＝1，a2＋b2＝c2，解得b2＝－172(舍去)．综上知，所求双曲线的标准方程为x2－y214＝1.[名师点拨](1)由双曲线的几何性质，求双曲线的标准方程，常用待定系数法．当焦点不知在哪个轴上时，要分类讨论．(2)当已知渐近线方程y＝±bax时，可设双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)，再依据已知条件求λ.(1)(2019·会泽一中月考)已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4,0)，(4,0)，则双曲线的方程是()A.x212－y24＝1B．x210－y26＝1C.x24－y212＝1D．x26－y210＝1(2)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，两条渐近线的夹角为60°，过点F1作x轴的垂线，交双曲线的左支于M，N两点，若△MNF2的面积为43，则该双曲线的方程为()A.x212－y29＝1B．x29－y23＝1C．x2－y23＝1D．x23－y2＝1解析：(1)由题可知ca＝2，c＝4，∴a＝2，b2＝c2－a2＝12，∴双曲线的方程为x24－y212＝1，故选C.(2)由题可知M－c，b2a，N－c，－b2a，∵ab，∴一条渐近线的倾斜角为30°，∵ba＝33，12·2c·2b2a＝43，c2＝a2＋b2，∴a2＝9，b2＝3，∴双曲线的方程为x29－y23＝1，故选B.答案：(1)C(2)B题型三求双曲线的离心率(1)(2019·济南检测)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的右焦点为F，P为双曲线C右支上一点，若△PFO为等边三角形，则双曲线C的离心率为()A.3＋1B．132C.5D．2(2)(2019·安庆期末)双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的两个焦点为F1，F2，若P为其上一点，且|PF1|＝3|PF2|，则双曲线离心率的取值范围为()A．(1,2]B．[2，＋∞)C．(1，2]D．[2，＋∞)【思路探索】(1)根据条件写出点P的坐标，代入双曲线方程即可得到a，b，c的关系式，或根据定义直接计算e.(2)利用双曲线上一点P到F2的距离的最值问题求解．【解析】(1)解法一：∵△PFO为等边三角形，不妨设P点在第一象限，∴点P的坐标为c2，32c，代入双曲线方程可得c24a2－3c24b2＝1，∴e24－3e24e2－1＝1，解得e＝3＋1，故选A.解法二：∵△PFO为等边三角形，∴|PF|＝|OF|＝|OP|＝c，设双曲线的左焦点为F1，连接PF1，∴△PF1F是直角三角形，∴|PF1|＝|F1F|2－|PF|2＝3c，∴2a＝|PF1|－|PF|＝3c－c，∴e＝ca＝2c2a＝2c3c－c＝3＋1，故选A.(2)∵|PF1|＝3|PF2|，∴P为双曲线右支上一点，∴|PF1|－|PF2|＝2a，∴|PF2|＝a.∵|PF2|≥c－a，∴a≥c－a，∴2a≥c，∴1e≤2，故选A.【答案】(1)A(2)A[名师点拨]求双曲线的离心率或离心率的取值范围，关键是根据题设条件转化为关于a、c的方程或不等式，求解得e或e的范围.(1)(2019·杭高期末)已知点P是双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)右支上的一点，F1是双曲线的左焦点，且双曲线的一条渐近线恰好是线段PF1的中垂线，则双曲线的离心率是()A.5B．2C.3D．3(2)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的焦点F到一条渐近线的距离为32|OF|，点O为坐标原点，则此双曲线的离心率为________．解析：(1)设双曲线的右焦点为F2，连接PF2，PF1与渐近线y＝－bax的交点为M，则M为PF1的中点，且OM⊥PF1，又∵PF2∥OM，∴PF2⊥PF1，∴tan∠PF2F1＝tan∠MOF1＝ba，|PF1|＝|F1F2|sin∠PF2F1＝2cba2＋b2＝2b，|PF2|＝|F1F2|cos∠PF2F1＝2caa2＋b2＝2a，∵|PF1|－|PF2|＝2a，∴2b－2a＝2a，∴b＝2a，∴e＝ca＝a2＋b2a2＝5，故选A.(2)由题意知双曲线的一个焦点F(c,0)到直线y＝bax的距离为32|OF|＝32c，即|bc－a·0|a2＋b2＝bcc＝b＝32c，∴4b2＝3c2.∵b2＝c2－a2，∴c2＝4a2，∴c＝2a，∴e＝ca＝2.答案：(1)A(2)2题型四与双曲线有关的综合问题已知直线l：x＋y＝1与双曲线C：x2a2－y2＝1(a0)．(1)若a＝12，求l与C相交所得的弦长；(2)若l与C有两个不同的交点，求双曲线C的离心率e的取值范围．【思路探索】将l与C的方程联立消去一个未知数，得到一元二次方程，利用根与系数的关系可求得弦长；由l与C相交，知Δ0，从而求出a的范围，可得离心率的范围．【解】(1)当a＝12时，双曲线C的方程为4x2－y2＝1.联立x＋y＝1，4x2－y2＝1，消去y得3x2＋2x－2＝0.设直线l与双曲线C的两个交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－23，x1x2＝－23.∴|AB|＝x1－x22＋y1－y22＝1＋k2x1－x22＝1＋k2·x1＋x22－4x1x2＝2·－232－4－23＝2143.即l与C相交所得的弦长为2143.(2)由x＋y＝1，x2a2－y2＝1消去y并整理，得(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0.依题意得1－a2≠0，Δ＝4a4＋8a21－a20.解得0a2，且a≠1.又双曲线的离心率e＝ca＝1＋a2a2＝1a2＋1，∴e62，且e≠2.即离心率的取值范围是62，2∪(2，＋∞)．[名师点拨]一般地，设直线l：y＝kx＋m(m≠0)，①双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)．②把①代入②得，(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0.(1)当b2－a2k2＝0，即k＝±ba时，直线l与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线C相交于一点．(2)当b2－a2k2≠0，即k≠±ba时，Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)．Δ0⇒直线与双曲线有两个公共点，此时称直线与双曲线相交；Δ＝0⇒直线与双曲线有一个公共点，此时称直线与双曲线相切；Δ0⇒直线与双曲线没有公共点，此时称直线与双曲线相离.已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)与椭圆x218＋y214＝1有共同的焦点，点A(3，7)在双曲线C上．(1)求双曲线C的